廉萬(wàn)朝

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，但是，無(wú)論是教材還是各種資料，給出的數(shù)列求和的方法多種多樣，如“公式法”（即等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式），“分組求和法”（即通項(xiàng)公式形如（其中a，b，c，q均為常數(shù)）的數(shù)列求和），“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等一系列的方法.筆者經(jīng)過(guò)探討an=（an+b）+c·qn發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這些問(wèn)題均可以通過(guò)“裂項(xiàng)相消法”予以解決. 本文對(duì)此加以解釋說(shuō)明，僅供參考！

一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

教材中對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，采用的是“倒序相加法”，其實(shí)也可以利用“裂項(xiàng)相消法”求和來(lái)推導(dǎo).

問(wèn)題1若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解析等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1-d+dn，只需對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行 “裂項(xiàng)”即可，而其余項(xiàng)均為常數(shù)項(xiàng).

由于n=（n+1）2-n22-12，

所以an=（a1-d）+d[（n+1）2-n22-12]

=（a1-32d）+d2[（n+1）2-n2].

于是

Sn=（a1-32d）n+d2[（22-1）+（32-22）+（42-32）

+…+（n+1）2-n2]

=（a1-32d）n+d2[（n+1）2-1]

=na1+n（n-1）d2.

從而得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為

Sn=na1+n（n-1）d2.

二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

教材中對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，采用的是 “錯(cuò)位相加法”，也可以采用“裂項(xiàng)相消法”推導(dǎo).

問(wèn)題2數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，求其前n項(xiàng)和Sn.

解析當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1是顯而易見(jiàn)的，我們只探討公比q≠1的情況，只需要對(duì)qn進(jìn)行“裂項(xiàng)”，

由于qn=1q-1（qn+1-qn），

所以，等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

an=a1qn-1=a1q-1（qn-qn-1）.

于是

Sn=a1q-1[（q1-q0）+（q2-q1）+（q3-q2）+…

+（qn-qn-1）]

=a1q-1（qn-1）.

從而得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

三、通項(xiàng)公式形如an=（an+b）qn （其中a，b，q為常數(shù)，且q≠1）的數(shù)列求和

各種資料對(duì)這種形式的數(shù)列求和，都采用“錯(cuò)位相減法”，本文采用“裂項(xiàng)相消”予以解決，并加以推廣.

問(wèn)題3若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（2n+1）·3n，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

解析利用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行“裂項(xiàng)”.

設(shè)an=（2n+1）·3n

=[a（n+1）+b]·3n+1-（an+b）·3n，

解得a=1，b=-1，

于是an=（2n+1）·3n

=[（n+1）-1]·3n+1-（n-1）·3n，

所以Sn=（32-0）+（2×33-32）+（3×34-2×33）

+…+{[（n+1）-1]·3n+1-（n-1）·3n}

=[（n+1）-1]·3n+1=n·3n+1.

對(duì)于一般情況，當(dāng)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（an+b）qn （其中a，b，q為常數(shù)，且q≠1）時(shí)，也同樣可以利用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行“裂項(xiàng)”，即an=（an+b）qn=[s（n+1）+t]qn+1-（sn+t）qn，待定出系數(shù)s，t，最終使其前n項(xiàng)的和能夠相消，達(dá)到求前n項(xiàng)和的目的.

上述問(wèn)題還可推廣為：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（an2+bn+c）qn （其中a，b，c，q為常數(shù)，且q≠1），也同樣可以利用待定系數(shù)法進(jìn)行“裂項(xiàng)”，即an=（an2+bn+c）qn=[s（n+1）2+t（n+1）+r]qn+1-（sn2+tn+r）qn，待定出系數(shù)s，t，r，使其前n項(xiàng)和能夠相消.甚至通項(xiàng)公式為an=f（n）qn （其中f（n）是關(guān)于n的多項(xiàng)式函數(shù)），均可以利用“裂項(xiàng)相消”進(jìn)行數(shù)列求和，其思路方法同上，不再贅述.

四、其它幾類(lèi)數(shù)列的求和

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{banan+1}（其中b為常數(shù)）的前n項(xiàng)和Sn的求法，以及通項(xiàng)公式an=1n+1+n及其相類(lèi)似的問(wèn)題，本身就采用“裂項(xiàng)相消”進(jìn)行數(shù)列求和，不再贅述.

以上分析可以看出，對(duì)于數(shù)列求和的常見(jiàn)問(wèn)題，都可以采用“裂項(xiàng)相消”進(jìn)行數(shù)列求和，因而“裂項(xiàng)相消”成為數(shù)列求和的方法之源，也使得數(shù)列求和的方法得以統(tǒng)一.