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(中山紀(jì)念中學(xué) 廣東中山 528454)

解析交點(diǎn)圓系方程的幾何意義
——讀《兩圓無(wú)交點(diǎn)，圓系為何意》有感

●姚華鵬

(中山紀(jì)念中學(xué) 廣東中山 528454)

筆者閱讀了文獻(xiàn)[1]后，對(duì)作者的研究精神深表敬意.不過(guò),筆者認(rèn)為文中給出的結(jié)論似乎有些牽強(qiáng)，以至于作者自己也承認(rèn)結(jié)論沒(méi)有實(shí)際意義.因此,筆者對(duì)“兩圓相離、內(nèi)含時(shí),圓系方程沒(méi)有實(shí)際意義”的說(shuō)法心存疑慮.很多中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽資料提到交點(diǎn)圓系方程，但是均未能給出交點(diǎn)圓系方程的由來(lái).對(duì)此筆者近期思索了一些相關(guān)問(wèn)題，特撰文與大家商榷，以期通過(guò)定義距徑平方差揭開(kāi)圓系方程的面紗.

若圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4Fgt;0),配方后成為標(biāo)準(zhǔn)方程,即

因此

圖1 圖2

當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P引線(xiàn)段PC的垂線(xiàn)，交圓C于點(diǎn)M，N(此時(shí),弦MN是圓內(nèi)過(guò)點(diǎn)P的最短弦).由垂徑定理知

|PM|2=MC2-PC2=R2-PC2,

從而

于是

當(dāng)定點(diǎn)P在圓上時(shí)，亦有

到圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(半徑為r1)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(半徑為r2)的距徑平方差之比為-λ的點(diǎn)S(x,y)的軌跡方程為

(1)

無(wú)論實(shí)數(shù)λ為何值，式(1)變形整理得

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+E2x+

E2y+F2)=0，

(2)

即為熟悉的交點(diǎn)圓系方程.交點(diǎn)圓系方程的幾何意義自然而出：表示到兩圓的距徑平方差之比為-λ的點(diǎn)的軌跡方程！

下面我們證明:方程(2)一定是某個(gè)圓的方程.

當(dāng)λ≠-1時(shí)，方程(2)可化為

要證明該方程表示圓,則只需證明

(把點(diǎn)看成半徑為0的圓)即可.此不等式不易得證,而它實(shí)際上是要證明方程(2)有解.如果能夠證明存在滿(mǎn)足方程(1)的點(diǎn)，那么即證明了該不等式成立.考慮到對(duì)于任意的點(diǎn)S，有

由此可知方程(1)有解，從而方程(2)有解.因此方程(2)確實(shí)是某個(gè)圓的方程！把直線(xiàn)看成半徑無(wú)限大的圓，則當(dāng)λ=-1時(shí)，方程(2)也表示是圓.當(dāng)圓C1與圓C2有公共點(diǎn)時(shí)，方程(2)所表示的圓過(guò)它們的公共點(diǎn).即使圓C1與圓C2相離或內(nèi)含,方程(2)仍然能夠保持其本質(zhì)意義.故把方程(2)稱(chēng)為交點(diǎn)圓系方程是比較片面的！

用方程(1)能夠輕松解釋下列現(xiàn)象：

J(S0,C1,r1)=J(S0,C2,r2).

當(dāng)點(diǎn)S0(x0,y0)落在兩圓外時(shí)，由它引兩圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相等.這是很多參考資料都有的結(jié)論.其實(shí),對(duì)于λ≠-1的方程(2)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)亦可類(lèi)似地討論切線(xiàn)長(zhǎng)的關(guān)系，方程(1)正好給出了它們之間的關(guān)系.

(2)由于方程(1)的分母不能為0，因此滿(mǎn)足方程(2)的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不能落在圓C2上，自然圓C2的方程無(wú)法用方程(2)表示.當(dāng)λ=0時(shí),方程(2)表示的曲線(xiàn)顯然是圓C1；若把方程(2)改寫(xiě)成

λ1(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ2(x2+y2+

D2x+E2y+F2)=0,

則當(dāng)λ2=0，λ1≠0時(shí),就能夠表示圓C2.

因此到兩定點(diǎn)的距離之比為定值(正數(shù))的點(diǎn)的軌跡是圓，這可以作為圓的第二定義.

[1] 劉薇，陸麗濱.兩圓無(wú)交點(diǎn)，圓系為何意——記一次對(duì)虛圓系的探究過(guò)程[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(1):1-2.