個(gè)邪惡的數(shù)字——奇數(shù)三，突然入侵了數(shù)學(xué)王國，并試圖破壞這種和平。奇數(shù)三帶領(lǐng)一支邪惡的軍隊(duì)，把數(shù)學(xué)王國的數(shù)字們分裂成兩派——奇數(shù)和偶數(shù)。偶數(shù)二和偶數(shù)四被迫躲進(jìn)了一間小屋里，他們決定采取數(shù)學(xué)的力量來對(duì)抗奇數(shù)三，保衛(wèi)數(shù)學(xué)王國的和平。他們開始思考：怎樣才能抵擋邪惡勢(shì)力，恢復(fù)數(shù)學(xué)王國的和平。于是，偶數(shù)二和偶數(shù)四開始研究數(shù)學(xué)原理。他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的規(guī)律：偶數(shù)和偶數(shù)相加還是偶數(shù)，而奇數(shù)和奇數(shù)相加則會(huì)得到偶數(shù)。他們決定用這個(gè)規(guī)律來打敗奇數(shù)三。偶數(shù)二和偶數(shù)四分別假扮成兩個(gè)

壓縮迭代：若所有奇數(shù)符合3X+1 猜想，則所有正整數(shù)也符合3X+1 猜想。所謂壓縮迭代，是指：式中e（an）是使偶數(shù)3an+1 能被2e（an）整除的最大自然數(shù)〔2〕。為使行文簡(jiǎn)便，文章約定用m 表示正整數(shù)，n約定用a（b）表示a 是b 進(jìn)位制數(shù)。約定用方括號(hào)表示括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容可有可無，而圓括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容則是必須有的四進(jìn)制數(shù)序列，例如：式中E（x）表示x 的高斯取整函數(shù)。其余類推。為避免混淆，文中一律不省略乘號(hào)。一個(gè)n 位b 進(jìn)制數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)用來描述某個(gè)自

曉夢(mèng)數(shù)學(xué)王國里，奇數(shù)和偶數(shù)是一對(duì)要好的兄弟?？山裉觳恢獮樯秱z兄弟卻吵了起來，還拉著一臉郁悶的萌萌來給他們?cè)u(píng)理。只聽奇數(shù)說：“萌萌，你們平時(shí)寫作文是不是更偏愛我？”“說來聽聽?！泵让日f?！熬湍贸烧Z來講，有‘一帆風(fēng)順‘一馬當(dāng)先‘一鳴驚人‘一日三秋‘三令五申‘三教九流‘九牛一毛，等等。我一口氣能說出一大堆?！?span id="uyww00c" class="hl">奇數(shù)大哥一臉得意。偶數(shù)站在一旁，很是生氣：“萌萌，別聽他的！聽我的。”“好，你不妨也說來聽聽?！泵让纫槐菊?jīng)地說?！澳銈兤綍r(shí)寫作是不是總用像‘四通八達(dá)‘四平

司文奇數(shù)和偶數(shù)為爭(zhēng)大小吵得不可開交。“偶數(shù)的上面永遠(yuǎn)有一個(gè)奇數(shù)，奇數(shù)是最大的?！薄?span id="00omw0m" class="hl">奇數(shù)的上面永遠(yuǎn)有一個(gè)偶數(shù)，偶數(shù)才是最大的?！薄鞍⒗?dāng)?shù)字無窮無盡?！绷阏f，“你們永遠(yuǎn)也分不出勝負(fù)，沒必要為這點(diǎn)兒虛名爭(zhēng)得面紅耳赤。”“你什么都沒有，在這兒瞎摻和啥呀？”奇數(shù)和偶數(shù)嘲諷道。“從表面看，零是什么都沒有?？墒?，”零平心靜氣地說，“這并不代表東西越多或者越大就越好?！薄半y道缺點(diǎn)越多越好？脾氣越大越好？”零進(jìn)一步勸解道，“多不多要看你的容量，大不大要看你的胸懷。鬧鐘雖大

加，和什么時(shí)候是奇數(shù)，什么時(shí)候是偶數(shù)，是有規(guī)律的，而這個(gè)性就是規(guī)律的意思。我已經(jīng)在大家的發(fā)言里聽到了一些這樣的規(guī)律，誰再來具體說一說？（板書：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)）師：這三個(gè)結(jié)論我們還沒有經(jīng)過驗(yàn)證，目前還是一個(gè)猜想，可能是對(duì)的，也可能是錯(cuò)的，我們這節(jié)課的重點(diǎn)就放在驗(yàn)證上。師：進(jìn)行6分鐘討論，還沒有完成的同學(xué)，如果有人給了你啟發(fā)，請(qǐng)及時(shí)記錄想法。完成好的同學(xué)，在舉例驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，嘗試畫圖、推理驗(yàn)證。（1）舉例驗(yàn)證。師：你是怎樣驗(yàn)證

+3001的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？老師：你還記得小高斯的算法嗎？用首位數(shù)加上末位數(shù)的和乘末位數(shù)，再除以2......李娟：我想起來了，首位數(shù)加上末位數(shù)的和乘3001，再除以2，即：（1+2+3+4+...+3001）=（1+3001）×3001÷2=1501×3001，（沉思了許久）接下來怎么做，我想不出......老師：你再想一想，1501和3001都是奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。李娟：所以，1+2+3+4+...+3001的和是奇數(shù)。老師：對(duì)了！其實(shí)，這道

3設(shè)n(≥3)是奇數(shù)，m≥3,r≥1，δ=(r+1)m+r,λ=n+2-1(n+1)δ,則有h(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(1,λ-2-δ))](11)2h(Pm-1)hr(Pm+1)h(ΨK(1,λ-2-δ))](12)證明(ⅰ)如圖3.2所示，在圖ΨK(1,n+2-1(n+1)δ)中取邊e=V1W1,則由引理2.3和引理2.4，并注意到λ=n+2-1(n+1)δ，λ-2-δ=(n-2)+2-1(n-1)δ，我們有h(Pm-1)hr(Pm+1)h

小米粒用4個(gè)奇數(shù)很容易湊出相加之和等于10的式子，如1+1+3+5=10，或1+1+1+7=10，還有1+3+3+3=10。除此之外，別的解法就沒有了（在順序上交換加數(shù)，當(dāng)然不能算又一種解法）。而下面這道題，解法就多得多了：用8個(gè)奇數(shù)相加湊成20（加數(shù)中允許用相同的奇數(shù)）。現(xiàn)在請(qǐng)你把這道題的各種解法寫出來，同時(shí)說出這些解法中包含不同加數(shù)最多的有幾個(gè)。

上，分別寫上1個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)。2?當(dāng)臺(tái)上的觀眾正準(zhǔn)備往紙條上寫數(shù)字時(shí)，魔術(shù)師已經(jīng)轉(zhuǎn)身背對(duì)觀眾，同時(shí)強(qiáng)調(diào)：“寫好后，請(qǐng)兩手各握1張紙條，并記住左右手紙條上的數(shù)。”魔術(shù)師的話頓時(shí)讓5位觀眾緊張起來，各自都把拳頭攥得緊緊的。3?這時(shí)，魔術(shù)師轉(zhuǎn)過身來，大聲說道：“請(qǐng)你們各自將右手紙條上的數(shù)乘以2，左手紙條上的數(shù)乘以3，然后再把乘積相加。注意不要讓別人看到你手上的數(shù)，尤其是我?！??話音剛落，5位觀眾都小心翼翼地確認(rèn)左右手紙條上的數(shù)，并在心中默默地計(jì)算?？吹?位觀

另一個(gè)方向是轉(zhuǎn)到奇數(shù)的位置，絕對(duì)不會(huì)轉(zhuǎn)到偶數(shù)的位置。因?yàn)槿绻槌龅膬蓮垞淇伺频臄?shù)字相加是奇數(shù)n，從這個(gè)數(shù)字開始轉(zhuǎn)n-1（為偶數(shù)）步，相當(dāng)于增加了“偶數(shù)”，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù);如果抽出的兩張撲克牌的數(shù)字相加是偶數(shù)n，從這個(gè)數(shù)字開始轉(zhuǎn)n-1（為奇數(shù)）步，相當(dāng)于增加了“奇數(shù)”，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。我們觀察轉(zhuǎn)盤上獎(jiǎng)品的分布發(fā)現(xiàn)，鐘表、溜冰鞋這類價(jià)格高的獎(jiǎng)品都放在偶數(shù)字前，而奇數(shù)字前只有氣球、鉛筆等價(jià)值較小的獎(jiǎng)品。因?yàn)榘凑諗傌溡?guī)定的游戲玩法，無論怎么轉(zhuǎn)也轉(zhuǎn)不到偶數(shù)字的位

戶之見，將偶數(shù)、奇數(shù)和質(zhì)數(shù)的定義視為三個(gè)不需要證明的數(shù)學(xué)公理，從這三個(gè)數(shù)學(xué)公理中尋找證明哥德巴赫猜想的正確方法.這個(gè)正確方法就是哥德巴赫猜想的定義證明法.定義一：可以被二整除的整數(shù)為偶數(shù).定義二：不能被二整除的整數(shù)為奇數(shù).定義三：只能被一和自身整除的整數(shù)為質(zhì)數(shù).從定義一可以得知：偶數(shù)與偶數(shù)相加等于偶數(shù).從定義二可以得知：兩個(gè)偶數(shù)相互加減一等于兩個(gè)奇數(shù).從定義一和定義二可以推出定理一：任何偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)奇數(shù)之和.從定理一可以推出定理二：大于四的偶數(shù)不僅可

正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，那么對(duì)它乘3 加1；如果它是偶數(shù)，那么對(duì)它除以2。如此循環(huán)，終將回到1（被稱為數(shù)學(xué)不可及的問題）。它風(fēng)靡全球，無論是中小學(xué)還是高校師生都為之著迷，但近百年無人能破解其中秘密，然而白言規(guī)則（LiKe’s rule）指出了其變化規(guī)律：正整數(shù)在考拉茲算法下都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)?n-1形式的數(shù)，3n-1 再轉(zhuǎn)變?yōu)楦〉?m-1 并最終經(jīng)32-1、31-1 回到1（讓猜想變得觸手可及）。那么正整數(shù)為何會(huì)按此規(guī)律變化呢？文獻(xiàn)中雖做了詳細(xì)證明，但過于學(xué)術(shù)。為

numbe（r奇數(shù)）.People believe that two“ninths”meeting together stand for a long life.So it is a special holiday for Chinese people to show love and respect for their elders.They hold many kinds of activities in honor of old people to

，φ(abc)為奇數(shù)，所以只考慮φ(c)=1的情況，即φ(abc)=8+4φ(b)≥φ(b)，此時(shí)由不等式推得φ(b)任意，與φ(b)≥4矛盾，故此時(shí)式(1)無解．Ⅱ 當(dāng)φ(a)=2，φ(b)≥4時(shí)，有6+4φ(b)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(b)φ(c)，即(φ(b)-5)(φ(c)-4)≤26．1) 當(dāng)φ(a)=2，φ(b)=4時(shí)，φ(c)任意取值，此時(shí)式(1)為：此時(shí)φ(c)-2≤5，即φ(c)=1 ， 2 ， 4 ， 6．當(dāng)φ(c)=1時(shí)，不存

偶性，即一個(gè)數(shù)是奇數(shù)或者是偶數(shù)。所以《和與積的奇偶性》這節(jié)課的主要目的是通過觀察，猜想，舉例，驗(yàn)證等的方法，體會(huì)數(shù)運(yùn)算結(jié)果的奇偶性變化規(guī)律，并對(duì)其進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究。下面，是我想與大家一起分享的對(duì)這節(jié)課探尋本質(zhì)的些許教學(xué)思考。一、觀察生活現(xiàn)象，回歸對(duì)數(shù)的本質(zhì)的思考和探尋生活中常用到奇數(shù)與偶數(shù)（也即單數(shù)和雙數(shù)），那么奇數(shù)、偶數(shù)的本質(zhì)是什么呢？我相信它一定存在于我們生活中的某種現(xiàn)象——那個(gè)定義背后，最初的“兩兩配對(duì)”。為什么是兩兩配對(duì)，而不是三三配對(duì)，四四配對(duì)等等

abc)=21為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=26(不存在)，此時(shí)(1)式無解.當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126.由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=5,8,10,12,此時(shí)(1)式有解(a,b,c)=(9,1,12).當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(abc)=46，abc=47,94.由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=7,9，14,18，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)

生：偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)師：相加的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？同桌一起算算看?！何野l(fā)現(xiàn)了偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。師：這僅僅是根據(jù)我們剛剛寫出的算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，是不是任意兩個(gè)不是0的自然數(shù)相加，它們的和都有著這樣的奇偶性規(guī)律呢？生：有！師：這只是我們初步的猜想，你能想到好的方法來驗(yàn)證我們的猜想嗎？下面我們來小組合作完成這個(gè)任務(wù)。……師：我發(fā)現(xiàn)有同學(xué)是用畫圖的方法來驗(yàn)證的。（出示用學(xué)生畫圖的方法驗(yàn)證的作業(yè)單，學(xué)生自己介紹

速判斷下面的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？52 243 3562師：判斷的方法是什么？活動(dòng)二：判斷下面算式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？66+8+7+9+11+……+29+31+33師：你覺得是奇數(shù)還是偶數(shù)？（學(xué)生猜測(cè)奇數(shù)、偶數(shù)的都有）師：學(xué)數(shù)學(xué)能這樣猜測(cè)嗎？像這樣判斷一個(gè)算式的和到底是奇數(shù)還是偶數(shù)，就是這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（板書課題：和的奇偶性）【賞析：探究“和的奇偶性”，一個(gè)數(shù)的奇偶性是基礎(chǔ)。快速判斷一個(gè)數(shù)的奇偶性，勾起學(xué)生對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)特點(diǎn)的回憶，為新知的探索做好鋪墊。同時(shí)，

是偶數(shù)？什么數(shù)是奇數(shù)？生1：能被2整除的數(shù);是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù);個(gè)位是0、2、4、6、8這樣的數(shù)。生2：不能被2整除的數(shù);不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù);個(gè)位是1、3、5、7、9這樣的數(shù)。提問：不去數(shù)，你能一下子就看出它們的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)？生：兩個(gè)兩個(gè)一圈，看最后是一個(gè)還是兩個(gè)三角形，如果最后是兩個(gè)，說明是偶數(shù)個(gè);如果最后是一個(gè)，說明是奇數(shù)個(gè)。提問：能聽明白嗎？誰來解釋一下？為什么要兩個(gè)兩個(gè)一畫（一圈）？生：最后還剩1個(gè)三角形，說明總數(shù)是奇數(shù)個(gè)三角形

情形3m,n均為奇數(shù)且m≠n(i) 當(dāng)m與n中恰好有一個(gè)等于3時(shí)。不妨設(shè)m=3,c(u0)=c(u1)=c(u3)=2;c(u2)=1;c(v0)=1;c(v2j-1)=1,1≤2j-1≤n;c(v2j)=2,2≤2j≤n-1;c(u0ui)=2,1≤i≤3;c(u1u2)=c(u0v0)=c(v0v1)=c(v0v2)=c(v0vn)=c(vn-1vn)=2。除上述邊染顏色2外，其余邊均染顏色1。則每個(gè)頂點(diǎn)的擴(kuò)展和計(jì)算如下：w(v2)=18;w(v2j-

，牌上的數(shù)可能是奇數(shù)還是偶數(shù)？生：可能是偶數(shù)，也可能是奇數(shù)。師：怎樣的數(shù)是奇數(shù)？怎樣的數(shù)是偶數(shù)？師：如果任意抽出兩張牌，和是奇數(shù)還是偶數(shù)？學(xué)生猜一猜。生1：可能是奇數(shù)。生2：也可能是偶數(shù)。師：同學(xué)們拿出手中的牌，任意抽兩張，算出它們的和，填在課本P50上的表格里，看看和是奇數(shù)還是偶數(shù)。（學(xué)生計(jì)算，教師巡視）師：和是偶數(shù)的有哪些？用算式表示。和是奇數(shù)的有哪些？用算式表示。師：大家仔細(xì)觀察這些算式，有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生交流）生：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

1開始的連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加的和的加數(shù)的個(gè)數(shù)和最末奇數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇與魅力，體會(huì)成功與快樂。教學(xué)重點(diǎn)：求從1開始的連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加的和的計(jì)算方法。教學(xué)難點(diǎn)：加數(shù)的個(gè)數(shù)和最末奇數(shù)的關(guān)。教學(xué)過程：(一)探究從1開始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和的計(jì)算方法教師出示以下題目（1+3）÷2=2（1+3+5）÷3=3（1+3+5+7）÷4=4（1+3+5+7+9）÷5=5（1+3+5+7+9+11）÷6=6（1+3+5+7+9+11+13）÷

1開始的連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加的和的加數(shù)的個(gè)數(shù)和最末奇數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3、 3.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇與魅力，體會(huì)成功與快樂。教學(xué)重點(diǎn)：二、 求從1開始的連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加的和的計(jì)算 方法。教學(xué)難點(diǎn)：三、 加數(shù)的個(gè)數(shù)和最末奇數(shù)的關(guān)。系四、 教學(xué)過程：（一）探究從1開始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和的計(jì)算方法1、 教師出示以下題目：（1+3）÷2=2（1+3+5）÷3=3（1+3+5+7）÷4=4（1+3+5+7+9）÷5=5（1+3+5+7+9+11）÷6=6

是第1005個(gè)正奇數(shù)，由于每一行有四個(gè)奇數(shù)，而1005=4×251+1，那么2009在第252行，而2009又是這一行中的第一個(gè)數(shù)，根據(jù)規(guī)律，奇數(shù)行的數(shù)從左到右是從小到大，而偶數(shù)行的數(shù)從右到左的數(shù)是從小到大，那么2009在第252行，第5列，故選D.剖析：在具體問題的推理過程中，往往要結(jié)合它們的條件或題目的圖形、表格等加以輔助處理.而上述錯(cuò)誤在于沒有正確周到地處理表格中對(duì)應(yīng)數(shù)的規(guī)律，其中把“奇數(shù)行的第1列是空的，偶數(shù)行的第5列是空的”這個(gè)重要的條件遺漏了，

★文/萬 杰全是奇數(shù)不好★文/萬 杰開學(xué)第一節(jié)課，女班主任做完自我介紹之后，把自己的手機(jī)號(hào)碼寫在黑板上，讓我們記下，回去告訴家長(zhǎng)，方便聯(lián)系。大家開始找筆和紙，女班主任看我們這么乖很高興。就自豪地說：“我的號(hào)碼比較好記，全是奇數(shù)，這可是老師費(fèi)了很大勁，才弄到的號(hào)碼?！毙』⒃谙旅鎿溥晷α艘宦暎嘀魅魏懿桓吲d，讓小虎起來，問他為什么發(fā)笑？小虎遲疑地說：“老師，我認(rèn)為你這個(gè)全是奇數(shù)的手機(jī)號(hào)不好?！迸嘀魅尾唤?，氣呼呼地問：“全是奇數(shù)哪里不好?。俊毙』@了一口氣，

文︳徐國強(qiáng)談“奇數(shù)與偶數(shù)”的教學(xué)處理文︳徐國強(qiáng)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)中有如下問題（如圖所示）。該問題相對(duì)抽象，如何幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)結(jié)論？筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了如下經(jīng)驗(yàn)。一、正確理解問題題目是讓我們研究奇數(shù)、偶數(shù)相加時(shí)，和可能存在的規(guī)律。但題目的這種設(shè)問的方式可能給人一種錯(cuò)覺。以“奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”為例，它容易讓我們認(rèn)為答案要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)。盡管最終答案的確是奇數(shù)，但這是研究的結(jié)果。研究之前，我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到，這一問題的答案有三種可能

形如5m-1的正奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問題，并給出相應(yīng)的結(jié)論.完全數(shù)；偶完全數(shù)；奇完全數(shù)設(shè)σ(n)是正整數(shù)n的所有正因數(shù)(包括1和n)的和函數(shù). 若n滿足σ(n)=2n，則n被稱為完全數(shù). 根據(jù)Euclid定理[1]與Euler定理[2]可知，當(dāng)2p-1為Mersenne素?cái)?shù)時(shí)，2p-1(2p-1)是完全數(shù)，且是僅有的偶完全數(shù)[3]. 到目前為止，人們只發(fā)現(xiàn)了49個(gè)偶完全數(shù)，其中第49個(gè)偶完全數(shù)274 207 280(274 207 281-1)由美國中央密

題目是讓我們研究奇數(shù)、偶數(shù)相加時(shí)，和可能存在的規(guī)律。但題目的這種設(shè)問的方式可能給人一種錯(cuò)覺。以“奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”為例，它容易讓我們認(rèn)為答案要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)。盡管最終答案的確是奇數(shù)，但這是研究的結(jié)果。研究之前，我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到，這一問題的答案有三種可能———或者是奇數(shù)，或者是偶數(shù)，或者不確定。若先入為主地認(rèn)為答案要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，將會(huì)使我們的說理變得淺嘗輒止：既然正確答案或者是奇數(shù)，或者是偶數(shù)，我們只需用一個(gè)具體的例子試一下就行。比如

分為兩類，一類是奇數(shù)，一類是偶數(shù)。怎樣快速判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？218、213214218、147、847645147是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？師：看來判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，只要看它的個(gè)位。如果把這兩個(gè)數(shù)相加，213214218+847645147，怎樣來判斷這兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性呢？你是怎樣想的呢？（板書課題：和的奇偶性）學(xué)生得出用這兩個(gè)數(shù)的個(gè)位相加就可判斷這兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)使學(xué)生把判斷一個(gè)數(shù)奇偶性的注意力聚集到這個(gè)數(shù)的個(gè)位上，直接引

戲中學(xué)數(shù)學(xué)——“奇數(shù)和偶數(shù)”教學(xué)實(shí)錄及反思劉棵教學(xué)過程一、游戲激趣師：孩子們，喜歡玩游戲嗎？老師今天帶來了一個(gè)大家都喜歡的游戲，想不想過過癮？誰先來試試第一關(guān)？（課件出示第一關(guān)，如圖1）生1：這怎么玩?。繋煟和嬗螒蚵?，自己試試唄。生1點(diǎn)了其中兩個(gè)一樣的圖形，伴隨著音樂聲，這兩個(gè)圖形連起來消掉了。圖1　生1：哦，原來是連連看?。ń又职蚜砣M同樣的兩個(gè)圖形也連起來消掉了）師：剩下的你不試試么？生1試著點(diǎn)了兩個(gè)圖形：一個(gè)是只有1格的，另一個(gè)是有4格的，消不了。

小姐家隔壁住著位奇數(shù)先生。和偶數(shù)小姐恰恰相反，這位先生的餐桌上總是擺著一把調(diào)羹、三只盆子、五只杯子、七個(gè)水果。他的書櫥里有一百零一本書，衣櫥里有九件衣服，抽屜里有五雙襪子，全是奇數(shù)。有一天，偶數(shù)小姐和奇數(shù)先生在鞋帽店里相遇了。偶數(shù)小姐看中了一頂粉紅色的帽子?！罢?qǐng)給我拿兩頂這樣的帽子。”她很有禮貌地對(duì)營業(yè)員說。“是要兩頂嗎？”營業(yè)員覺得很奇怪?！耙獌身?！”偶數(shù)小姐堅(jiān)定地回答說。奇數(shù)先生在邊上看著，皺起眉頭搖搖頭，還輕輕地嘆了口氣。偶數(shù)小姐看了他一眼，鼻子里發(fā)

判斷下列數(shù)哪些是奇數(shù)，哪些是偶數(shù)。準(zhǔn)備好了嗎？依次出示99、70學(xué)生均能正確判斷。繼續(xù)出示778，306，學(xué)生正確判斷是“偶數(shù)”。出示ABC5，多數(shù)學(xué)生判斷出是奇數(shù)。其中有一位學(xué)生回答“可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)”。師：我們聽聽這位同學(xué)的解釋。為什么是奇數(shù)呢？生：最后一位是5，應(yīng)該是奇數(shù)。師：那什么數(shù)叫奇數(shù)呢？生：個(gè)位是 1、3、5、7、9 的數(shù)。繼續(xù)出示 123A6、13579A，學(xué)生準(zhǔn)確判斷出前者是偶數(shù)，后者是可能是奇數(shù)，可能是偶數(shù)。三、合作探究，一探規(guī)

“奇數(shù)，交作業(yè)啦！”“奇數(shù)，這道題怎么寫？”“奇數(shù)……”每天，我的這個(gè)綽號(hào)都被同學(xué)們掛在嘴邊叫來叫去的，讓我又好氣又好笑。沒辦法，誰讓我一時(shí)糊涂，主動(dòng)認(rèn)領(lǐng)了這個(gè)綽號(hào)呢。那天下午第一堂數(shù)學(xué)課，老師先是講解了昨天留的數(shù)學(xué)作業(yè)，然后在黑板正中位置端端正正地寫下兩個(gè)字——奇數(shù)。被溫暖的午后陽光曬得昏昏欲睡的我哪里有精神聽講，只覺得腦袋好沉，上下眼皮不聽使喚地打起了架。朦朧中我聽到教鞭敲打黑板的聲音，緊接著，一聲斷喝仿佛驚雷滾過耳際：“奇數(shù)，這兩個(gè)字會(huì)讀嗎？”好像是

紙條上分別寫一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，寫好后，兩手各握一張。不要給我也不要給你身邊的同學(xué)看?！毙?dòng)物們不久前剛學(xué)過關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)的知識(shí)，不一會(huì)兒，大家都完成了黑熊老師提出的要求?！奥犞焙谛芾蠋熞蛔忠痪淝逦卣f道，“你們各位都請(qǐng)將右手中的數(shù)乘2，左手中的數(shù)乘3，再把乘積相加。不要算出聲音來?！钡刃?dòng)物們一個(gè)個(gè)都算好了，黑熊老師又叫算出得數(shù)是奇數(shù)的小動(dòng)物們排成一隊(duì)，得數(shù)是偶數(shù)的排成一隊(duì)。小動(dòng)物們都站好了，一個(gè)個(gè)感興趣地看著黑熊老師，猜測(cè)著他下一步要他們做什么。“

先起立，請(qǐng)學(xué)號(hào)是奇數(shù)的同學(xué)也起立。這時(shí)，還有同學(xué)坐著嗎？生（左顧右盼）：沒有！師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？生1：奇數(shù)與偶數(shù)是間隔排列的。生2：我們的學(xué)號(hào)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。師：40以外的自然數(shù)呢？生（齊）：不是奇數(shù)就是偶數(shù)。師：請(qǐng)學(xué)號(hào)是2的倍數(shù)的同學(xué)先坐下，現(xiàn)在你知道有多少人坐下去了嗎？生3：20人。師：大家同意嗎？說說你們的想法，可以嗎？生4：因?yàn)?span id="uqcqmkw" class="hl">奇數(shù)與偶數(shù)是間隔排列的，所以列式為40÷ 2=20（個(gè)）。師：也就是說，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)為一組。像這樣分下去，你能想

先起立，請(qǐng)學(xué)號(hào)是奇數(shù)的同學(xué)也起立。這時(shí)，還有同學(xué)坐著嗎？生（左顧右盼）：沒有！師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？生1：奇數(shù)與偶數(shù)是間隔排列的。生2：我們的學(xué)號(hào)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。師：40以外的自然數(shù)呢？生（齊）：不是奇數(shù)就是偶數(shù)。生3：20 人。師：大家同意嗎？說說你們的想法，可以嗎？生4：因?yàn)?span id="camkus0" class="hl">奇數(shù)與偶數(shù)是間隔排列的，所以列式為40÷2＝20（個(gè)）。師：也就是說，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)為一組。像這樣分下去，你能想到什么？生5：一共可以分為 40÷2＝20（組）。生6：所有自然

偶數(shù)，老師贏；是奇數(shù)，同學(xué)們贏。（要求學(xué)生將算式寫在草稿紙上）活動(dòng)1：師預(yù)先將奇數(shù)的牌放在一起讓學(xué)生抽，學(xué)生任意抽兩張牌，這兩張牌上的數(shù)字之和總等于偶數(shù)，總是輸。生1：我發(fā)現(xiàn)剛才抽的牌都是奇數(shù)的牌，兩張奇數(shù)的牌的和肯定是偶數(shù)?；顒?dòng)2：師拿出另外一副都是偶數(shù)的牌，讓學(xué)生接著抽。生2：抽的牌都是偶數(shù)的牌，偶數(shù)加偶數(shù)等于偶數(shù)，得出猜想：偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)。活動(dòng)3：如果想贏老師怎么辦？生3：兩個(gè)數(shù)的和必須是奇數(shù)才行。生4：一個(gè)奇數(shù)加上一個(gè)偶數(shù)的和肯定是偶數(shù)。師：是這

上，介紹了偶數(shù)與奇數(shù)的概念。只在練習(xí)三中，以星號(hào)題（第十三題）的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生結(jié)合具體的數(shù)來理解奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)?！皵?shù)的奇偶性”一課以探索兩數(shù)之和的奇偶性為例，讓學(xué)生在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問題的策略。如何實(shí)施教學(xué)，落實(shí)并檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)呢？筆者嘗試解決問題與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有效結(jié)合。一是用算式表征數(shù)學(xué)問題。“奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？”該例題屬于“解決問題”，學(xué)生首先要閱讀并理解題意。小學(xué)高年

)，f(1)都是奇數(shù)，證明f(x)沒有有理根.如果f(x)=2x+1，則f(0)=1,f(1)=3均是奇數(shù)，而f(x)仍存在有理根。因此，該題是錯(cuò)誤的命題，通過進(jìn)一步探究,我們得到了一個(gè)較為完整的判斷整系數(shù)多項(xiàng)式無有理根的方法如下：定理1 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式(n≥2)，且滿足：①首項(xiàng)系數(shù)an為奇數(shù);②f(0)為奇數(shù);③f(1)為奇數(shù);則f(x)無有理根.則有f(x)=(sx-r)h(x),h(x)=bn-1xn-

體素?cái)?shù)并用其去除奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)時(shí)，每該素?cái)?shù)個(gè)奇數(shù)對(duì)，最多會(huì)有2個(gè)含有該素?cái)?shù)的奇合數(shù)對(duì)(包括該素?cái)?shù)本身。所謂“奇合數(shù)對(duì)”，是指一對(duì)奇數(shù)(相加后等于所論偶數(shù)的兩個(gè)奇數(shù))中，只要其中一個(gè)奇數(shù)是該素?cái)?shù)或更多情況是含該素?cái)?shù)的合數(shù)即可)，也就是最多有兩個(gè)必須刪去的奇合數(shù)對(duì)。這在整除時(shí)是精確的，或在相除后的整數(shù)部分是精確的。但用素?cái)?shù)去除奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)時(shí)，由于通常不能整除，小數(shù)(或純分?jǐn)?shù))部分會(huì)有誤差。隨著我們從小到大地對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行這種先除再刪含該素?cái)?shù)因子的奇合數(shù)對(duì)(也可以說是

條上分別寫下一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，寫好后，兩只手各握一張。不要給我也不要給你身邊的同學(xué)看?！?.“聽著，”徐老師一字一句清晰地說，“你們都將右手中的數(shù)乘2，左手中的數(shù)乘3，再把兩個(gè)乘積相加。不要算出聲音來。”同學(xué)們按照徐老師的要求，都在心里默默地計(jì)算著……5.徐老師叫算出得數(shù)是奇數(shù)的同學(xué)排一隊(duì)，得數(shù)是偶數(shù)的排另一隊(duì)。同學(xué)們都站好了，一個(gè)個(gè)感興趣地看著徐老師，猜測(cè)她下一步要大家做什么。6.“好了！”徐老師指著得數(shù)是奇數(shù)的那排同學(xué)說，“你們左手握的都是奇數(shù)。”她

(k1<-1且為奇數(shù))，r=k2(k2>0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，-2-k1k2，1，k1，k2)，(k2，0，-2-k1k2，1，k1)，(k1，k2，0，-2-k1k2，1)，(1，k1，k2，0，-2-k1k2)，(-2-k1k2，1，k1，k2，0).如果w為偶數(shù)，若z>0，r>0，則yz，wr為整數(shù)，zw=-1-yz-wr也為整數(shù)，即zw=1，z=1，y=-2-wr.令w=k3(k30且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，-2-k3k4，1

)[7].若m為奇數(shù),記m=4i±1,F3m=F12i±3≡2(mod4),F3m/2為奇數(shù);F3m/(2d)為整數(shù),d =F(12i±3,k)必為奇數(shù),3(12i±3,k),3k;F3m/(2d)為奇數(shù),于是存在一奇一偶的a和b使得F3m+k/d=a2+b2,F3m/(2d)=a2-b2,即F3m+k/d±F3m/(2d)=2a2和2b2;d為奇數(shù),F3m+k± F3m/2=2da2和2db2,正好是2的倍數(shù)和8的倍數(shù),F3m+k-F3m/2≡4(mod

1．能。假如n為奇數(shù)，因?yàn)閚個(gè)數(shù)之積為n，這n個(gè)數(shù)所有皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，與題目不符，可見n只能為偶數(shù)。由于n為偶數(shù)，這n個(gè)數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù)，又由于它們的和為零，所以其中必有另一個(gè)偶數(shù)。于是這n個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)偶數(shù)，任意兩個(gè)偶數(shù)之積都能被4整除，因而n必能被4整除。2．5層。千萬不要以為是第八層，這道題的陷阱就在于此。第一個(gè)孩子到3層時(shí)，第二個(gè)孩子到2層，此時(shí)第一個(gè)孩子實(shí)際爬了2層，第二個(gè)孩子爬了1層。所以第一個(gè)孩子的速度是第二個(gè)孩子的2倍。第

貴自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。我們又很容易總結(jié)歸納出奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)：1．奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和仍為奇數(shù)：2．偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)：3．兩個(gè)奇數(shù)之差為偶數(shù)：4．兩個(gè)偶數(shù)之差為偶數(shù)：5．一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之和(或差)為奇數(shù)：6．奇數(shù)≠偶數(shù)。只要我們合理、靈活、巧妙、有意識(shí)地利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)并運(yùn)用正確的推理分析方法，就可以解決許多與奇偶數(shù)相關(guān)的有趣問題。

+a×6”是一個(gè)奇數(shù)，我們稱Ⅱ6是“好數(shù)”，像兩位數(shù)ab這樣的好數(shù)有多少個(gè)?由于有新的定義“好數(shù)”，同學(xué)們不知道從何處進(jìn)行思考。我說：“我們應(yīng)該從‘a(chǎn)+a×6是一個(gè)奇數(shù)這個(gè)條件入手。如果a是個(gè)偶數(shù)，那么無論6是奇、偶數(shù)，‘a(chǎn)×b一定是偶數(shù)。這樣，‘a(chǎn)+a×6就是偶數(shù)，與‘a(chǎn)+a×6是一個(gè)奇數(shù)相矛盾。所以，a不是偶數(shù)，一定是奇數(shù)?！蓖瑢W(xué)們聽到我的提示，都紛紛表示：“我知道了?！庇谑情_始做了起來。由于a是小于10的自然數(shù)，a不等于0且是奇數(shù)，因此a可能是1、3

a1,…,a8中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 .(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.由于a0,a1,…,a8都是二項(xiàng)式系數(shù)，故考生大都是將它們翻譯成數(shù)學(xué)式子后通過計(jì)算而獲解的，當(dāng)然若利用組合數(shù)性質(zhì)Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+，且m≤n)去處理，則會(huì)更快一些.筆者認(rèn)為本題難度不大，但是它容易使我們產(chǎn)生疑問：二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的奇偶個(gè)數(shù)有沒有規(guī)律性?若有其規(guī)律是什么 ?帶著這兩個(gè)問題，筆者作了一番探究，發(fā)現(xiàn)有如下幾個(gè)正確的結(jié)論：結(jié)論1 若n=2k-1(k∈N+)