王美華

關(guān)于數(shù)列的求和，從最簡單的定義法，分組法到復(fù)雜的錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，都是日常教學(xué)中的基本方法.

近十年的教學(xué)一直是按照這樣的步驟和方法進(jìn)行.但在今年的這一屆學(xué)生中有學(xué)生對錯(cuò)位相減法提出新的建議.那是一張很平常的練習(xí)題，里面有一個(gè)填空題，是關(guān)于一個(gè)通項(xiàng)是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和即.按照平常思維就按照錯(cuò)位相減法去解決.但因?yàn)楫?dāng)天講了關(guān)于裂項(xiàng)相消法的專題，“分式結(jié)構(gòu)”引起了他的思考.于是，他嘗試也去將分成兩項(xiàng)，他成功了.

但因?yàn)榕逻@是一個(gè)偶然，于是把常見的錯(cuò)位相減的題目用兩種方法一起做進(jìn)行比較.發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)通法，即所有的錯(cuò)位相減法都可以轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)相消法.下面舉兩個(gè)具體的例子說明用“裂項(xiàng)相消法”去取代“錯(cuò)位相減法”的妙用.

（1）使用錯(cuò)位相減法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂項(xiàng)相消法：sn＝a1+a2+…+an

右式通分后與左式對比得到：n＝kn+b-2k

2.對于公比q∈（1，+∞），整式結(jié)構(gòu).如an＝n·3n，求sn＝a1+a2+…+an

（1）使用錯(cuò)位相減法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂項(xiàng)相消法：sn＝a1+a2+…+an

從通項(xiàng)an＝n·3n出發(fā)

這個(gè)裂項(xiàng)的結(jié)果也是由待定系數(shù)而得到，即令n·3n＝［k（n+1）+b］·3n+1-（kn+b）·3n，

右式通分后與左式對比得到：n＝2kn+2b+3k

歸納上面的兩個(gè)實(shí)例，可將所有的“錯(cuò)位相減法”轉(zhuǎn)化為“裂項(xiàng)相消法”，即

（將右式通分，由待定系數(shù)法，解出m，r的值.）

題型二：an＝（kn+b）·cn＝［m（n+1）+r］·cn+1-（mn+r）·cn

（將右式合并，由待定系數(shù)法，解出m，r的值.）

對于方法的轉(zhuǎn)化，有的題目會(huì)比原方法簡單，有的題目會(huì)比原方法復(fù)雜.不管結(jié)果怎樣，這種思考的方式得到改變是值得肯定的.這件事讓我明白，學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)在路上，教學(xué)方法也是永遠(yuǎn)在路上.

年復(fù)一年的教學(xué)，讓很多教師包括我自己人對很多的教學(xué)內(nèi)容理所當(dāng)然，對基本方法也是慣性思維.這次的發(fā)現(xiàn)讓我徹底反思，不管做到怎樣好，我們的教學(xué)工作一定有許多地方可以突破和創(chuàng)新.關(guān)鍵的問題是我們能否愿意去改變，去沖破思維定勢.不斷去嘗試，才能讓我們的工作充滿激情.