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        與等差(比)數(shù)列求和有關(guān)的三類問(wèn)題

        2018-11-03 07:42:24天津市武清區(qū)英華國(guó)際學(xué)校王續(xù)然
        關(guān)鍵詞:公比正整數(shù)化簡(jiǎn)

        ■天津市武清區(qū)英華國(guó)際學(xué)校 王續(xù)然

        等差數(shù)列與等比數(shù)列,作為數(shù)列的基本類型,一直是高考命題的熱點(diǎn)。那么與等差(等比)數(shù)列求和有關(guān)的問(wèn)題有哪些呢?下面舉例說(shuō)明。

        一、基本量法求和問(wèn)題

        例1 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a10=30,a20=50。

        (1)求通項(xiàng)公式an;

        (2)若Sn=242,求n。

        解得n=11或n=-22(舍去)。

        故n=11。

        評(píng)注:(1)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d或q,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想。

        (2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d(q)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法。

        二、等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用

        例2 (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=( )。

        A.40 B.50 C.60 D.70

        (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于( )。

        A.80 B.30 C.26 D.16

        解析:(1)因?yàn)镾10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,所以S30-30=10+2×10=30,S30=60,選C。

        (2)由等比數(shù)列性質(zhì)得,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列,則(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)。

        所以(S2n-2)2=2×(14-S2n)。

        又S2n>0,解得S2n=6。

        又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n),所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14)。

        解得S4n=30,選B。

        評(píng)注:(1)等差數(shù)列{an}中,公差為d,前k項(xiàng)的和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列。

        (2)等比數(shù)列{an}中,公比為q,前m項(xiàng)和為Sm(Sm≠0),則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,Skm-S(k-1)m,…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列。

        三、與等差、等比數(shù)列求和有關(guān)的最值問(wèn)題

        (2)利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系,尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系,再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式,進(jìn)而通過(guò)估算求得正整數(shù)n的取值范圍。

        由題意得:

        (a1q16)2=a1q23,a1q9=1。故a1=q-9。

        把a(bǔ)1=q-9代入上式并整理,得:

        因?yàn)閝>1,所以qn-1>0。故有qn-18>q,即qn>q19,從而n>19。所求正整數(shù)n的取值范圍是n≥20,n的最小值為20。

        評(píng)注:本例中的第一題屬等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,依據(jù)等差數(shù)列求和公式,一般可考察其中間項(xiàng)來(lái)確定正負(fù)。本例第二題中數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了,主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn),用不等式知識(shí)求得最后的結(jié)果。本題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用。

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