☉陜西省寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué) 劉金平

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.抽象函數(shù)問(wèn)題對(duì)于高中生來(lái)講，難度比較大，不易理解，主要特點(diǎn)是抽象函數(shù)的解析式不確定.試題常將函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識(shí)結(jié)合在一起，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的主要性質(zhì)（如單調(diào)性、周期性、奇偶性和對(duì)稱性）的理解能力、邏輯推理能力和抽象思維能力，養(yǎng)成從特殊到一般，從具體到抽象的解題思維習(xí)慣.

一、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力

例1設(shè)（fx）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意的x1，x2∈]，都有（fx1+x2）=（fx1）·（fx2），且（f1）=a＞0.

（2）證明：（fx）是周期函數(shù)；

分析：（1）這是根據(jù)題干條件求特殊值的問(wèn)題，需要把1拆成，這樣就可以直接利用條件進(jìn)行求解；

（2）要利用圖像的對(duì)稱性找到對(duì)應(yīng)關(guān)系并結(jié)合條件就能證明；

解析：（1）因?yàn)閷?duì)于任意的x，x∈]，都有（fx+121x2）=（fx1）·（fx2）成立，

（2）證明：由題意可知，y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故可得f（x）=f（2-x），x∈R.又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x），x∈R，所以f（-x）=f（2-x），x∈R.將上式中的-x用x替換，得到f（x）=f（x+2），x∈R，

則由周期函數(shù)的定義可知f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)正周期.

（3）由（1）知f（x）≥0，x∈［0，1］，

由（2）知（fx）是以2為周期的周期函數(shù)，因此，an=

評(píng)注：該題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念、圖像，以及奇偶性、周期性和對(duì)稱性等重要性質(zhì)的理解能力，以及遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用能力；考查運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力.關(guān)鍵是要緊緊抓住題干條件f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）進(jìn)行適當(dāng)變形尋找解決問(wèn)題的突破口，巧妙地將抽象問(wèn)題具體化.在解題過(guò)程中要讓學(xué)生體會(huì)和感受到解決抽象函數(shù)問(wèn)題的技巧和方法，從而達(dá)到落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

二、借助數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

例2已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜0.

（1）求f（0）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

分析：（1）由（fx+y）=（fx）+（fy）這個(gè)條件求特殊值，只需充分利用自變量取值的任意性就可以完成；

（2）結(jié)合題目條件，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義巧妙地對(duì)（fx+y）=（fx）+（fy）進(jìn)行變形即可；

解析：（1）由對(duì)于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，不妨令x=y=0，得

f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0.

（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，由（1）知，可令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），

即f（0）=f（x）+f（-x），而f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）.故f（x）為奇函數(shù).

由函數(shù)單調(diào)性的定義，任取x1，x2∈（-∞，+∞），不妨設(shè)x1＞x2，則x1-x2＞0，由題設(shè)條件得f（x1-x2）＜0.

而f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2），所以f（x1）+f（-x2）＜0，

即f（x1）＜-f（-x2）=f（x2）.所以f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù).

（3）因?yàn)楹瘮?shù)（fx）是奇函數(shù)且當(dāng)x＞0時(shí)，（fx）＜0，當(dāng)x∈［-1，1），x-1＜0，得（fx-1）＞0，所以＜2k可變形為（fx2+1）＜2k（fx-1）.

①當(dāng)k∈Z+時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法可證得2k（fx）=（f2kx）.（*）

②當(dāng)k=0時(shí)，（*）式顯然成立；當(dāng)k＜0時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可證明（*）式也成立.

所以有（fx2+1）＜（f2kx-2k），由單調(diào)性得x2-2kx+1+2k＞0，對(duì)于x∈［-1，1）恒成立.運(yùn)用分離參數(shù)法可變形為在x∈［-1，1）上恒成立，

評(píng)注：前兩個(gè)問(wèn)題采用“賦值法”就可以輕松解決，由定義域的一般性給變量賦特殊值即可，第三個(gè)問(wèn)題則利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想使問(wèn)題得以解決，這是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法，在教學(xué)過(guò)程中要善于引導(dǎo)學(xué)生去感受、體會(huì)這種解題思路，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維解決問(wèn)題的良好習(xí)慣.

在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知能力有限，還未形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從一個(gè)數(shù)學(xué)情境中抽象概括出一個(gè)數(shù)學(xué)模型的能力比較欠缺，這兩個(gè)例子所給出的函數(shù)關(guān)系分別可以抽象為指數(shù)型函數(shù)f（x）=ax和一次函數(shù)f（x）=kx模型，這是學(xué)生最熟悉最易理解的兩個(gè)函數(shù)模型，把抽象的不好理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較大幫助.W