■王佩其

聚焦圓與圓的位置關(guān)系的基本問題

■王佩其

我們知道，兩圓的半徑為R，r，兩圓的圓心距為d，當(dāng)d＞R+r時，兩圓外離；當(dāng)d=R+r時，兩圓外切；當(dāng)|R—r|＜d＜R+r時，兩圓相交；當(dāng)d=|R—r|時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)d＜|R—r|時，兩圓內(nèi)含。在解析幾何中，圓與圓的位置關(guān)系主要涉及哪些基本問題呢？下面舉例解析。

一、兩圓相交時求公共弦長

例 1 已知圓Cl：x2+y2+2x—6y+l=0，圓C2：x2+y2—4x+2y—ll=0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長。

解：由圓Cl的方程與圓C2的方程相減，可得3x—4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程。

易知圓Cl的圓心（—l，3），半徑r=3。

圓心Cl到公共弦所在直線的距離為d

評注：兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2，就得到兩圓的公共弦所在的直線方程。利用圓心到弦所在直線的距離求出弦心距，再結(jié)合勾股定理可求弦長。

二、圓系方程的應(yīng)用

例 2 求過兩圓x2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y—28=0的交點，且圓心在直線x—y—4=0上的圓的方程。

解：利用圓系方程求解。

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x—4+λ（x2+y2+6y—28）=0，整理可得x2+y2+

故所求圓的方程為x2+y2—x+7y—32=0。

評注：利用圓系方程解題的本質(zhì)是為待定系數(shù)法創(chuàng)造條件，利用圓系方程求圓的方程可以優(yōu)化解題過程。

三、已知兩圓位置關(guān)系求參數(shù)的值

例 3 已知圓Cl：x2+y2—2ax+4y+a2—5=0和圓C2：x2+y2+2x—2ay+a2—3=0。

問a為何值時，（l）兩圓外切；

（2）兩圓相交；

（3）兩圓外離；

（4）兩圓內(nèi)切。

解：將兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為Cl：（x—a）2+（y+2）2=9，C2：（x+l）2+（y—a）2=4，可知兩圓的圓心和半徑分別為Cl（a，—2），rl=3，C2（—l，a），r2=2。

設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2=（a+l）2+（—2—a）2=2a2+6a+5。

（l）當(dāng)d=5，即2a2+6a+5=25時，兩圓外切，可得a=—5或a=2。

（2）當(dāng)l＜d＜5，即l＜2a2+6a+5＜25時，兩圓相交，可得—5＜a＜—2或—l＜a＜2。

（3）當(dāng)d＞5，即2a2+6a+5＞25時，兩圓外離，可得a＞2或a＜—5。

（4）當(dāng)d=l，即2a2+6a+5=l時，兩圓內(nèi)切，可得a=—l或a=—2。

評注：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法來判斷兩圓的位置關(guān)系。

江蘇太倉市明德高級中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）