楊龍婷 付現(xiàn)亞
眾所周知,“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”是高中數(shù)學(xué)中的一大教學(xué)難點,更是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接過渡的重要節(jié)點,故而高中數(shù)學(xué)老師或多或少都會給班級學(xué)生講授與“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”相關(guān)的知識內(nèi)容,以此達到教學(xué)目的.本文以“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)中關(guān)鍵性問題解析”為題,闡明了“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的主要內(nèi)容,隨后結(jié)合具體例題論述了教學(xué)“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”過程中常見的問題,旨在有效解決學(xué)習(xí)過程中遇到的疑難問題.
一、“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的主要內(nèi)容
1.極坐標(biāo)系的主要內(nèi)容
生活中常常用距離和方位兩種元素確定點的位置,將這種方法“數(shù)學(xué)化”之后便是“極坐標(biāo)系”的雛形.高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“極坐標(biāo)系”延伸了多樣內(nèi)容,具體為:極坐標(biāo)系的概念;借互化兩種坐標(biāo)系方程的方法讓學(xué)生明晰了解極坐標(biāo)方程的形式;對一些簡單曲線、過極點直線、極坐標(biāo)方程推導(dǎo)等做以闡釋,讓學(xué)生更加清楚認(rèn)知極坐標(biāo)系;教學(xué)過程中重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,使得學(xué)生會求簡單曲線的極坐標(biāo)方程,并明確其價值意義.
2.參數(shù)方程的主要內(nèi)容
在“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”中,數(shù)形結(jié)合、運動變化、分解合成等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用范疇較為廣闊,所以數(shù)學(xué)老師可借此培育學(xué)生的辯證思維.“參數(shù)方程”涵蓋內(nèi)容眾多,不僅涉及直線、圓、圓錐曲線方程等內(nèi)容,而且要求教會學(xué)生通過優(yōu)化參數(shù)的方式求出已知曲線方程的參數(shù)形式,由此等價互化參數(shù)方程與普通方程.除此之外,老師也適時運用現(xiàn)實生活實例,利用數(shù)學(xué)習(xí)題加深并鞏固學(xué)生對參數(shù)方程的學(xué)習(xí)和理解.
二、結(jié)合例題論述教學(xué)“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”過程中常見的問題
在“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”的教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)老師必須在高考大綱的指導(dǎo)下開展針對性教學(xué),以便學(xué)生能夠掌握該知識點的考試方向,從而降低學(xué)習(xí)的難度.基于此,此處選定的幾道例題都是高考中曾出現(xiàn)的真題,以期“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”的學(xué)習(xí)能夠深入學(xué)生之心.
1.在極坐標(biāo)系下探求圖形形狀
例1極坐標(biāo)方程ρ=cosθ和參數(shù)方程x=-1-t,
y=2+3t (t為參數(shù)),這兩個方程所表示的圖形分別是什么?
解析直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)可以互化,根據(jù)公式可知,ρ=cosθ等價為(x-0.5)2+y2=0.25,表示圓心在(0.5,0)半徑為0.5的圓.再根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化規(guī)則,可知,該參數(shù)方程就是直線方程.因此這兩個方程所代表的圖形就是圓和直線.
點撥做好此類題目,一是要熟練記憶簡單圖形的曲線方程,二是利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的辦法求出答案.
2.真實掌握兩類轉(zhuǎn)化
例2已知圓C的參數(shù)方程為x=cosα,
y=1+sinα (α是參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1,求直線l與圓C的交點的直角坐標(biāo).
解析將圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x2+(y-1)2=1,直線的直角坐標(biāo)方程為y=1,聯(lián)立兩個方程即可解得交點的直角坐標(biāo)為(1,1),(-1,1).
點撥對于這種類型的題目,老師可教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用交點含義,轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系的方式解題,亦可用解析幾何知識求解答案.
例3給定曲線C的參數(shù)方程為x=2+3cosθ,
y=-1+3sinθ,其中θ為參數(shù),如若直線方程為x-3y+2=0,則曲線C上到直線距離為71010的點有多少個?
解析曲線C的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為普通方程,即(x-2)2+(y+1)2=9,所以可得曲線C是圓心在(2,-1),半徑為3的圓.此外,它和直線相交,圓心到直線的距離為71010,3-71010<71010,故而經(jīng)過圓心,且與直線l平行的直線與圓相交的兩個點符合題意.
3.感受直線的參數(shù)方程,體會參數(shù)所代表的幾何意義
例4在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3-22t,
y=5+22t (t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的單位長度,并且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)圓C的方程為ρ=25sinθ.①求圓C的直角坐標(biāo)方程;②設(shè)圓C與直線l交于點A、B,如若點P的坐標(biāo)為(3,5),求|PA|+|PB|.
解析①圓C的直角坐標(biāo)方程為:x2+(y-5)2=5;
②方法一:把直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,即x+y-3-5=0,將此方程與圓C的直角坐標(biāo)方程相聯(lián)立,計算得出交點坐標(biāo)為(1,2+5),(2,1+5),將這兩個交點坐標(biāo)代入兩點之間距離公式,得出:|PA|+|PB|=32.
方法二:題目中的直線一定經(jīng)過定點P,所以可以把直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,得出:(3-22t)2+(22)2=5,即t2-32t+4=0.在此基礎(chǔ)上根據(jù)圖形和參數(shù)t的幾何
意義得出:|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.
4.綜合極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
例5已知曲線C1的參數(shù)方程是x=2cosφ,
y=3sinφ (φ是參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2,正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標(biāo)為(2,π3).
(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.
解析由已知可得
A(2cosπ3,2sinπ3),B(2cos(π3+π2,2sin(π3+π2)),
C(2cos(π3+π),2sin(π3+π)),
D(2cos(π3+3π2),2sin(π3+3π2)),
即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).
(Ⅱ)設(shè)P(2cosφ,3sinφ),
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
則S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因為0≤sin2φ≤1,所以S的取值范圍是[32,52].
點撥對于此種類型的題目,老師必須強調(diào)基礎(chǔ)教學(xué),夯實學(xué)生知識基礎(chǔ),運用好轉(zhuǎn)化思想.
總而言之,高中數(shù)學(xué)老師在開展“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”這一知識點的教學(xué)時,老師必須適宜滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,緊扣教材、悉心講解,從而滿足學(xué)生需求,讓學(xué)生把此類知識點掌握得更加嫻熟.