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        求數(shù)列和的兩種常用技巧

        2022-04-09 22:32:40祁曉莉
        關(guān)鍵詞:技巧

        祁曉莉

        解答數(shù)列求和問(wèn)題的技巧有很多種,如錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和、倒序相加等.每種求和方法的特點(diǎn)、適用情形都不相同.本文重點(diǎn)談一談求數(shù)列的和的兩種技巧:錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消.

        一、錯(cuò)位相減

        若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為一個(gè)等差數(shù)列、一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的乘積,則可采用錯(cuò)位相減的方法來(lái)求數(shù)列的和.在解題時(shí),需首先寫(xiě)出數(shù)列的和式,設(shè)其為 Sn ,然后在和式的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比 q,再將兩式作差,得 Sn - qSn,化簡(jiǎn)所得的結(jié)果,即可求得數(shù)列的和.在作差時(shí),需將其中一個(gè)和式錯(cuò)開(kāi)一位,以便使q 的指數(shù)冪相同的項(xiàng)相減,這樣有利于提升運(yùn)算的效率.

        例1.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為1,公比 q >0.若 a3+ b3= 21,a5+ b5= 13.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

        解:(1)略;

        (2)由(1)可得

        仔細(xì)觀察的通項(xiàng)公式,可發(fā)現(xiàn)該式由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的乘積構(gòu)成.求得等比數(shù)列的公比,便可通過(guò)錯(cuò)位相減來(lái)求得數(shù)列的和.

        二、裂項(xiàng)相消

        有些數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式,我們很難快速求得數(shù)列的和,可將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式,如等.在求和時(shí),中間的部分項(xiàng)便可相互抵消,這樣就能順利求得數(shù)列的和.在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意三點(diǎn):①根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)尋找裂項(xiàng)的規(guī)律;②要確保裂開(kāi)的前后項(xiàng)的絕對(duì)值相同,符號(hào)相反;③重新組合后,前面剩下的項(xiàng)數(shù)與后面剩下的相同.

        例2.

        分析:仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn),數(shù)列的通項(xiàng)公式為

        解:

        在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí),需先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式,明晰其規(guī)律和特征,對(duì)其進(jìn)行合理的裂項(xiàng),這樣便能為求和創(chuàng)造有利的條件.

        例3.

        解:

        ,

        因此,

        我們將,再將各項(xiàng)相加,便能使中間的部分項(xiàng)相互抵消,從而求得數(shù)列的和.

        求解數(shù)列求和問(wèn)題,需重點(diǎn)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式、和式,可對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缭诤褪降淖笥彝艘怨?、將通?xiàng)公式裂項(xiàng),以明晰其中的規(guī)律和特點(diǎn),為求和鋪平道路.

        (作者單位:甘肅省平?jīng)鍪徐`臺(tái)縣第一中學(xué))

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