☉江蘇省南通市八一中學(xué)　丁麗云

解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”
——以七年級上學(xué)期期末模擬測試考題為例

☉江蘇省南通市八一中學(xué)丁麗云

最近，筆者所在七年級數(shù)學(xué)組為了“備戰(zhàn)”期末考試，安排了模擬測試，最后一道題選用了北京某區(qū)七年級期末卷上的一道把關(guān)題，由于學(xué)生考試時間有限，很少有學(xué)生能完整解決該題，也使得這道習(xí)題呈現(xiàn)了一定的區(qū)分功能.本文對這道較難幾何題展開講評，希望引發(fā)大家深入思考這類問題的解題策略、講評技巧.

一、題例與思路講解

例1已知∠AOB＝α（30°＜α＜45°），∠AOB的余角為∠AOC，∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.

圖1

（1）如圖1，當(dāng)α＝40°，且射線OM在∠AOB的外部時，用直尺、量角器畫出射線OD、ON的準(zhǔn)確位置.

（2）求（1）中∠MON的度數(shù)，要求寫出計算過程.

（3）當(dāng)射線OM在∠AOB的內(nèi)部時，用含α的代數(shù)式表示∠MON的度數(shù).（直接寫出結(jié)果即可）

1.讀懂語句想概念，明確起點(diǎn)是關(guān)鍵

問題的“題干”中并沒有“如圖”，就說明題目中雖然有一個圖形，但是并不是題干所約定的一個圖形，這是不少學(xué)生初讀題時就陷入一個不好的思考方向.實際上問題的起點(diǎn)只是一個“∠AOB＝α（30°＜α＜45°）”.進(jìn)一步，這個角的余角為∠AOC，仔細(xì)觀察和分析會發(fā)現(xiàn)，這個角與∠AOB有一條公共邊，但另一邊（射線OC）的位置有幾種？唯一嗎？想清楚這個問題是很關(guān)鍵的，因為涉及“余角”的概念，數(shù)學(xué)上對于余角的定義，只強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系，并沒有特殊的位置關(guān)系；同樣的思考就可用于“∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD”.理解題意后，才會發(fā)現(xiàn)，問題的起點(diǎn)就很復(fù)雜，需要分類討論，我們可以用量角器畫圖，如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

進(jìn)一步思考，射線OD1一定需要用量角器來作圖嗎？射線OD1與OA的位置關(guān)系如何？它們恰在一條直線上嗎？回答是肯定的！類似地，射線OC1與OB的位置關(guān)系是一種垂直狀態(tài)嗎？當(dāng)然，它們各自的另一種情形（射線OC2，OD2），目前還是需要用量角器來畫圖的；進(jìn)一步兩種角的平分線也就可以畫出了（圖3）.

上面說了這么多，還沒有進(jìn)入第（1）問，“慢”得真讓人不可思議，這是什么意圖呢？因為我們需要真正明確問題的起點(diǎn).當(dāng)我們深刻理解了上面的這些可能的圖形及位置關(guān)系，就對于后續(xù)問題的求解起到很好的作用.

2.特例引路畫準(zhǔn)圖，分類討論防漏解

第（1）問“當(dāng)α＝40°，且射線OM在∠AOB的外部時”這句話的意思是什么呢？要分開解讀，第一，α＝40°說明∠AOB的大小被確定；第二，“射線OM在∠AOB的外部”就比較難理解了！從圖3發(fā)現(xiàn)，我們要舍一種情況，得出圖4，圖4中，待求的∠MON有兩種可能，即∠M1ON1，∠M1ON2，根據(jù)互余、互補(bǔ)易得∠M1OA＝25°，∠N1OB＝∠N2OB＝70°，求出相應(yīng)的∠M1ON1，∠M1ON2為135°、5°.

圖4

3.強(qiáng)化條件是何意，以美啟真來破題

第（3）問有一定的難度，但是與上面第（1）問的思考類似，結(jié)合強(qiáng)化條件“射線OM在∠AOB的內(nèi)部”從圖3出發(fā)，得出圖5.

圖5

很明顯，問題還應(yīng)該是有兩解，∠M2ON1，∠M2ON2.那么怎么用含α的式子表示呢？還是先退回“題干”中思考概念吧！根據(jù)互余、互補(bǔ)的概念能否用含α的式子表示∠M2OA，∠N1OB，∠N2OB呢？想清楚這個步驟是很關(guān)鍵的，即∠M2OA∠D2OB＝（180°-α），進(jìn)一步可以表示出∠BOM2＝∠AOB-于是，∠M2ON1＝

反思回顧收獲大：問題的答案已經(jīng)獲得，但并不代表思考就可以終止.美國數(shù)學(xué)教育學(xué)者舍費(fèi)爾德所說的“求出答案并繼續(xù)前進(jìn)”就是這個道理.下面我們基于對稱的角度來思考，請看圖6.

圖6

在圖6中，我們構(gòu)造出兩條對稱軸（請注意，學(xué)生在小學(xué)就知道對稱軸的概念），基于對稱，就容易發(fā)現(xiàn)射線OD1與OD2，OC1與OC2它們的對稱關(guān)系，這樣也就知道問題的兩種情況不僅僅是“數(shù)量”上的關(guān)系，而且也有“圖形”上的關(guān)聯(lián)，可見，數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合思想方法并不是一句空話.

二、關(guān)于解題教學(xué)的思考

上面圍繞這道幾何把關(guān)題給出問題的思路突破，其實也是解題教學(xué)上的一種講評策略，以下再由這道具體習(xí)題的解題與講評說開去，進(jìn)一步思考解題教學(xué)值得在哪些方面用力.

1.當(dāng)思路受阻時，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”

解題思路受阻是解決數(shù)學(xué)題時經(jīng)常碰到的，這時是盲目突進(jìn)、胡思亂想？還是有序思考、冷靜從容？從哪些角度嘗試呢？當(dāng)問題毫無思路或念頭時，要先向上退，退到問題表述中，逐字逐句重新讀題，比如上文提出的考題，第（1）問有強(qiáng)化條件“射線OM在∠AOB的外部”，如何解讀這句，對于問題的思路打通是很關(guān)鍵的，除了上文在解題準(zhǔn)備階段先分析出圖2、圖3有助于進(jìn)一步分析之外；這句強(qiáng)化條件也能啟發(fā)思考，射線OM在什么情況下才會在∠AOB的外部？從而思考角的概念，知道角的內(nèi)部、外部與角的兩邊（共端點(diǎn)的兩條射線）之間的關(guān)系，也就使得問題結(jié)構(gòu)進(jìn)一步清晰化.

2.當(dāng)解答漏解時，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”

這道考題最大的一個問題就是容易出現(xiàn)漏解.這時需要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀“∠AOB的余角為∠AOC”，就可以“回到概念”，回到“余角”的概念，就知道余角的概念只是一種數(shù)量關(guān)系，而與位置關(guān)系無關(guān)，結(jié)合這道題有一個公共邊OA，則需要考慮不同的情形，也就能夠獲得進(jìn)展，防止漏解了.

3.當(dāng)解后反思時，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”

我們知道，數(shù)學(xué)問題解后缺少回顧反思，常?！叭雽毶蕉辗怠?解后反思環(huán)節(jié)，除了思考問題考查的深層結(jié)構(gòu)、經(jīng)典模式、思想方法等角度外，還可思考問題考查了哪些核心概念，這些概念的本質(zhì)屬性對于問題思路的獲取有何作用.比如，上面在回顧反思階段，基于對稱的角度讓學(xué)生獲得更為全面的認(rèn)識，有一種“居高臨下”之感，就容易洞察問題的本質(zhì)，明晰問題的結(jié)構(gòu)，這樣有助于達(dá)到“解一題、會一類、通一片”的解題效果.

1.袁亞良.一次市級說題比賽的成果展示與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（5）.

2.楊千帆.3P策略：有效的師生溝通策略［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2015（6）.

3.肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（7）.