☉廣東省興寧市第一中學(xué) 賴海波

高考中一道“裂項(xiàng)求和”問題課本探源

☉廣東省興寧市第一中學(xué) 賴海波

“裂項(xiàng)求和法”是數(shù)列求和問題中重要的一種方法，多次出現(xiàn)在全國各省市的高考命題中，其本質(zhì)是“裂項(xiàng)相消”，即把數(shù)列的每一項(xiàng)裂分成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消之后剩下首尾若干項(xiàng).本文以2014年高考山東卷中數(shù)列解答題為例，就裂項(xiàng)法在數(shù)列求和中的應(yīng)用進(jìn)行探究.

題目（2014年山東卷）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

由題意得（2a1+2）2=a1（4a1+12），解得a1=1，所以an= 2n-1.

所以Tn=

例1（2012年高考全國）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）.

解析：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d.

a5=a1+4d=5，S5=5，解得a1=1，d=1，則an=

S100=

變式1：根式型

例2已知數(shù)列｛an｝滿足N*），則數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=____________.

變式2：對數(shù)型

例3已知數(shù)列｛an｝滿足則數(shù)列｛an｝ 的前n項(xiàng)和Sn=______________.

Sn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+［ln（n+1）-lnn］=ln（n+ 1）-ln1=ln（n+1）.

變式3：指數(shù)型

例4已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3，數(shù)列｛Sn+1｝是公比為4的等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；

解析：（1）Sn+1=（S1+1）·4n-1=4n，則Sn=4n-1.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=3·4n-1.又a1=3滿足an=3·4n-1，故數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=3·4n-1.

變式4：放縮后裂項(xiàng)

例5（2013年高考廣東）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

總之，裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中應(yīng)用最廣泛的一種方法，一些常見數(shù)列（包括等差和等比數(shù)列），都可以采用裂項(xiàng)相消法求和.對于不能直接裂項(xiàng)求和的數(shù)列，則可通過放縮變形，使其成為可裂項(xiàng)求和類型.