☉黑龍江省大慶市大慶實驗中學 陳永志

蘇教版高中數(shù)學《必修2》在“平面解析幾何”一章中主要介紹了直線與圓的相關知識，這兩部分內容都是高考考查的重點和熱點，解析幾何的本質就是運用代數(shù)方法來研究幾何問題，所以此處必少不了相關的幾何作圖與代數(shù)運算，而學生往往由于作圖能力與計算能力比較薄弱，從而害怕求解解析幾何的題目.本文主要針對幾道有關兩圓相交時涉及的公共弦問題加以剖析，與大家共勉.

一、求公共弦方程

題目1已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：x2+y2-2x-2y+1=0，試求兩圓的公共弦所在的直線的方程.

思路分析1：因為兩圓的公共弦由兩圓相交時產生的兩個交點確定，所以最直接的解法就是先求出兩圓的交點坐標，然后再去求公共弦所在的直線方程.

解法1：將兩圓的方程聯(lián)立得，解得即兩圓的交點為（0，1），（1，0），所以公共弦所在直線的斜率為k=-1.故公共弦所在的直線方程為y=-x+1.

思路分析2：如圖1所示，不妨設兩個公共點的坐標分別 為 A（x1，y1），B（x2，y2），所 以于是①-②可得x1+y1-1=0，這就說明點A（x1，y1）在直線x+y-1=0上.同理可得點B（x2，y2）也在直線x+y-1=0上，這樣由點A（x1，y1），B（x2，y2）確定的直線方程就是x+y-1=0，即兩圓的公共弦所在的直線方程.

解法2：將兩圓的方程聯(lián)立得，將兩個方程相減，整理得x+y-1=0，所以圓C1與圓C2的公共弦所在的直線方程為x+y-1=0.

點評：很明顯，在解法1中，由于需要解二元二次方程組，其計算量不言而喻，這也是大部分學生不希望遇到的，而解法2避開了解方程組，大大弱化了計算量，也為我們提供了一種便捷的求公共弦所在直線方程的途徑，即兩圓方程相減，消去二次項，便可得到公共弦所在的直線方程.

二、求公共弦長

題目2求圓C1：x2+y2=9與圓C2：x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦長.

思路分析1：只要求出圓C1和圓C2的兩個公共點的坐標，然后利用平面上兩點之間的距離公式即可求得公共弦長.

思路分析2：我們常用的求弦長的方法是：作出圓心到弦的距離，連接圓心與兩圓的交點，從而構造出直角三角形，進而利用勾股定理解題.

解法2：如圖2所示，作出圓C1和圓C2的簡圖，將圓C1與圓C2的方程相減，得到公共弦AB所在的直線方程2x-y-3=0，又圓心C（10，0），則圓心C1到公共弦AB的距離，而圓C的半徑r=3，所以|AB|=11

圖2

圖3

解法3：我們知道，兩圓相交時，兩圓圓心的連線垂直平分公共弦，于是連接C1C2，交AB于點H，連接C1A、C2A，如圖3所示，根據(jù)圓心C（10，0），C（22，-1），易求得圓心距|C1C2|=，而|C1A|=3，|C2A|=2，可設|C1H|=x，則|C2H|=x，利用勾股定理有|C1A|2-|C1H|2=|C2A|2-|C2H|2，即9-x2=8-（-x）2，解得，所以|AH|=故公共弦長|AB|=2|AH|=

點評：解法2與解法3側重于圖形中的幾何運算，也是直線與圓中解決弦長問題最常用的方法，點到直線的距離公式的記憶以及對圓中與弦有關的性質的熟練掌握是解題的關鍵.

三、與公共弦有關的綜合問題

題目3已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

思路分析：這是一道存在性的探究題，首先，解題時要注意答題格式的規(guī)范性，其次，如何理解并轉化“使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點”這句話？一種理解：將以AB為直徑的圓的方程表示出來，并代入原點坐標來求解；另一種理解：因為AB為直徑，所以∠AOB=90°，再將直角關系轉化為兩垂直直線的斜率之間的關系，或者轉化成兩垂直向量之間的數(shù)量積關系.

圖4

解法1：假設存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，不妨設直線l的方程為y=x+m，與圓C的兩個交點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓過原點，如圖4所示，將直線l的方程y=x+m代入圓C的方程中，整理得2x2+（2m+2）x+m2+4m-4=0.因為直線l與圓C相交，所以Δ=（2m+2）2-8（m2+4m-4）>0，解得-3-3

解法2：前同解法1，因為以AB為直徑的圓過原點，所以=0，即x1x2+y1y2=0.所以x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，于是m2+4m-4+m2-m（m+1）=0，解得m=1或m=-4，均符合題意.故存在斜率為1的直線l：y=x+1或y=x-4，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.

解法3：假設存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，不妨設直線l的方程為xy+m=0，注意到弦AB不僅是直線l被圓C截得的弦，更是以AB為直徑的圓與圓C的公共弦，這樣一來，我們可以先寫出過A、B兩點的圓系方程：x2+y2-2x+4y-4+λ（x-y+m）=0，整理得x2+y2+（λ-2）x+（4-λ）y+mλ-4=0，則圓心的坐標為），因為圓過原點，故mλ-4=0 ①，又圓以AB為直徑，所以圓心）滿足直線方程xy+m=0，即+m=0 ②，結合①②兩式，解得m=1或m=-4，均符合題意.故存在斜率為1的直線l：y=x+1或y=x-4，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.

點評：在三種解法中，解法1直接緊扣題意，通過“死算”，求得以AB為直徑的圓的方程后得解，解法2實施了非常有效的轉化，但我們只是轉化為垂直向量的數(shù)量積之間的關系，其實也可以轉化成垂直的直線斜率之間的關系，這兩種解法中，根與系數(shù)的關系的運用是關鍵，而解法3則運用了圓系方程來求解，其計算量小，且正確率高.

直線與圓這部分內容是解析幾何中的重點與難點，解決此類問題都會有一定的計算量要求，并會運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法來解題，所以老師在平時的教學活動中，要指導學生細心審題，準確作圖，認真計算，不忘檢驗，逐步培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維，從而提高學生的數(shù)學解題能力.F