(函數(shù)法)放縮、裂項(xiàng)放縮、對(duì)偶放縮、分類(lèi)放縮、二項(xiàng)式定理放縮、等比放縮等.1 積分放縮2 函數(shù)放縮評(píng)注函數(shù)法即構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮.記住基本結(jié)論:lnx≤x-1?ln(1+x)≤x.3 對(duì)偶放縮①②4 裂項(xiàng)放縮4.1 分母整式型裂項(xiàng)4.2 分母根式型裂項(xiàng)5 等比放縮6 分類(lèi)放縮當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),不妨設(shè)n=2k,k∈N*,則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),不妨設(shè)n=2k+1,k∈N*,同理可證.7 二項(xiàng)式定理放縮評(píng)注基本結(jié)論:①2n>2n+1(n≥3);②2n>n2+

中近幾年出現(xiàn)的“裂項(xiàng)求和”為例,通過(guò)幾個(gè)典型的問(wèn)題,展示試題裂項(xiàng)的創(chuàng)新點(diǎn),反思復(fù)習(xí)備考的實(shí)施路徑及基本策略.2 創(chuàng)新體例評(píng)析2.1 指數(shù)式裂項(xiàng)例1已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1＝1,且nan－Sn＝n2－n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;點(diǎn)評(píng)由于數(shù)列{bn}為分式結(jié)構(gòu)形式,分母為相鄰兩項(xiàng)之積,自然想到裂項(xiàng)相消求和,但此過(guò)程利用到了22n＋1＝4×22n－1這一獨(dú)特性質(zhì),前面提取即可成功裂項(xiàng).從以往高考試題可以看出,指數(shù)式裂項(xiàng)還會(huì)出現(xiàn)新

100) 張廣民裂項(xiàng)求和是學(xué)生們非常熟悉的一種數(shù)列求和的基本方法,但是很多學(xué)生都是以記住了一些能夠裂項(xiàng)的數(shù)列的結(jié)論,在解題的過(guò)程中套用這樣的結(jié)論.但是遇到一些新的情景,就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.而實(shí)際上,裂項(xiàng)求和有著及其重要和豐富的內(nèi)涵,對(duì)于理解數(shù)列的變化規(guī)律也有著重要的作用.本文通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題背景的探索,幫助學(xué)生理解裂項(xiàng)求和的本質(zhì),從根源理解裂項(xiàng)求和,淡化特殊技巧和結(jié)論.在裂項(xiàng)求和的教學(xué)過(guò)程中,教師往往會(huì)強(qiáng)調(diào)一個(gè)常見(jiàn)的模型:若{an}是等差數(shù)列,且公差d ?=0,則

新問(wèn)題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過(guò)程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通

新問(wèn)題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過(guò)程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通

新問(wèn)題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過(guò)程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通

新問(wèn)題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過(guò)程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通

新問(wèn)題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過(guò)程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通

數(shù)列求和問(wèn)題中，裂項(xiàng)相消法占有舉足輕重的地位.本文對(duì)裂項(xiàng)相消法的多種類(lèi)型進(jìn)行梳理和歸納.所以an=n.推廣類(lèi)似地，我們還可以求出通項(xiàng)公式為或en=n·n!=(n+1)!-n!的數(shù)列的前n項(xiàng)和.所以f(x)=2x+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解析(1)an=3n-1(過(guò)程略).例4(2014年山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解析(1)因?yàn)閧an}的公差為2,所以Sn=

法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法等[1]. 其中裂項(xiàng)相消法與并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法因類(lèi)型多、難度大,看似簡(jiǎn)單實(shí)則容易出錯(cuò)丟分,筆者現(xiàn)將這兩類(lèi)問(wèn)題整理成文,與讀者學(xué)習(xí)交流.1 裂項(xiàng)相消法的“一分為二”2 并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法的“合二為一”并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和就是按照一定的規(guī)則,將原數(shù)列的一些項(xiàng)求和作為新的數(shù)列的項(xiàng),出現(xiàn)“合二為一”的形式,轉(zhuǎn)化為新數(shù)列的求和問(wèn)題.2.1 等距并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和2.2 非等距并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和例6 記Sn= [log21]+[log22]+···+[l

的前n項(xiàng)和．三、裂項(xiàng)相消運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，關(guān)鍵有兩步：第一步，裂項(xiàng)，即將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式；第二步，消項(xiàng)．通過(guò)正負(fù)相消，消除絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的項(xiàng)．在裂項(xiàng)的過(guò)程中，有的時(shí)候需要調(diào)整通項(xiàng)公式前面的系數(shù)，使拆得的兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)保持一致，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有通過(guò)對(duì)上述例題的分析，可以看出，上述三種思路各有特色，且其適用范圍各不相同．同學(xué)們?cè)谇蠛蜁r(shí)，只要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列中各項(xiàng)的規(guī)律，改變?cè)瓟?shù)列的形式、結(jié)構(gòu)，進(jìn)行合理的裂項(xiàng)、分組，靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)

方法有很多種，如裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、倒序相加法等，其中，裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法較為常用，且比較靈活，下面重點(diǎn)談一談這兩種求數(shù)列和的方法及其應(yīng)用技巧，一、裂項(xiàng)相消法運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，需將所求數(shù)列的每一項(xiàng)分別拆成兩項(xiàng)之差的形式，這兩項(xiàng)必須一正一負(fù)，這樣在將所有的項(xiàng)相加時(shí)，絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的項(xiàng)便會(huì)相互抵消，從而把數(shù)列前n項(xiàng)的和化為一個(gè)簡(jiǎn)單的式子，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有：總之，裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法均是求數(shù)列和的有效方法，

求和問(wèn)題.在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí)，通常要先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，這樣，數(shù)列中的前后項(xiàng)或前后幾項(xiàng)能夠相互抵消，化簡(jiǎn)和式，求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的裂項(xiàng).下面結(jié)合實(shí)例來(lái)談一談如何巧妙裂項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.例1.已知數(shù)列{a}中， a，=1 ，前n項(xiàng)和為S.，且lgs，lgn，lg為等差數(shù)列，令6n=n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：對(duì)于形如（a- 1）a n=an+l—an的

）時(shí)，往往可采用裂項(xiàng)放縮法，即將數(shù)列{an}中的項(xiàng)an放大為bn，構(gòu)造出數(shù)列{bn}，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{bn}的和 k，然后即可證得 k ≤ n裂項(xiàng)求和;（2）使所證不等式的右邊精準(zhǔn)地出現(xiàn)常數(shù) m .下面通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，進(jìn)一步探究在一定條件下運(yùn)用裂項(xiàng)放縮法證明“ 0，m >0，An2+Bn + C ）”型數(shù)列不等式的思路.例1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

種，如錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和、倒序相加等.每種求和方法的特點(diǎn)、適用情形都不相同.本文重點(diǎn)談一談求數(shù)列的和的兩種技巧：錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消.一、錯(cuò)位相減若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為一個(gè)等差數(shù)列、一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的乘積，則可采用錯(cuò)位相減的方法來(lái)求數(shù)列的和.在解題時(shí)，需首先寫(xiě)出數(shù)列的和式，設(shè)其為 Sn ，然后在和式的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比 q，再將兩式作差，得 Sn - qSn，化簡(jiǎn)所得的結(jié)果，即可求得數(shù)列的和.在作差時(shí)，需將其中一個(gè)和式錯(cuò)開(kāi)一位，以便使q

列;錯(cuò)位相減法;裂項(xiàng);導(dǎo)數(shù);二項(xiàng)展開(kāi)式參考文獻(xiàn)：[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開(kāi)發(fā)中心，普通高中教科書(shū)，數(shù)學(xué)：選擇性必修 第二冊(cè) A版.北京：人民教育出版社，2020.[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開(kāi)發(fā)中心，普通高中教科書(shū)，數(shù)學(xué)：選擇性必修 第三冊(cè) A版.北京：人民教育出版社，2020.[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開(kāi)發(fā)中心，普通高中教科書(shū)，數(shù)學(xué)：必修 第一冊(cè) A版.北京：人民教

采用錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法來(lái)求和.這兩種求和方法都是根據(jù)數(shù)列的規(guī)律來(lái)進(jìn)行變式與轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求和的目的.下面我們結(jié)合實(shí)例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.一、錯(cuò)位相減法若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的，那么一般用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.首先寫(xiě)出數(shù)列的和式，然后在和式的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，再錯(cuò)開(kāi)一位將兩式相減，通過(guò)化簡(jiǎn)便可求得數(shù)列的和.若等比數(shù)列的公比不確定，還需分別討論當(dāng)公比為l和不為1的情況.例1.已知an=n·2 n，求{an}的前

余鐵青 唐軍偉裂項(xiàng)是高中數(shù)列求和中常見(jiàn)且?？嫉念}型之一,該類(lèi)問(wèn)題具有一定巧妙性,很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)美,很好的考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.在常規(guī)的教學(xué)中,大部分學(xué)生往往僅僅掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)的形式,并未清楚其背后的數(shù)學(xué)模型與潛在本質(zhì).因此,當(dāng)題目稍有變化,學(xué)生就可能不知所措.據(jù)此,筆者嘗試從更多角度來(lái)剖析裂項(xiàng),力求揭示裂項(xiàng)的數(shù)學(xué)本質(zhì),并以此得出更多的非常規(guī)的裂項(xiàng)形式.一、常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式高中階段,學(xué)生常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式有(以下約定n ∈N+):4.公式型:也就是運(yùn)

合命題，通常考查裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法、分組及并項(xiàng)等形式的求和問(wèn)題，綜合考查考生的運(yùn)算求解能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，難度適中，多以解答題為主。題型一：并項(xiàng)法求和題型三：裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)進(jìn)行分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng)。裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被

0)處理“數(shù)列的裂項(xiàng)求和”問(wèn)題有兩個(gè)焦點(diǎn):其一是如果沒(méi)有告訴學(xué)生裂項(xiàng)相消求和,學(xué)生能否想到去裂項(xiàng)?其二是如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些復(fù)雜數(shù)列通項(xiàng)公式準(zhǔn)確得到分解形式?即“何時(shí)用”、“如何用”?筆者為此有一些思考,遂將自己的淺薄的想法與各位讀者交流.一、“裂項(xiàng)相消求和法”的應(yīng)用情境2.利用有理分式分拆技巧進(jìn)行裂項(xiàng)3.利用分母有理化進(jìn)行裂項(xiàng)二、“裂項(xiàng)相消求和法”的思維本質(zhì)例6已知an=(n+1)2n,求數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn.分析除了采用常規(guī)的“錯(cuò)位相減法”求其前項(xiàng)和

行等價(jià)變形，利用裂項(xiàng)求和的方法來(lái)求解.下面先探究可以利用裂項(xiàng)求和的數(shù)列類(lèi)型.一、裂項(xiàng)求和的“源”1.學(xué)生在裂項(xiàng)中常見(jiàn)的問(wèn)題2.裂項(xiàng)求和的模型模型1若數(shù)列an=f(n+k)-f(n)(k∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=f(n+k)+…+f(n+2)+f(n+1)-f(1)-f(2)-…-f(k).3.裂項(xiàng)求和模型的特點(diǎn)通過(guò)模型1可以發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)求和的結(jié)果是對(duì)稱(chēng)的，主要表現(xiàn)在：①前后剩余個(gè)數(shù)相同，均為k個(gè)；②前面k個(gè)數(shù)的符號(hào)與后面k個(gè)數(shù)的符號(hào)相反；③前后

了考查上述常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消，還出現(xiàn)了不少“另類(lèi)”的裂項(xiàng)相消，體現(xiàn)了命題老師的一種創(chuàng)新.而對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，創(chuàng)新制造了不小的麻煩，對(duì)學(xué)生的思維能力和應(yīng)變能力要求較高.實(shí)際上在利用裂項(xiàng)相消法時(shí)，關(guān)鍵要抓住通過(guò)裂項(xiàng)達(dá)到相消求和的目的.下面舉例說(shuō)明，以期拋磚引玉.分析將分母由兩個(gè)因式改為三個(gè)因式，但裂項(xiàng)時(shí)仍然將一項(xiàng)裂開(kāi)為兩項(xiàng)，注意正負(fù)號(hào)和系數(shù)，達(dá)到相互抵消的目的.解由分析知于是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，變式求數(shù)列{n·n!}的前n項(xiàng)和Sn.解由n·n!=(n+1)!-

式及前n項(xiàng)的和。裂項(xiàng)相消法是一種常見(jiàn)的數(shù)列求和方法，它的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（或通項(xiàng)公式）分解，然后重新組合，通過(guò)相互抵消消去一些項(xiàng)，最后只保留有限的一些項(xiàng)，從而達(dá)到求和的目的。本文總結(jié)了裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用技巧以及注意事項(xiàng)，以期能給大家提供一些幫助。一、裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用技巧1.差型裂項(xiàng)這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以裂為兩項(xiàng)之和的形式，但是因?yàn)橄噜弮身?xiàng)異號(hào)，所以仍然可以用裂項(xiàng)相消求和法。由于最后一項(xiàng)的符號(hào)無(wú)法確定，所以我們需要對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論。運(yùn)用裂項(xiàng)相消求

應(yīng)用價(jià)值.通過(guò)“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義，對(duì)近年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的求“不定式”極限試題進(jìn)行解析與評(píng)注.關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);不定式極限;導(dǎo)數(shù)定義;裂項(xiàng)中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0002-03一、導(dǎo)數(shù)定義與不定式極限簡(jiǎn)介導(dǎo)數(shù)是高中重要的知識(shí)模塊，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).目前，大部分高中數(shù)學(xué)教師并不重視對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，正如章建躍先生所講：“當(dāng)下的概念課教學(xué)多是一種走‘形式化’的過(guò)程，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比

，如分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法求和、累加法、累乘法等.而數(shù)列求和問(wèn)題種類(lèi)繁多，絕大多數(shù)數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，不能直接用公式來(lái)求解.那怎樣才能快速地求出數(shù)列的和呢？下面重點(diǎn)談一談求數(shù)列和的三種辦法：分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法。一、分組求和法如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成的，那么我們可以運(yùn)用分組求和法來(lái)求該數(shù)列的和.在求和時(shí)，我們首先要從數(shù)列的通項(xiàng)入手，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列、可求和數(shù)列的和

的非錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法莫屬，本文主要從裂項(xiàng)的本質(zhì)來(lái)看裂項(xiàng)相消的。對(duì)常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消，無(wú)非通項(xiàng)公式是分式型或者根式型，對(duì)通項(xiàng)公式是分式結(jié)構(gòu)的式子，一般處理方法是直接撕開(kāi)，然后再通分回去，多了就除掉，少了就乘上;對(duì)根式型通項(xiàng)公式，我們的處理方法是乘上相應(yīng)的對(duì)偶式，構(gòu)造平方差公式即可，式子結(jié)構(gòu)雖有差異，但是其核心是不變的。我們來(lái)看幾道例題以上幾種情況是筆者對(duì)裂項(xiàng)相消法的整理，這幾種類(lèi)型的題目都反映了一個(gè)核心的問(wèn)題，那就是對(duì)通項(xiàng)公式是分式類(lèi)型或者根式型求和問(wèn)題，

比數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)、并項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加等方法。由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)相乘得到的數(shù)列，我們常用錯(cuò)位相減法來(lái)進(jìn)行求前n項(xiàng)和，但這一重要方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜且運(yùn)算量大。就這一題型，下面介紹另外三種解法。一、構(gòu)造等比數(shù)列法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為=bn-bn-1(q≠1)，則數(shù)列{qnbn+An+B}是一個(gè)公比為q的等比數(shù)列。例1求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解：此問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知b1=1，bn-，求bn。由得A=1，B=2。所以數(shù)列{3nbn+n+2}是

雜的錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，都是日常教學(xué)中的基本方法.近十年的教學(xué)一直是按照這樣的步驟和方法進(jìn)行.但在今年的這一屆學(xué)生中有學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法提出新的建議.那是一張很平常的練習(xí)題，里面有一個(gè)填空題，是關(guān)于一個(gè)通項(xiàng)是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和即.按照平常思維就按照錯(cuò)位相減法去解決.但因?yàn)楫?dāng)天講了關(guān)于裂項(xiàng)相消法的專(zhuān)題，“分式結(jié)構(gòu)”引起了他的思考.于是，他嘗試也去將分成兩項(xiàng)，他成功了.但因?yàn)榕逻@是一個(gè)偶然，于是把常見(jiàn)的錯(cuò)位相減的題目用兩種方法一起做進(jìn)行比較.發(fā)現(xiàn)這是

。 下面我們針對(duì)裂項(xiàng)相消法來(lái)研究解題策略。1 裂項(xiàng)相消法解題策略裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的重要方法之一， 下面我們將研究如下兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題1：如何裂項(xiàng)，需要注意哪些事項(xiàng)？問(wèn)題2：如何相消，最后剩下哪些項(xiàng)？裂項(xiàng)相消法實(shí)用范圍：若數(shù)列{an}具有特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，求{an}的前n 項(xiàng)和，則選用裂項(xiàng)相消法。在實(shí)際的應(yīng)用中，所給數(shù)列{an}并不具備特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn，經(jīng)驗(yàn)告訴我們：一般地，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)如果是一

考查的重點(diǎn)內(nèi)容,裂項(xiàng)法是求和的重要方法之一,這里重點(diǎn)介紹幾種不常見(jiàn)的裂項(xiàng)求和題型,希望能幫助同學(xué)們深刻理解這種方法的思想。裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干項(xiàng)之和。常用裂項(xiàng)形式有:例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2（an-1）（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)bn=ln an（n∈N*）,試求數(shù)列解析：（1）因?yàn)镾

法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等是數(shù)列求和的通用解法，其中裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中的非常重要的方法.裂項(xiàng)相消法主要是把數(shù)列中的每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)或多項(xiàng)的形式，在后續(xù)的運(yùn)算中相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)列求和.很多裂項(xiàng)相消的題目，數(shù)列通項(xiàng)會(huì)以分式的形式給出.在解題的過(guò)程中，需要根據(jù)具體的題目類(lèi)型進(jìn)行裂項(xiàng)，注意系數(shù)與計(jì)算最終的剩余項(xiàng).一、分子、分母都是常數(shù)或者普通等差數(shù)列的分式類(lèi)型這類(lèi)問(wèn)題最基本的裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和，最簡(jiǎn)單、最易理解，也是高中數(shù)學(xué)中最常出現(xiàn)的.通過(guò)例3的解決，

903班 孫靜楠裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的妙用■河南省鄭州市第一中學(xué)1903班 孫靜楠眾所周知,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和時(shí)常用錯(cuò)位相減法。但錯(cuò)位相減法運(yùn)算復(fù)雜,結(jié)果不易算對(duì)或不易化為最簡(jiǎn)形式,為此,我們借助例題介紹用裂項(xiàng)相消法求這類(lèi)數(shù)列的前n項(xiàng)和。分析：要想用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,首先應(yīng)把a(bǔ)n=(3n-1)×4n分解為另一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)差的形式,即構(gòu)造新數(shù)列{bn},使an=b

偉高考熱點(diǎn) ——裂項(xiàng)求和與錯(cuò)位相減求和評(píng)析■山東省濟(jì)南市章丘第一中學(xué)高二(5)班 王志偉我在學(xué)習(xí)之余發(fā)現(xiàn),每年的各地高考試題中都有一道數(shù)列主觀綜合題,其設(shè)置一般為二到三問(wèn),但是最后一問(wèn)基本就是數(shù)列求和問(wèn)題。而考查的數(shù)列求和方式主要有兩種:裂項(xiàng)求和與錯(cuò)位相減求和。裂項(xiàng)求和與錯(cuò)位相減求和在解答思路上都各有自身顯著的特點(diǎn)與思維模式,只要明確這些特點(diǎn)與思維模式,解答數(shù)列求和問(wèn)題就不是難事。例1 已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,an＞0且an≠1,若數(shù)列{bn}滿足bn

[摘 要] 拓展裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用范圍，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用裂項(xiàng)相消法證明等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解決數(shù)列求和中的一些基本問(wèn)題.[關(guān)鍵詞] 裂項(xiàng)；創(chuàng)新；運(yùn)用；舉例裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中的一種重要方法，但教材和流行資料中僅在一些典型題目中運(yùn)用. 筆者抓住裂項(xiàng)相消法的本質(zhì)特征，嘗試用這種方法解決數(shù)列求和中的一些基本問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了裂項(xiàng)相消法創(chuàng)新運(yùn)用的一些例子，現(xiàn)整理如下：例1：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=a1+（n-1）d，求證：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1+

第一中學(xué)數(shù)列求和裂項(xiàng)相消問(wèn)題 臨高考前答學(xué)生問(wèn)武增明 (郵編：653100)云南省玉溪第一中學(xué)距離高考僅有一個(gè)半月，一位高三的學(xué)生焦急地問(wèn)筆者這樣一個(gè)問(wèn)題：“老師，我對(duì)數(shù)列求和裂項(xiàng)相消問(wèn)題不熟，有些生疏，有沒(méi)有考前臨時(shí)抱佛腳的方法.”這是一個(gè)很棘手的問(wèn)題，作為老師的我不能在臨近高考之時(shí)打擊學(xué)生的信心.筆者第二天給了學(xué)生如下文章，不是很全面，也許不妥當(dāng)，權(quán)當(dāng)臨時(shí)抱佛腳.現(xiàn)送給每一位考生，希望能夠撫平焦慮的考生.1 積累基本裂項(xiàng)模型(18)n·n!=(n+1)

學(xué)高三(1)班對(duì)裂項(xiàng)相消法求和命題形式的歸納■天津市武清區(qū)梅廠中學(xué)高三(1)班李博文裂項(xiàng)相消法求和就是把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和。裂項(xiàng)相消法求和是歷年高考的重點(diǎn),命題角度凸顯靈活多變,在解題中要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想,變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,達(dá)到求解目的。利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng):(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng);(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)

4000）例說(shuō)“裂項(xiàng)相消法”求和林嘉慧（龍巖市高級(jí)中學(xué)，福建龍巖364000）通過(guò)實(shí)例對(duì)數(shù)列中常用的“裂項(xiàng)相消法”進(jìn)行如下分類(lèi)解說(shuō)：利用分式的基本性質(zhì)裂項(xiàng)；利用分母有理化的方法裂項(xiàng)；利用排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)裂項(xiàng)；利用指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則裂項(xiàng)；利用三角公式進(jìn)行裂項(xiàng)；利用抽象函數(shù)的定義裂項(xiàng)。數(shù)列；裂項(xiàng)；相消有些數(shù)列的前n項(xiàng)和，可以從通項(xiàng)出發(fā)，把數(shù)列的各項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)的差的形式，使得相加后抵消絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的項(xiàng)，從而達(dá)到求和的目的，這種方法叫裂項(xiàng)相消法。裂

祥聚焦數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法安徽省和縣三中 范世祥數(shù)列求和問(wèn)題因其綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)成為高考考查的重點(diǎn)。其中通項(xiàng)公式拆分的方法，即裂項(xiàng)相消法在高中數(shù)列求和中有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)列求和的常用方法之一。此方法能夠很好地考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，歷年來(lái)在高考和自主招生考試以及競(jìng)賽試題中不斷出現(xiàn)，且形式各異。本文分類(lèi)列舉幾題，與大家共同探討。一、常見(jiàn)的裂項(xiàng)問(wèn)題二、先變形，后裂項(xiàng)評(píng)注與例1相比，本題中的通項(xiàng)公式的分母雖然不是等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)乘積的形式，但是

相減、直接求和、裂項(xiàng)相消以及分組轉(zhuǎn)化五類(lèi)方法，本文的研究成果將為簡(jiǎn)化數(shù)列求和、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供有益幫助。關(guān)鍵詞：倒序；錯(cuò)位；直接；裂項(xiàng)；分組轉(zhuǎn)化一、倒序相加法二、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法不僅是進(jìn)行等比數(shù)列推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式時(shí)常用的重要方法，同時(shí)也是求通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比數(shù)列形式的和的重要方法，即錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和的求解，其中{an}、{bn}分別為等差與等比數(shù)列。一般地，在已知的和式的兩邊同時(shí)乘以此數(shù)列組成中的等比數(shù)列的公比

很多解決的辦法，裂項(xiàng)相消法就是其中一種，其實(shí)質(zhì)是將求和式子中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.它是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用.是最常見(jiàn)，最好用，也是最難掌握的方法.筆者就在高招、自主招生、及競(jìng)賽中遇到的問(wèn)題來(lái)談?wù)?span id="0sa0w0o" class="hl">裂項(xiàng)相消法的形成思路、解題技法、出題規(guī)律，以饗讀者.1等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的裂項(xiàng)法推導(dǎo)例1已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0），首項(xiàng)為a1的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和Sn.解析an=12d（anan+1

濘敏[摘 要] 裂項(xiàng)相消法是解決數(shù)列求和的一種重要方法，但隨著課改的深入，裂項(xiàng)相消法的形式和類(lèi)型也在傳統(tǒng)的等差型、等比型、無(wú)理型等基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新，本文將通過(guò)幾例介紹幾種特殊的用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)求和的類(lèi)型，幫助學(xué)生準(zhǔn)確地將通項(xiàng)裂項(xiàng)相消，以達(dá)到求和的目的.[關(guān)鍵詞] 待定系數(shù)法；裂項(xiàng)求和

的數(shù)列求和），“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等一系列的方法.筆者經(jīng)過(guò)探討an=（an+b）+c·qn發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這些問(wèn)題均可以通過(guò)“裂項(xiàng)相消法”予以解決. 本文對(duì)此加以解釋說(shuō)明，僅供參考！一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)教材中對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，采用的是“倒序相加法”，其實(shí)也可以利用“裂項(xiàng)相消法”求和來(lái)推導(dǎo).問(wèn)題1若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解析等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1-d+dn，只

海波高考中一道“裂項(xiàng)求和”問(wèn)題課本探源☉廣東省興寧市第一中學(xué) 賴(lài)海波“裂項(xiàng)求和法”是數(shù)列求和問(wèn)題中重要的一種方法，多次出現(xiàn)在全國(guó)各省市的高考命題中，其本質(zhì)是“裂項(xiàng)相消”，即把數(shù)列的每一項(xiàng)裂分成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消之后剩下首尾若干項(xiàng).本文以2014年高考山東卷中數(shù)列解答題為例，就裂項(xiàng)法在數(shù)列求和中的應(yīng)用進(jìn)行探究.題目（2014年山東卷）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；由題意得（2

姚晶裂項(xiàng)法是高考數(shù)列題的一種常見(jiàn)的解題方法，學(xué)生往往把握不好裂項(xiàng)的本質(zhì)，在本文中筆者擬從裂項(xiàng)的本質(zhì)入手探討裂項(xiàng)法的常見(jiàn)技巧。裂項(xiàng)法是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，總之，裂項(xiàng)法作為求和的一個(gè)重要手段，掌握好這個(gè)手段對(duì)我們解決求和問(wèn)題有著重要作用，而掌握的關(guān)鍵就是把握裂項(xiàng)的實(shí)質(zhì)。endprint裂項(xiàng)法是高考數(shù)列題的一種常見(jiàn)的解題方法，學(xué)生往往把握不好裂項(xiàng)的本質(zhì)，在本文中筆者擬從裂項(xiàng)的本質(zhì)入手探討裂項(xiàng)法的常見(jiàn)技巧。裂項(xiàng)法是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分

蘇立標(biāo)裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中一種常用的方法，它能把一個(gè)龐大繁雜的求和式子變成簡(jiǎn)單易求的問(wèn)題.下面我們就來(lái)談?wù)?span id="owu00iy" class="hl">裂項(xiàng)相消法的幾個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用類(lèi)型.自然型自然型是跟自然數(shù)有關(guān)的一類(lèi)分式求和的問(wèn)題，是裂項(xiàng)相消法涉及的最基本的類(lèi)型，我們要加以熟練掌握.常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式有（n∈N*）：=-；=-，k≠0；=-；=-.例1 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2） 令bn=，數(shù)列{bn}的

4000)數(shù)列中裂項(xiàng)相消的常見(jiàn)策略●馬杰(宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 安徽宿州 234000)裂項(xiàng)相消是數(shù)列中常見(jiàn)的求解策略，裂項(xiàng)的本質(zhì)是把數(shù)列中的乘積形式變成2項(xiàng)差的形式.近幾年的數(shù)學(xué)高考試題頻頻用到此類(lèi)方法，本文就解決這類(lèi)問(wèn)題的策略結(jié)合常見(jiàn)的試題給予概括總結(jié),以供參考.1 利用分式的通分進(jìn)行裂項(xiàng)分析因?yàn)樗岳?已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求a4及Sn；(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)分析(1)略.