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高考數(shù)學(xué)中學(xué)生呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象能力是平時數(shù)學(xué)教學(xué)養(yǎng)育而成的，是較長時間訓(xùn)練積累的爆發(fā)，因此研究高考數(shù)學(xué)抽象能力應(yīng)該關(guān)注日常復(fù)習(xí)教學(xué)的養(yǎng)育過程及其表征.

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達準(zhǔn)確、結(jié)論—般、有序多級的系統(tǒng).通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的養(yǎng)育，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習(xí)慣，能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡，理解該學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征.

為什么提“養(yǎng)育”，而不是培養(yǎng)或訓(xùn)練？主要體現(xiàn)筆者長期堅持的一種教育理念——任何一種素養(yǎng)的形成都是在一個較長時期才能形成的，如同我們養(yǎng)育一個孩子一樣，形成一種良好習(xí)慣和素養(yǎng)更是如此.目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有一種現(xiàn)象：數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師關(guān)心最多的是學(xué)生的“算術(shù)頭腦”特征——即解題與結(jié)果，看重人工計算速度和準(zhǔn)確度，而忽略學(xué)生的“數(shù)學(xué)頭腦”特征——即數(shù)學(xué)概念的形成及抽象過程，看重數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系，這一現(xiàn)象的文化背景就是“急功近利”思想在教育中的反映.

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何真正的養(yǎng)育中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，是一個值得冷靜思考的問題.即在課堂上，知識傳授過程中；在輔導(dǎo)時，問題求解過程中；在測試時，問題設(shè)計過程中，是否真正關(guān)注到數(shù)學(xué)抽象語言的識別，數(shù)學(xué)抽象符號的理解，數(shù)學(xué)抽象語言的轉(zhuǎn)化，問題抽象的表達與概括，數(shù)學(xué)抽象意識的直覺等.數(shù)學(xué)抽象的“識別，理解，轉(zhuǎn)化，概括，直覺”五個層次，從教學(xué)角度而言，個個重要，個個都需要花很大氣力才能有所收獲，下面通過具體例題來解讀，以引起教學(xué)實踐者的注意.

1.數(shù)學(xué)抽象語言的識別能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的符號語言，特別是抽象的符號語言，首先要學(xué)會識別它.在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有許多基本的符號語言，一要讀它認(rèn)識它，比如人民教育出版社A版數(shù)學(xué)必修1在閱讀材料中有符號“card(A)”，但是許多學(xué)生不認(rèn)識，在高考數(shù)學(xué)命題時，命題專家還要特別指明，多么可悲的一件事；二是學(xué)會理解它，比如集合列舉法與描述法，是集合語言的兩種基本表示方法，然而在下列一組檢測題中，第(3)題都有考生出錯.

例1.(1)設(shè)集合A={x|y=x2}，B={x|y=2x}，則A∩B=________.

(2)集合A={y|y=x2}，B={y|y=2x}，則A∩B=________.

(3)集合A={y=x2}，B={y=2x}，則A∩B=________.

(4)集合A={(x,y)|y=x2,x≥0}，B={(x,y)|y=2x}，則A∩B=________.

養(yǎng)育指導(dǎo)：4道題中集合的表示的語言都不同，有明顯差異，應(yīng)該區(qū)別與理解，測試結(jié)果令人費解，100多名高三學(xué)生接受測試，最好的結(jié)果是做對2.5題，由此引起數(shù)學(xué)教師的教學(xué)思考，課堂復(fù)習(xí)教學(xué)在數(shù)學(xué)抽象符號語言的識別中做了什么，是否到位，一個連題干都看不懂的試題，還能應(yīng)試解決它嗎？諸如“∑”“l(fā)n”“card”也一直是學(xué)生不認(rèn)識的符號，為此建議在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)抽象語言——符號語言，以及用符號語言編織的表達形式，強調(diào)這種關(guān)注的必要性.

2.數(shù)學(xué)抽象符號的理解能力

數(shù)學(xué)語言是由文字表征語言、符號抽象語言、圖形直觀語言所組合的語言系統(tǒng)，其中的符號抽象語言也是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的特征之一，面對由抽象符號語言組成的問題或命題，只有理解它才能解決它，抽象的符號語言從識別到理解，經(jīng)過的路越短，理解力就越強.

信息“c與a-b所成的角為120°”說明：∠ADC=120°，從而∠ODM0=60°.

養(yǎng)育指導(dǎo)：由抽象的符號語言編織的數(shù)學(xué)表達形式濃縮著豐富的數(shù)學(xué)信息，挖掘它才能理解它，引導(dǎo)學(xué)生善于挖掘題干條件，對待問題不能線性思考，而是多角度多方向思考，并成為解題的一種思考習(xí)慣.

3.數(shù)學(xué)抽象語言的轉(zhuǎn)化能力

數(shù)學(xué)問題由數(shù)學(xué)語言組成，對于抽象的數(shù)學(xué)語言，要理解題意，尋找解題途徑，首先就是能將抽象語言轉(zhuǎn)化下去，尋找到可以直觀地理解的形式，這種能力建立在對數(shù)學(xué)概念、方法、思想的深刻理解.

例4.若函數(shù)y=log2(ax2+2x+1)的值域為R，則a的取值范圍為________.

問題轉(zhuǎn)化為“由y=log2u的值域為R，則u要取到大于0的一切實數(shù)，因此u=ax2+2x+1的判別式Δ=4-4a≥0，所以a≤1”.

養(yǎng)育指導(dǎo)：數(shù)學(xué)思想中“等價轉(zhuǎn)化與化歸思想”是一個重要而難以掌握的思想，但是積極引導(dǎo)、不斷示范、深刻地揭示，使學(xué)生慢慢地體悟，學(xué)生開竅了教師就成功了.

4.問題的抽象表達概括能力

現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題有兩個方向進入人們的視野，一是建立數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)化；二是由特殊到一般，建立反映本質(zhì)特征的一般結(jié)論，這兩個方向都需要抽象表達的概括能力，而這種數(shù)學(xué)能力已成為其他學(xué)科，如物理、化學(xué)、生物等研究結(jié)論、規(guī)律表達的基本形式.

例5.出自人民教育出版社A版數(shù)學(xué)必修1，P82第6題：比較log67與log76的大小.

歸納問題1.比較大小：logn(n+1)與log(n+1)n，n為正整數(shù).

歸納問題2.比較大?。簂oga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1.

探究后得到的結(jié)論：

結(jié)論1.當(dāng)a>1時，loga(a+1)>logaa=1，log(a+1)alog(a+1)a；

然后引伸到冪指數(shù)的比較：

歸納問題3.比較大?。篴a+1與(a+1)a(a>0，a≠1).

結(jié)論4.當(dāng)0

例6.在2019年央視春晚小品《占位子》中，幾位家長為了給孩子占到教室的C位各施技巧，鬧出了一場令人啼笑皆非的笑話，現(xiàn)有編號為1，2，3，…，n的n個學(xué)生，入坐編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，已知ξ=2時，共有6種坐法.

(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)求隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

(Ⅱ)因?qū)W生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，由題意知ξ的取值為0，2，3，4，

當(dāng)ξ取值0時，表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號都相同；

當(dāng)ξ取值2時，表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有2個相同；

當(dāng)ξ取值3時，表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有1個相同；

當(dāng)ξ取值4時，表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有0個相同，

所以隨機變量ξ的概率分布列為

ξ0234P124141338

一般模型：在2019年央視春晚小品《占位子》中，幾位家長為了給孩子占到教室的C位各施技巧，鬧出了一場令人啼笑皆非的笑話，現(xiàn)有編號為1，2，3，…，n的n個學(xué)生，入坐編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析：ξ的取值為0，2，3，4，…，n，

養(yǎng)育指導(dǎo)：此問題的數(shù)學(xué)模型是概率論中著名的“裝錯信封問題”，用數(shù)學(xué)眼光看春晚，數(shù)學(xué)建模的意識與能力在養(yǎng)育中形成.

以上2個問題的抽象表達是在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中形成的概括，在復(fù)習(xí)教學(xué)中也應(yīng)成為常態(tài)，這一能力也是在探尋過程中養(yǎng)育的！

5.數(shù)學(xué)抽象意識的直覺潛力

具體問題的數(shù)學(xué)抽象，從抽象意識層面必須建立在直覺思維的前提下，并不是每個問題每個人面對具體問題時都能夠想到去抽象、去一般化，如何養(yǎng)育這種直覺潛力？最接近學(xué)生認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)方式就是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，在國外教育中，許多從小學(xué)就開始訓(xùn)練的專題或項目研究，學(xué)生從小學(xué)就開始小課題研究，學(xué)會提出有意義的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會思考從特殊到一般的數(shù)學(xué)問題，只有經(jīng)過如此過程的養(yǎng)育，數(shù)學(xué)抽象的意識、抽象的直覺潛能才能得到呈現(xiàn).

在例5中，面對兩個結(jié)構(gòu)明顯的對數(shù)“l(fā)og67與log76”，真數(shù)與底數(shù)的數(shù)字交換，此問題一直在數(shù)學(xué)教材中，沒有數(shù)學(xué)抽象意識的直覺潛力，也無法想象出一般的兩個對數(shù)“l(fā)oga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1”比較與研究，而通過數(shù)學(xué)抽象更加能提升學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，在例6中，從春晚一個小品中思考其數(shù)學(xué)問題，提出數(shù)學(xué)問題本身就需要直覺意識.

養(yǎng)育指導(dǎo)：學(xué)生的直覺思維養(yǎng)育關(guān)鍵在于引導(dǎo)，在特定的課程上，比如數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課堂上，給出一些問題情境，讓學(xué)生經(jīng)過一些思考后，立即表達自己的想法，對于具有直覺思維的表達給出評判與鼓勵，作出示范引導(dǎo)，只有在交流中才會產(chǎn)生直覺思維！

學(xué)生在高考數(shù)學(xué)應(yīng)試中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象思維正是對問題的“識別、理解、轉(zhuǎn)化、概括、直覺”，所以數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計中，五大表征訓(xùn)練要努力達到：

問題識別無障礙——順利通過審題關(guān)；

語言理解真到位——解題制定策略關(guān)；

模型轉(zhuǎn)化到本質(zhì)——積累突破思想關(guān)；

表達概括求簡潔——腦海處處模型關(guān)；