車樹(shù)勤

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，除考查位置關(guān)系之外，還考查軌跡問(wèn)題及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題. 點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理是解決與圓有關(guān)的問(wèn)題所常用的兩個(gè)方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）直線與圓的相交、相切問(wèn)題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；（2）計(jì)算弦長(zhǎng)、面積，考查與圓有關(guān)的最值問(wèn)題；（3）根據(jù)已知條件求圓的方程.

難點(diǎn)：（1）圓的幾何性質(zhì)；（2）通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等直線與圓的綜合問(wèn)題；（3）用代數(shù)法處理幾何問(wèn)題.

方法突破

1. 直線與圓的位置關(guān)系的判定

（1）代數(shù)法（判別式法）：聯(lián)立圓的方程與直線的方程，由判別式討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

（2）幾何法：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

結(jié)合代數(shù)法和幾何法，可得直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系有三種（d是圓心到直線的距離）：若d>r？圳相離？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直線和圓相交弦的計(jì)算

有兩種方法：一是用弦長(zhǎng)公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圓的切線方程

求圓的切線方程一般有如下三種方法，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要根據(jù)題目所給的條件進(jìn)行選擇.

（1）圓x2+y2=r2上點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切線過(guò)圓外一點(diǎn)P（x0，y0），則設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），再利用圓心到切線的距離等于半徑求出k的值，這時(shí)有兩條切線. 同學(xué)們要注意不要漏掉平行于y軸的切線.

（3）若已知切線方程的斜率為k，則設(shè)切線方程為y=kx+b，再利用相切條件求出b的值，這時(shí)必有兩條切線.

4. 圓與圓的位置關(guān)系的判定

（1）幾何法：設(shè)圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，兩個(gè)圓的圓心距d=O1O2，則

①d>R+r？圳兩圓外離？圳兩圓僅有4條公切線；

②d=R+r？圳兩圓外切？圳兩圓僅有3條公切線；

③d=R-r？圳兩圓內(nèi)切？圳兩圓僅有1條公切線；

④R-r

⑤d

（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程，若方程有兩組不同實(shí)數(shù)解？圳兩圓相交；若方程有一組實(shí)數(shù)解？圳兩圓相切；若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解？圳兩圓相離或內(nèi)含.

在討論直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法，而用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系、圓心距與半徑的大小關(guān)系，分別確定相交、相切、相離的位置關(guān)系.

5. 圓與圓的公共弦問(wèn)題

若圓C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，則它們公共弦所在直線的方程為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精講

1. 直線與圓的位置關(guān)系

例1 （2014年高考重慶卷）已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.

思索 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式. 本題已知△ABC為等邊三角形，半徑長(zhǎng)就是該三角形的邊長(zhǎng)，可求出三角形的高，利用圓心到該直線的距離可求出a的值.

破解 因?yàn)閳A的半徑為2，又△ABC為等邊三角形，所以△ABC的高為，即圓心C到直線ax+y-2=0的距離為，所以=，解得a=4±.

2. 圓的切線問(wèn)題

例2 已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）.

（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思索 （1）過(guò)一點(diǎn)求圓的切線應(yīng)首先判斷該點(diǎn)是在圓上還是在圓外，當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在圓上時(shí)該點(diǎn)即為切點(diǎn)，圓的切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在圓外，則設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k. 注意：若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，切記此點(diǎn). （2）可先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出AM，AN，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)可求得結(jié)果，但此方法計(jì)算比較復(fù)雜；若對(duì)AM·AN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法計(jì)算就比較簡(jiǎn)便了.

破解 （1）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意.

②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1為y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由題意知，圓心（3，4）到直線l1的距離等于半徑2，即=2，解之得k=. 故所求直線的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：過(guò)程略，同學(xué)們可自行嘗試.

解法2：如圖1，連結(jié)CA并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，則=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，為定值.

3. 弦長(zhǎng)問(wèn)題

例3 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng).

思索 （1）將直線方程與圓方程聯(lián)立，判斷該方程組有兩個(gè)解；或通過(guò)直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在圓內(nèi)證明；或利用圓心到直線的距離小于圓半徑證明. （2）利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于k的函數(shù)的最值問(wèn)題；也可用平面幾何的知識(shí)，判斷出過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦與過(guò)該定點(diǎn)的半徑垂直時(shí)該弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：設(shè)直線與圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則可得直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)AB=x1-x2=2=2. 令t=，則tk2-4k+（t-3）=0. 當(dāng)t=0時(shí)，k=-；當(dāng)t≠0時(shí)，因?yàn)閗∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值為4，此時(shí)AB的最小值為2.

解法2：由平面幾何知識(shí)，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P（0，1）的弦，只有和PC（C為圓心）垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)P（0，1）為弦AB的中點(diǎn). 由勾股定理，知AB=2=2，即直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2.

4. 圓與圓的位置關(guān)系

例4 （2014年高考湖南卷）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根據(jù)兩個(gè)圓的方程可以知道其圓心與半徑，當(dāng)兩個(gè)圓外切時(shí)圓心距等于兩個(gè)圓半徑的和，即可解出m的值.

破解 過(guò)程略，答案選C.

5. 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題

例5 如圖2，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長(zhǎng)：

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

思索 本題是應(yīng)用題，可以用解析法來(lái)解決. 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以向東、向北為x軸、y建立直角坐標(biāo)系. （1）要求BC的長(zhǎng)，就要求得點(diǎn)B的坐標(biāo). 已知tan∠BCO=，說(shuō)明直線BC的斜率為-，這樣直線BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直線AB的方程也易得出，兩條直線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)隨之而得. （2）本問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是求圓半徑最大，即求線段OA上某點(diǎn)到直線BC的距離最大. 注意要考慮條件“古橋兩端O和A到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80 m”.

破解 （1）如圖2，以O(shè)C方向?yàn)閤軸，OA方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，則可得A（0，60），C（170，0）. 由題意，kBC=-，所以直線BC的方程為y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直線AB的方程為y=x+60. 聯(lián)立兩直線方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）設(shè)點(diǎn)M（0，m）（0≤m≤60），點(diǎn)B（80，120），直線BC的方程為y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半徑R=. 又因?yàn)楣艠騼啥薕和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，當(dāng)m=10時(shí)圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10時(shí)圓形保護(hù)區(qū)面積最大.

變式練習(xí)

1. 如果圓x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0與圓x2+y2=4總相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2. 已知直線l過(guò)點(diǎn)（-2，0），當(dāng)直線l與圓x2+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山東卷）圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

5. 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率e=，A1，A2分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)；圓A2的半徑為a，過(guò)點(diǎn)A1作圓A2的切線，切點(diǎn)為P，在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q.

（1）求直線OP的方程；

（2）求的值；

（3）設(shè)a為常數(shù). 過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓E于點(diǎn)B，C，分別交圓A2于點(diǎn)M，N，記△OBC和△OMN的面積分別為S1，S2，求S1·S2的最大值.

參考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨設(shè)OM的方程為y=kx（k>0），聯(lián)立方程組y=kx，+=1，解得B，，所以O(shè)B=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立. 所以S1·S2的最大值為.

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，除考查位置關(guān)系之外，還考查軌跡問(wèn)題及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題. 點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理是解決與圓有關(guān)的問(wèn)題所常用的兩個(gè)方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）直線與圓的相交、相切問(wèn)題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；（2）計(jì)算弦長(zhǎng)、面積，考查與圓有關(guān)的最值問(wèn)題；（3）根據(jù)已知條件求圓的方程.

難點(diǎn)：（1）圓的幾何性質(zhì)；（2）通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等直線與圓的綜合問(wèn)題；（3）用代數(shù)法處理幾何問(wèn)題.

方法突破

1. 直線與圓的位置關(guān)系的判定

（1）代數(shù)法（判別式法）：聯(lián)立圓的方程與直線的方程，由判別式討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

（2）幾何法：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

結(jié)合代數(shù)法和幾何法，可得直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系有三種（d是圓心到直線的距離）：若d>r？圳相離？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直線和圓相交弦的計(jì)算

有兩種方法：一是用弦長(zhǎng)公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圓的切線方程

求圓的切線方程一般有如下三種方法，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要根據(jù)題目所給的條件進(jìn)行選擇.

（1）圓x2+y2=r2上點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切線過(guò)圓外一點(diǎn)P（x0，y0），則設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），再利用圓心到切線的距離等于半徑求出k的值，這時(shí)有兩條切線. 同學(xué)們要注意不要漏掉平行于y軸的切線.

（3）若已知切線方程的斜率為k，則設(shè)切線方程為y=kx+b，再利用相切條件求出b的值，這時(shí)必有兩條切線.

4. 圓與圓的位置關(guān)系的判定

（1）幾何法：設(shè)圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，兩個(gè)圓的圓心距d=O1O2，則

①d>R+r？圳兩圓外離？圳兩圓僅有4條公切線；

②d=R+r？圳兩圓外切？圳兩圓僅有3條公切線；

③d=R-r？圳兩圓內(nèi)切？圳兩圓僅有1條公切線；

④R-r

⑤d

（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程，若方程有兩組不同實(shí)數(shù)解？圳兩圓相交；若方程有一組實(shí)數(shù)解？圳兩圓相切；若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解？圳兩圓相離或內(nèi)含.

在討論直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法，而用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系、圓心距與半徑的大小關(guān)系，分別確定相交、相切、相離的位置關(guān)系.

5. 圓與圓的公共弦問(wèn)題

若圓C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，則它們公共弦所在直線的方程為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精講

1. 直線與圓的位置關(guān)系

例1 （2014年高考重慶卷）已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.

思索 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式. 本題已知△ABC為等邊三角形，半徑長(zhǎng)就是該三角形的邊長(zhǎng)，可求出三角形的高，利用圓心到該直線的距離可求出a的值.

破解 因?yàn)閳A的半徑為2，又△ABC為等邊三角形，所以△ABC的高為，即圓心C到直線ax+y-2=0的距離為，所以=，解得a=4±.

2. 圓的切線問(wèn)題

例2 已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）.

（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思索 （1）過(guò)一點(diǎn)求圓的切線應(yīng)首先判斷該點(diǎn)是在圓上還是在圓外，當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在圓上時(shí)該點(diǎn)即為切點(diǎn)，圓的切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在圓外，則設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k. 注意：若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，切記此點(diǎn). （2）可先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出AM，AN，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)可求得結(jié)果，但此方法計(jì)算比較復(fù)雜；若對(duì)AM·AN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法計(jì)算就比較簡(jiǎn)便了.

破解 （1）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意.

②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1為y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由題意知，圓心（3，4）到直線l1的距離等于半徑2，即=2，解之得k=. 故所求直線的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：過(guò)程略，同學(xué)們可自行嘗試.

解法2：如圖1，連結(jié)CA并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，則=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，為定值.

3. 弦長(zhǎng)問(wèn)題

例3 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng).

思索 （1）將直線方程與圓方程聯(lián)立，判斷該方程組有兩個(gè)解；或通過(guò)直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在圓內(nèi)證明；或利用圓心到直線的距離小于圓半徑證明. （2）利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于k的函數(shù)的最值問(wèn)題；也可用平面幾何的知識(shí)，判斷出過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦與過(guò)該定點(diǎn)的半徑垂直時(shí)該弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：設(shè)直線與圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則可得直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)AB=x1-x2=2=2. 令t=，則tk2-4k+（t-3）=0. 當(dāng)t=0時(shí)，k=-；當(dāng)t≠0時(shí)，因?yàn)閗∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值為4，此時(shí)AB的最小值為2.

解法2：由平面幾何知識(shí)，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P（0，1）的弦，只有和PC（C為圓心）垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)P（0，1）為弦AB的中點(diǎn). 由勾股定理，知AB=2=2，即直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2.

4. 圓與圓的位置關(guān)系

例4 （2014年高考湖南卷）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根據(jù)兩個(gè)圓的方程可以知道其圓心與半徑，當(dāng)兩個(gè)圓外切時(shí)圓心距等于兩個(gè)圓半徑的和，即可解出m的值.

破解 過(guò)程略，答案選C.

5. 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題

例5 如圖2，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長(zhǎng)：

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

思索 本題是應(yīng)用題，可以用解析法來(lái)解決. 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以向東、向北為x軸、y建立直角坐標(biāo)系. （1）要求BC的長(zhǎng)，就要求得點(diǎn)B的坐標(biāo). 已知tan∠BCO=，說(shuō)明直線BC的斜率為-，這樣直線BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直線AB的方程也易得出，兩條直線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)隨之而得. （2）本問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是求圓半徑最大，即求線段OA上某點(diǎn)到直線BC的距離最大. 注意要考慮條件“古橋兩端O和A到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80 m”.

破解 （1）如圖2，以O(shè)C方向?yàn)閤軸，OA方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，則可得A（0，60），C（170，0）. 由題意，kBC=-，所以直線BC的方程為y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直線AB的方程為y=x+60. 聯(lián)立兩直線方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）設(shè)點(diǎn)M（0，m）（0≤m≤60），點(diǎn)B（80，120），直線BC的方程為y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半徑R=. 又因?yàn)楣艠騼啥薕和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，當(dāng)m=10時(shí)圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10時(shí)圓形保護(hù)區(qū)面積最大.

變式練習(xí)

1. 如果圓x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0與圓x2+y2=4總相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2. 已知直線l過(guò)點(diǎn)（-2，0），當(dāng)直線l與圓x2+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山東卷）圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

5. 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率e=，A1，A2分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)；圓A2的半徑為a，過(guò)點(diǎn)A1作圓A2的切線，切點(diǎn)為P，在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q.

（1）求直線OP的方程；

（2）求的值；

（3）設(shè)a為常數(shù). 過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓E于點(diǎn)B，C，分別交圓A2于點(diǎn)M，N，記△OBC和△OMN的面積分別為S1，S2，求S1·S2的最大值.

參考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨設(shè)OM的方程為y=kx（k>0），聯(lián)立方程組y=kx，+=1，解得B，，所以O(shè)B=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立. 所以S1·S2的最大值為.