☉江蘇省海安縣墩頭鎮(zhèn)墩頭初級中學(xué)　朱俊英

為何要摒棄“通法”？

☉江蘇省海安縣墩頭鎮(zhèn)墩頭初級中學(xué)朱俊英

《中國數(shù)學(xué)教育》（初中版）2014年第10期刊載了陳金紅老師的文章《幾何“形”，代數(shù)“聲”，三角函數(shù)“心”》，該文談?wù)摰氖?014年湖南省常德市的一道中考壓軸題.

題目如圖1、2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G.

（1）在圖1中，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，AP=x，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）結(jié)論：GB⊥EF對圖1、圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；

（3）請根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB.

圖1

圖2

文章的標(biāo)題充滿誘惑，陳老師在分析中寫道：“表面上看是一道幾何題，受思維定勢的影響，使用純幾何方法（如同表面漂亮的人被定勢為其他方面均優(yōu)秀的錯覺），誤引幾乎所有答題者（其中也包括命題者）向純幾何苦苦尋‘路’，卻路途荊棘叢生不得要領(lǐng)！致使在規(guī)定的時間內(nèi)一般思維品質(zhì)的人跳不出這個‘框框’，使人解題失??！”接著給出了較為“奇葩”的解法……文章的結(jié)尾寫道：“此題用到殘缺圖形補(bǔ)全、圖形數(shù)量代數(shù)化，還運(yùn)用了以相似為基礎(chǔ)的銳角三角函數(shù)、見直角用‘三角’，充分說明了審美數(shù)學(xué)、學(xué)科融合教學(xué)、知識聯(lián)系性教學(xué)、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、重視數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的重要性，更重要的是說明數(shù)學(xué)最好的方法是對生活的理解，把對生活的理解運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，又通過數(shù)學(xué)回歸生活，數(shù)學(xué)生活方法化，生活方法回歸化，從哲學(xué)的高度提煉數(shù)學(xué)方法，從而印證數(shù)學(xué)是方法論、是價值觀、是素質(zhì)的核心！”筆者讀后一頭霧水，陳老師為何要故弄玄虛、簡單問題復(fù)雜化？一道常規(guī)的幾何題，用很常規(guī)的解法能夠奏效，怎么變成“受思維定勢的影響”？既是在規(guī)定的考試時間內(nèi)解題，不走捷徑反而想“跳出框框”有何道理？其實，要證“GB⊥EF，△FGC∽△PFB”是常見的幾何問題，純幾何方法并不困難，證明如下.

證明：（2）如圖3，延長FP交AB于H.

圖3

由PF⊥DC，PE⊥AD，得PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°.

由四邊形ABCD是正方形，得AC平分∠DAB.

可得PF=FC=HB，EP=PH.

（3）如圖4，連接PD，由GB⊥EF，得∠BPF=∠CFG=90°-∠PFG①.

圖4

則PD=PB.而PD=EF，則EF=PB.

由GB⊥EF，得PF2=FG·EF，則PF2=FG·PB.又PF= FC，則PF·FC=FG·PB，則

由①和②得△FGC∽△PFB.

上述證明樸素、自然，是解決類似問題的“通法”.所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.通性通法更貼近學(xué)生的思想認(rèn)識水平，符合常人的思維習(xí)慣，同樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，幾何中一些常用的輔助線、常見題型的證題思路，就是學(xué)生在證題時的“通法”，項武義教授主張通性通法，主張教學(xué)生“大巧”，少講只適用于一題或幾道題的“小法”；章建躍博士也曾在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》撰文《注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》.數(shù)學(xué)屬于思考型的學(xué)科，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中理性思維起主導(dǎo)作用，解題教學(xué)要更多地注重思考題目的“核心”是什么，從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西.掌握好數(shù)學(xué)模式題的通用方法，摒棄“通法”得不償失.

無獨(dú)有偶，近讀陳永明名師工作室編著的《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究》一書，在第110頁見到一道幾何難題.

題目已知：如圖5，AB=BC，∠ABC=90°，AD=DE，∠ADE=90°，M為EC的中點.求證：BM=DM.

圖5

書中給出的證法如下所示.

如圖6，作BG⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為G、F，設(shè)AB=a，AD=b，易得CM=EM=（a-b）；

所以BM=DM.

這個證法的簡潔性毋容置疑，但筆者認(rèn)為技巧性太強(qiáng)，缺乏解題經(jīng)驗的“顯性化和算法化”，難以普遍使用.其實，這雖是一道幾何難題，但圖形特色鮮明，用“通法”也能破解.

圖6

一、“通法”探究

1.直接構(gòu)造全等三角形

分析：要證BM=DM，可直接過點B、D作AC的垂線構(gòu)造兩個直角三角形全等證明.

證法1：如圖6，作BG⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為G、F.

所以Rt△BGM≌Rt△MFD，故BM=DM.

分析：要證BM=DM，可設(shè)法構(gòu)造其中一邊為BM的三角形與△EDM全等，延長DE交BC于F，連接FM即可.

證法2：如圖7，延長DE交BC于F，連接FM.

顯然EF⊥FC，BF=AD=DE，∠C= 45°=∠AED=∠FEC.

則FE=FC.又EM=MC，則FM=EM= MC，則∠MFC=∠C=45°，∠BFM= 135°=∠DEM.

則△BFM≌△DEM.則BM=DM.

圖7

2.倍長“中線”構(gòu)造間接全等三角形

這里的“中線”泛指經(jīng)過中點的線段，將中線延長一倍構(gòu)造全等三角形是解決中點幾何問題行之有效的方法.

圖8

證法3：如圖8，延長DM至點F，使FM=DM.連接FC、FB、DB，顯然△FCM≌△DEM.

則CF=DE=AD，∠MDE=∠MFC，則DE∥CF∥AB.

則∠BCF=∠ABC=90°=∠BAD.

于是△BCF≌△BAD.

則BD=BF，∠ABD=∠CBF.

由∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，得∠DBF=∠ABC=90°.

在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM.

這幾種證法都是“通法”，表面上看，最后一種證法比較煩瑣，但卻是解決中點幾何問題最適宜的“通法”之一，值得好好體會.

二、“變式”探究

1.延伸

在原題的條件下，還可以證明BM⊥DM.

證法1：如圖6，由Rt△BGM≌Rt△MFD，得∠BMG=∠MDF.則∠BMD=∠BMG+∠FMD=∠MDF+∠FMD= 90°，所以BM⊥DM.

證法2：如圖7，由△BFM≌△DEM，得∠BMF=∠DME，

所以∠BMD=∠BMA+∠DME=∠BMA+∠BMF= 90°，所以BM⊥DM.

證法3：如圖8，在Rt△DBF中，因為BD=BF，DM=MF，所以BM⊥DM.

圖9

2.拓展

如果將圖5中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)大于45°且小于90°的角，如圖9，那么“BM=DM且BM⊥DM”是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.

分析：此題用證法1、2顯然無能為力，而用證法3可順利得解.

解：BM=DM且BM⊥DM仍成立.理由如下.

圖10

如圖10，連接BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連接BF、FC，延長ED交AC于點H.

由DM=MF，∠EMD=∠CMF，EM=MC，得△EDM≌△CFM.

則ED=CF，∠MED=∠MCF，DE∥CF.

由ED=AD，ED=CF，AD=CF.

由DE∥CF，得∠AHE=∠ACF.

又∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，∠BCF=∠ACF-45°，則∠BAD=∠BCF.

又AB=BC，AD=CF，則△ABD≌△CBF.

則BD=BF，∠ABD=∠CBF.

又∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，則∠DBF=∠ABC=90°.

在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM.

數(shù)學(xué)家懷特指出：數(shù)學(xué)就是對模式的研究.羅增儒教授在《解題學(xué)引論》中指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來，當(dāng)遇到一個新問題時，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已解決的問題，以此為索引，在記憶儲存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.解題教學(xué)中，“通法”是最常見、最基本的解題模式，解題教學(xué)理應(yīng)反璞歸真，在“通法”上花功夫做足文章，教給學(xué)生最實用的解題模式，促進(jìn)學(xué)生“基本活動經(jīng)驗”的積累.

1.陳金紅.幾何“形”，代數(shù)“聲”，三角函數(shù)“心”［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（10）.