☉江蘇省常熟中學(xué) 陶 冶

近年各地的高考數(shù)學(xué)試題的亮點非常多，如何把高考題整合到教學(xué)當(dāng)中，更好地發(fā)揮高考題的作用呢？本文選擇2017年全國卷Ⅰ文科20題和全國卷Ⅲ理科20題作了一些思考，研磨并設(shè)計了微專題，為高三復(fù)習(xí)提供一些參考.

題目1（2017年全國卷Ⅰ文科20題）設(shè)A，B為曲線上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

（1）求直線AB的斜率；

（2）設(shè)M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

題目2（2017年全國卷Ⅲ理科20題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；

（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

圖1

一、兩道題的共性

卷Ⅰ的第20題，可求出拋物線內(nèi)接直角三角形的直角頂點坐標(biāo)，再探求斜邊的直線方程.卷Ⅲ的第20題，已知拋物線的動弦過定點（2，0），求證∠AOB=90°.兩題都是拋物線內(nèi)接直角三角形的問題.如果把它們推廣為一般的拋物線，可得互為充要條件的逆命題.

命題1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y2=2px上異于原點O的兩個動點，則∠AOB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點M（2p，0）.

渠道營銷的有效構(gòu)建，對公司的發(fā)展壯大有著積極的影響作用。作為中小型紡織企業(yè)的代表，南通鵬越紡織有限公司的渠道營銷主要有電話營銷、網(wǎng)店營銷、常設(shè)聯(lián)絡(luò)點營銷和積極的對外溝通交流營銷等渠道。電話營銷是南通鵬越紡織有限公司與客戶直接溝通的方式，直接在電話中確定訂單數(shù)和接單生產(chǎn)，這種訂單生產(chǎn)模式是傳統(tǒng)的營銷模式，建立在一定的誠信和保障基礎(chǔ)上。網(wǎng)店營銷，是南通鵬越紡織有限公司緊跟網(wǎng)絡(luò)發(fā)展和時代要求，而設(shè)置的網(wǎng)上店鋪，主要將自己的主打產(chǎn)品，面向全國供選擇，在網(wǎng)絡(luò)上直接與客戶溝通交流、訂單接單、生產(chǎn)供貨等。

二、命題的推廣

命題1的推廣

命題2-1：設(shè)P（x0，y0）是拋物線y2=2px上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點M（x0+2p，-y0）.

命題2-2：設(shè)P（x0，y0）是拋物線x2=2py上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點M（-x0，y0+2p）.

命題2-3：設(shè)P（x0，y0）是拋物線y2=ax（a≠0）上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點M（x0+a，-y0）.

命題2-4：設(shè)P（x0，y0）是拋物線x2=ay（a≠0）上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點M（-x0，y0+a）.

命題2系列在橢圓中的推廣

命題3：設(shè)P（x0，y0）是橢圓上的一點，A（x1，y1），B（x2，y2）是該橢圓上異于P的兩個動點，則∠APB=90°的充要條件是動弦AB所在的直線經(jīng)過定點）.

圖2

分析：怎樣發(fā)現(xiàn)定點？通過兩個特殊位置找交點.當(dāng)A（-x0，y0），B（x0，-y0），AB所在直線方程為y=.當(dāng)AP的斜率為1，BP的斜率為-1時，有k·k=ABOP

設(shè)直線AP的直線方程為y-y0=k（x-x0），代入1中，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a［2（y0-kb2］=0，

所以kAG=kBG，且直線AG與BG又有公共點G，所以AB過定點G.

當(dāng)直線AP的斜率不存在或者為零時，結(jié)論成立.

命題3的特例：當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時，a=b，橢圓的中心也就變?yōu)閳A心，動弦AB則變?yōu)閳A的直徑，動弦AB過定點圓心O（0，0），所對的圓周角∠APB=90°.結(jié)論依然成立.

如何上好復(fù)習(xí)課，使得高考復(fù)習(xí)更加聚焦核心素養(yǎng)，更好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和理性精神？研究高考題，設(shè)計微專題，讓學(xué)生在一個由淺入深、由此及彼的系列探究中獲得能力的提升和精神的培育是一個行之有效的路徑.例如在拋物線動弦過定點問題的系列探究中，讓學(xué)生經(jīng)歷一系列既熟悉又新奇的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，既滿足了學(xué)生的好奇心，又在推理的過程中提高了學(xué)生的抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的能力.

在系列問題的探究中，讓學(xué)生真正感受到怎樣發(fā)現(xiàn)問題，怎樣思考問題，怎樣表述問題，怎樣解決問題.當(dāng)學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)問題的探究過程中，邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)就在不知不覺中得到提高，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識也因此得到加強.

如果學(xué)生的探究興趣依舊很高昂，不妨鼓勵他們在雙曲線中作類似的探索，也許他們能夠找到更多有趣的結(jié)論.

在項鏈模式的微專題的探究中，讓學(xué)生經(jīng)歷每一個微專題的系列探究，不僅可以鞏固數(shù)學(xué)知識，更重要的是在尋找思路、實踐操作、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和反思總結(jié)的探索過程中，經(jīng)受住字母運算的煩瑣考驗，捕捉到問題變化中的本質(zhì)特征，體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)推理的快樂，這些能給學(xué)生的心理和情感帶來積極的能量，形成良好的內(nèi)心經(jīng)驗.在與同伴、老師的交流中，獲得認(rèn)可，提高自信，提升素養(yǎng).真正做到用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維研究世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界.

研究高考題，打造微專題，可以達到復(fù)習(xí)與“試”俱進，探究與素養(yǎng)齊飛的效果.W