■河南省潢川高級(jí)中學(xué) 謝思源

數(shù)列,作為高考的必考內(nèi)容,除考查數(shù)列知識(shí)的基本應(yīng)用外,同時(shí)也考查數(shù)列的創(chuàng)新問題,本文列舉幾例,供同學(xué)們欣賞。

一、新定義型

例1 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,（n∈N*）是非零常數(shù),則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”。若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2,公差為d（d≠0）的等差數(shù)列,且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,則d=_____

因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,所以為非零常數(shù),d=4。

評(píng)注:所謂“和等比數(shù)列”,其實(shí)就是等比數(shù)列與等比數(shù)列求和的“綜合”,因此解決這類問題只需化“陌生”為“熟悉”,利用已經(jīng)掌握的有關(guān)知識(shí)解決新問題。

二、圖表類型

例2 如圖1所示,將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案,每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n＞1,n∈N*）個(gè)點(diǎn),相應(yīng)圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為=（ ）。

圖1

解析：由圖形可知a2=3=3×（2-1）,a3=6=3×（3-1）,a4=9=3×（4-1）,a5=12=3×（5-1）,…,an=3（n-1）。

故數(shù)列an是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)為an=3（n-1）（n≥2）。

評(píng)注:本數(shù)列題以圖形的形式給出,既考查了考生的觀察能力和歸納能力,又考查了數(shù)列的基本考點(diǎn):數(shù)列求和。題目的結(jié)構(gòu)新穎,難度中等。

三、結(jié)論探索型

例3 若數(shù)列{an}滿足:存在正整數(shù)T,對(duì)于任意正整數(shù)n都有an+T=an成立,則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,周期為T。已知數(shù)列{an}滿 足 a1=m（m＞0）,an+1=

①若a3=4,則m可以取3個(gè)不同的值;

②若m=2,則數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列;

③?T∈N*且T≥2,存在m＞1,使{an}是周期為T的數(shù)列;

④?m∈Q且m≥2,使數(shù)列{an}是周期數(shù)列。

其中所有真命題的序號(hào)是____。

解析：對(duì)于①,根據(jù)條件,當(dāng)m＞2時(shí),有a2=m-1＞1,a3=m-2,于是m-2=4,有m=6滿足條件;當(dāng)m∈（1,2]時(shí),有a2=m-

對(duì)于②,逐個(gè)推導(dǎo)可得:a1=2,a2={an}是周期為3的周期數(shù)列。故②正確。

對(duì)于③,要想使得{an}是周期為T的周期數(shù)列,并且m＞1,故只需使得a=,則TaT+1=m。而m＞1,可使得aT=m-（T-1）,即m-（T-1）=, 于是m2-（T-1）m-1=0,關(guān)于m的方程兩根之積為-1,必為異號(hào)兩根,而兩根之和為T-1≥1,故其正根m必定大于1,滿足條件,故③正確。

對(duì)于④,仿照③可知,當(dāng)T=1時(shí),m=1不滿足條件。

當(dāng)T∈N*且T≥2時(shí),若m為整數(shù),則必定在若干項(xiàng)以后出現(xiàn)an=1,從這項(xiàng)以后成為常數(shù)數(shù)列,不合題意,故m為非整數(shù),且舍負(fù),要使得m∈Q,則 T2-2T+5必為有理數(shù)（且為整數(shù)）。令其為n,且T-1+n不是偶數(shù),否則m為整數(shù),即T+n是偶數(shù),所以T與n同奇或同偶。由T2-2T+5=n2知,T與n不能同為偶數(shù)。當(dāng)T為奇數(shù)時(shí),T2是奇數(shù),等式左邊是偶數(shù),這與n2為奇數(shù)矛盾。

綜上,④錯(cuò)誤。

所以正確答案為:①②③。

評(píng)注:本題給出周期數(shù)列的定義,又以遞推關(guān)系的形式給出了數(shù)列{an},要求大家從這兩個(gè)“已知”出發(fā),探究給出的四個(gè)結(jié)論的真假性,試題具有較高的難度,從一定程度上考查了同學(xué)們的探究能力。

四、知識(shí)綜合型

例4 已知點(diǎn)A（1,0）,B（0,1）和互不相同的點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,…滿足（n∈N*）,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若P1是線段AB的中點(diǎn),則:

（1）求a1,b1的值。

（2）點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,…能否在同一條直線上?請(qǐng)證明你的結(jié)論。

（an-an-1）（bn+1-bn）-（an+1-an）·（bn-bn-1）=0?d（bn+1-bn）-d（bn-bn-1）=0?bn+1-bn=bn-bn-1?q=1,這與q≠1矛盾,所以當(dāng)d≠0且q≠1時(shí),P1,P2,P3,…,Pn,…不可能在同一條直線上。

評(píng)注:本題將等差數(shù)列、等比數(shù)列、平面向量和解析幾何交匯在一起,注意題中“平面向量”只是問題的“載體”,而“數(shù)列”才是問題的“落腳點(diǎn)”。