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        等差數(shù)列前n項和公式的拓寬及應(yīng)用

        2019-02-15 08:25:34卜佳文
        數(shù)理化解題研究 2019年1期
        關(guān)鍵詞:項的項數(shù)奇數(shù)

        卜佳文

        (河北省唐山市第二中學(xué) 063000)

        求和問題是數(shù)列中的重點和難點,對于等差數(shù)列的前n項和Sn來說,可以進一步將其拓寬,從而得到很好的結(jié)論,這樣更有利于我們進一步加深對它的理解、掌握和運用.

        結(jié)論1 在等差數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,公差為d,k∈N*.則S2k=k(ak+ak+1),S2k+1=(2k+1)ak+1.

        證明:當(dāng)n=2k時,a1+a2k=a2+a2k-1=…=ak+ak+1,所以Sn=k(ak+ak+1);

        當(dāng)n=2k+1時,a1+a2k+1=a2+a2k=…=ak+ak+2=2ak+1,所以Sn=(2k+1)ak+1.

        所以Sm=Am2+Bm,Sn=An2+Bn,

        =A(m+n)2+B(m+n)=Sm+n,

        同理可證:Sm+n=Sm+Sn+mnd.

        推論1 在等差數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,m、n∈N*,m≠n,若Sm=n,Sn=m,則Sm+n=-(m+n).

        推論2 在等差數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,m、n∈N*,m≠n,若Sm=Sn,則有Sm+n=0.

        證明:

        所以Sp=Ap2+Bp,Sq=Aqn2+Bq,Sm=Am2+Bm,Sm=Am2+Bm.

        ∵p+q=m+n,

        應(yīng)用舉例練習(xí):

        1.在等差數(shù)列{an}中,若a6+a9+a12+a15=20,求S20.

        2.等差數(shù)列{an}的前10項的和為150, 其中項數(shù)為奇數(shù)的各項和為120,求第六項.

        3.一等差數(shù)列的前10項之和為100,前100項的和為10,則前110項的和為( ).

        A.-90 B.90 C.-110 D. 110

        4.等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為( ).

        A.130 B.170 C.210 D.260

        5.如果等差數(shù)列{an}的前4項和是2,前9項和是-6,求其前n項的和Sn.

        6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,設(shè)k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差數(shù)列嗎?

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