葉擴(kuò)會(huì) 王景艷

（保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 保山 678000）

0 引言

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中難度跨度大、 求和方法多并且知識(shí)綜合性強(qiáng)的重要內(nèi)容， 在解題的過程中， 需要靈活掌握各種求和方法， 既要掌握解題策略， 更要掌握各種求和方法的實(shí)用范圍。 下面我們針對(duì)裂項(xiàng)相消法來研究解題策略。

1 裂項(xiàng)相消法解題策略

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的重要方法之一， 下面我們將研究如下兩個(gè)問題。

問題1：如何裂項(xiàng)，需要注意哪些事項(xiàng)？

問題2：如何相消，最后剩下哪些項(xiàng)？

裂項(xiàng)相消法實(shí)用范圍：若數(shù)列{an}具有特征

an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

求{an}的前n 項(xiàng)和，則選用裂項(xiàng)相消法。

在實(shí)際的應(yīng)用中，所給數(shù)列{an}并不具備特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn，經(jīng)驗(yàn)告訴我們：一般地，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)如果是一個(gè)分式， 即分母上含有n 的一個(gè)式子，則可用裂項(xiàng)相消法去求該數(shù)列的前n 項(xiàng)和。 如：

等等。 這些數(shù)列并不直接具備特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

這就要求我們進(jìn)行裂項(xiàng)，那么，如何進(jìn)行裂項(xiàng)，需要注意哪些事項(xiàng)？

裂項(xiàng)相消法解題策略：（1） 分母為兩項(xiàng)積的形式，如果分母不是，應(yīng)對(duì)分母進(jìn)行分解因式。 如

（2）認(rèn)準(zhǔn)分母湊分子，分子湊為分母之差，一般地為大減小，如：

分母分別為(2n-1)與(2n+1)兩項(xiàng)，因?yàn)?2n+1)-(2n-1)=2，故分子應(yīng)湊2，如

（3）將an裂為兩項(xiàng)之差。 如（2）中的

這里：

再如

由上式可知bn與bn+2相數(shù)差為2， 故前n 項(xiàng)和Sn中前面應(yīng)該剩兩項(xiàng)被減項(xiàng)b1，b2，后面剩兩項(xiàng)減項(xiàng)bn+2，bn+1，即

2 應(yīng)用舉例

為了能更好的說明上述思想，我們給出如下例子：

例[2018 四川廣元一模] 已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令

又an>0 知Sn=(n2+n)。

當(dāng)n=1 時(shí)，a1=S1=2；當(dāng)n ≥2 時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n，綜上所述：an=2n,n ∈N*。

（2）對(duì)數(shù)列{bn}按照裂項(xiàng)相消法解題策略進(jìn)行變形得

由于分母(n+2)2-n2=4(n+1)，故

顯然，數(shù)列Tn單調(diào)遞增，故當(dāng)n=1 時(shí)，Tn取最小值，且

3 結(jié)論

本文研究了裂項(xiàng)相消法的解題策略， 從裂項(xiàng)相消法的實(shí)用范圍， 到如何裂項(xiàng)， 最后研究了相消后所剩下的項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。 使得裂項(xiàng)相消法的解題策略程序化，更加易于掌握。