■河北省張家口市第二中學 王 瀟
數(shù)列求和歷來是高考考查的重點內容,裂項法是求和的重要方法之一,這里重點介紹幾種不常見的裂項求和題型,希望能幫助同學們深刻理解這種方法的思想。
裂項相消法的實質是:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差,在求和時一些正負項相互抵消,于是前n項的和變成首尾若干項之和。
常用裂項形式有:
例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2(an-1)(n∈N*)。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=ln an(n∈N*),試求數(shù)列
解析:(1)因為Sn=2(an-1),所以當n=1時,S1=2(a1-1)=a1,解得a1=2。
當n>1時,Sn-1=2(an-1-1),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,故an=2an-1。
所以{an}是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,an=2n。
(2)bn=ln 2n=nln
2,所以bn+2=(n+2)·ln 2。
在利用裂項相消法求和時應注意:
(1)在把通項裂開后,要觀察是否恰好等于相應的兩項之差;
(2)使用裂項法求和時,要注意正負項相消時消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點,實質上造成正負相消是此法的根源與目的。