☉廣東省廣州市第一中學(xué) 賀小意

高階思維能力包括分析能力、評價(jià)能力、創(chuàng)造能力、批判性思維能力等四大能力.“做數(shù)學(xué)”是學(xué)習(xí)個(gè)體在實(shí)踐操作中實(shí)施數(shù)學(xué)問題解決的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).在高階思維培養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)教育開展有針對性的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)可以促進(jìn)高中生的高階思維發(fā)展.

一、高階思維概述

目前，高階思維的研究理論基礎(chǔ)多源自布魯姆（B.S.Bloom）的認(rèn)知目標(biāo)分類理論.國內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者贊同布魯姆（Bloom）認(rèn)知目標(biāo)分類當(dāng)中的分析、綜合、評價(jià)能力等為高階思維能力.為此筆者做出相應(yīng)的理解，提出高階思維能力包括的四大能力為：分析能力、評價(jià)能力、創(chuàng)造能力、批判性思維能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出，“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”，“數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展”.《標(biāo)準(zhǔn)》提出的核心素養(yǎng)的關(guān)鍵的能力要求與培養(yǎng)學(xué)生的“高階思維能力”是一致的.

二、“做數(shù)學(xué)”的界定

“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)習(xí)個(gè)體在實(shí)踐操作中使數(shù)學(xué)問題得以解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).“做數(shù)學(xué)”不能等同于“做數(shù)學(xué)習(xí)題”，它的表征是“實(shí)踐”、“操作”、“探究”“體驗(yàn)”、“參與”.“做數(shù)學(xué)”與“說數(shù)學(xué)”有區(qū)別但又緊密聯(lián)系.鐘進(jìn)均對“說數(shù)學(xué)”深有研究，他認(rèn)為：“說數(shù)學(xué)”是指個(gè)體用口頭表達(dá)的具體認(rèn)識、理解，解決數(shù)學(xué)問題的思路、思想、方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、體會(huì)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).筆者認(rèn)為“說數(shù)學(xué)”可以理解為“做數(shù)學(xué)”的部分活動(dòng)，但是“做數(shù)學(xué)”更注重動(dòng)手操作，動(dòng)腦探究.新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)要注重學(xué)生的實(shí)踐參與，“評價(jià)既要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.”

三、高階思維視角下“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)探究

杜威認(rèn)為思維不是自然發(fā)生的，而是由一些“難題和疑問”或者是“困惑、混淆或懷疑”所“引發(fā)”的，思維離不開“訓(xùn)練”.同樣高階思維也不是自然產(chǎn)生的，也需要經(jīng)過培養(yǎng)和訓(xùn)練.在我國，鐘志賢教授對高階思維的培養(yǎng)研究比較深入.鐘志賢教授深刻反思并剖析了傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)模型的局限性，他認(rèn)為“要發(fā)展高階思維能力，必須有高階學(xué)習(xí)的支持.”哈佛大學(xué)著名的心理學(xué)教授戴維·珀金斯（David Perkins）認(rèn)為良好的思維能力的培養(yǎng)需要相應(yīng)的教學(xué)資源的支持，并通過教育工作者進(jìn)行一系列有針對性的訓(xùn)練.對于教育工作者而言，高階思維的培養(yǎng)則應(yīng)在學(xué)科教學(xué)中進(jìn)行.筆者從教以來一直注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，關(guān)注如何在學(xué)科教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的高階思維.筆者在發(fā)展學(xué)生的高階思維方面做了以下探究.

1.“做改編數(shù)學(xué)”培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是高階思維的重要形式.“創(chuàng)造性思維是人類在探索未知領(lǐng)域和開展創(chuàng)造創(chuàng)新活動(dòng)的過程中，充分發(fā)揮認(rèn)識的能動(dòng)作用，不斷以新穎的方式和多角度的思維轉(zhuǎn)化來尋求獲得新成果的思維活動(dòng).”創(chuàng)造性思維是可以通過訓(xùn)練培育出來的.筆者在“做數(shù)學(xué)”中嘗試“做改編數(shù)學(xué)”活動(dòng)等方式來培育學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

在上完人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5.必修》（以下簡稱必修5）第三章“不等式”后，筆者開設(shè)了一堂章節(jié)小結(jié)課（以下用“課例1”表述）.課例1中筆者選用了人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5.必修》中104頁“復(fù)習(xí)參考題”B組第5題作為例題.原題如下：

最大值、最小值各是多少？

課堂上老師引導(dǎo)學(xué)生“小導(dǎo)師”（筆者所教班級設(shè)有學(xué)生小教員和學(xué)生小導(dǎo)師的角色）在課堂上分析講解.在講解過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對x2+y2理解不到位，通過思想的碰撞后完成了此題的講解，并最終解決問題.講解完此題后筆者并沒有停下，而是讓學(xué)生在課堂上改編此題.

改編問題比完成一個(gè)問題需要的能力更高.在改編過程中教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否理解、掌握此問題的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.下面是部分同學(xué)比較成功的問題改編：

從上述的改編中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2有了較好的理解，并能區(qū)分z=x2+y2和z=的不同.當(dāng)我對這些同學(xué)的成功改編進(jìn)行表揚(yáng)和鼓勵(lì)后，班上同學(xué)甲站起來說：“老師，我有一個(gè)改編，不知是否可以？”我鼓勵(lì)他大膽地寫出來進(jìn)行展示.甲同學(xué)的改編是：

題4：已知2x+y-2≥0，當(dāng)x，y取何值時(shí)，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

這位同學(xué)在課堂展示時(shí)有些羞澀，但這位同學(xué)的改編確實(shí)是十分成功的，他簡潔明了地突出了教材習(xí)題考查的關(guān)鍵之處.我非常高興地表揚(yáng)了這位同學(xué)，效果非常好.課堂上全班同學(xué)對這些改編問題進(jìn)行了完整的解答.學(xué)生自己對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行改編，然后完成自己改編的問題.學(xué)生學(xué)習(xí)的迫切心更強(qiáng)了，學(xué)習(xí)的興趣也更濃了.課堂即時(shí)展示，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐意識和競爭意識.課堂上學(xué)生即時(shí)改編教師提出的問題不僅培養(yǎng)了自己的創(chuàng)造性思維，同時(shí)在這種競爭過程也激發(fā)了全班學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

2.“做多解數(shù)學(xué)”培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是思維過程中從一方面向多方面展開，通過知識、觀念的重新組合，找出更多更新的可能答案、設(shè)想、或解決辦法，是高階思維的一種.

“多解數(shù)學(xué)”指的是一個(gè)問題可能有多種答案、多種解法、多種思路.我把“開放性問題”、“一題多解問題”歸類到“多解問題”.在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中教師開展“做數(shù)學(xué)”實(shí)踐活動(dòng)時(shí)經(jīng)常策劃一些“做多解數(shù)學(xué)”，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

在課例1的最后，我在課堂上拋出一個(gè)問題，甲同學(xué)改編的這個(gè)問題除了利用線性規(guī)劃思想解決外還有沒有其他方法？請同學(xué)們課后思考并用多種方法完成下一題：

題5：已知x+y-1≥0，當(dāng)x，y取何值時(shí)，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

學(xué)生交上來的作業(yè)，居然出現(xiàn)了近7種方法.

解法1：線性規(guī)劃思想解題，轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離的平方問題.

以下方法先是通過圖形理解將問題轉(zhuǎn)化為：

已知x+y-1=0（x≥0，y≥0），當(dāng)x，y取何值時(shí)，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

解法2：基本不等式法

解法3：三角換元法之一

令x=cos2θ，y=sin2θ，則x2+y2=cos4θ+sin4θ，然后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的最值問題.

解法4：三角換元法之二

x2+y2=t，令x=cosθ，y=sinθ，x+y=cosθ+sinθ轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的最值問題.

解法5：二次函數(shù)法

因?yàn)閥=1-x，則z=（1-x）2+x2=2x2-2x+1轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)中的最值問題.

解法6：判別式法

x2+y2=t，把y=1-x代入得x2+（1-x）2=t，利用Δ≥0得到答案.

解法7：解析幾何法

轉(zhuǎn)化為圓x2+y2=t與直線y=1-x相切的問題.

限于篇幅就不一一給出學(xué)生們的詳細(xì)解答過程.課例1是我在開展“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)時(shí)比較典型的“做多解數(shù)學(xué)”的課例.

3.“做質(zhì)疑數(shù)學(xué)”培養(yǎng)批判性思維

質(zhì)疑在傳統(tǒng)的教學(xué)中已經(jīng)難以覓見.在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生對教師、書本給出的知識點(diǎn)或答案一般被動(dòng)接受，這對當(dāng)前學(xué)生的發(fā)展是極其不利的.《標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）明確要求：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能“樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意”.當(dāng)前教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生辯證地接受新知識，學(xué)會(huì)求異質(zhì)疑.遲維東認(rèn)為“批判性思維是思維創(chuàng)新的催化劑、原動(dòng)力.可以說，創(chuàng)新性思維是廣義的批判性思維.”他認(rèn)為批判性思維是一種“擺脫舊觀念的束縛、沖破舊知識的傳統(tǒng)作用”的思維過程.批判性思維實(shí)際上也是一種求異質(zhì)疑的思維過程.筆者在開展“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中不時(shí)地開展“做質(zhì)疑數(shù)學(xué)活動(dòng)”，旨在培育學(xué)生的批判性思維.

下面是高考數(shù)學(xué)題中存在爭議的兩個(gè)數(shù)學(xué)題，筆者在數(shù)學(xué)必修1和必修5的教學(xué)中展示給學(xué)生，同時(shí)公布當(dāng)年高考的標(biāo)準(zhǔn)答案.

題6：（2005年福建理12）f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

題7：（2003年江蘇1）如果函數(shù)y=ax2+bx+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)（a，b）在aOb平面上的區(qū)域（不包含邊界）為（ ）.

4.“做操作數(shù)學(xué)”培養(yǎng)綜合性思維

綜合思維是多種思維方法在思維活動(dòng)中的全息式整合，是人腦綜合運(yùn)用多種思維方法的思維過程和思維方式.

皮亞杰在《發(fā)生認(rèn)識論原理》中這樣闡述邏輯思維、數(shù)學(xué)等認(rèn)識的：認(rèn)識都是不斷建構(gòu)的產(chǎn)物，其建構(gòu)過程則依賴于主體的不斷活動(dòng).皮亞杰認(rèn)為：“我們可以越過那些可觀察到的東西來嘗試著建構(gòu)結(jié)構(gòu)，并不是從主體有意識地說或想的什么來形成結(jié)構(gòu)，而是以當(dāng)他解決對他來說是新問題時(shí)，他依靠他的運(yùn)演所‘做’的什么來建構(gòu)結(jié)構(gòu)”.從行為主義理論來看，多讓學(xué)生操作、動(dòng)手實(shí)踐，在親歷中更容易產(chǎn)生頓悟.“做操作數(shù)學(xué)”活動(dòng)可以給學(xué)生多方面信息的刺激，易促進(jìn)學(xué)生綜合思維的發(fā)展.

三、結(jié)束語

在數(shù)學(xué)學(xué)科教育中，教師通過開展“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)過程，親歷數(shù)學(xué)思維錘煉的過程.任何學(xué)習(xí)內(nèi)容都可以設(shè)計(jì)成不同思維層次的任務(wù)要求.在高階思維視角下開展有針對性的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)行分析、評價(jià)、創(chuàng)造等高階思維的形成，并促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.《標(biāo)準(zhǔn)》中“探索”所描述的數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程就是定位在高階思維水平.對照“探索”的內(nèi)容要求，教師可以設(shè)計(jì)開展不同形式的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，從而培養(yǎng)高中生的高階思維能力.

高階思維視角下的學(xué)科教學(xué)并非設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)難題，而是開展有效的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)；高階思維能力是基于學(xué)生主體參與，設(shè)計(jì)探究性任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng).