●錢建英 來國平 (長河高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310052)

與函數(shù)有關(guān)的高考試題分析

●錢建英 來國平 (長河高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310052)

1 考試要求

1．1 注重對(duì)函數(shù)基本知識(shí)的考查

主要考查函數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)和基本的計(jì)算、解題方法，多屬于函數(shù)部分的基本練習(xí)或課本上題目的變形與創(chuàng)新，體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)試題源于課本的命題原則．

1．2 注重對(duì)函數(shù)主干知識(shí)的考查

為了突出函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主線地位，在每年的新課程高考試題中，除考查純函數(shù)的知識(shí)外，函數(shù)方程的思想在其他試題中體現(xiàn)得淋漓盡致．

1．3 突出以函數(shù)為主的綜合應(yīng)用

函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、立體幾何等的相互滲透和交叉一直是高考的熱點(diǎn)，并且?？汲Ｐ拢?/p>

2 考點(diǎn)回顧

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容．函數(shù)概念反映了現(xiàn)實(shí)世界中變量間的相互依存、相互制約的變化規(guī)律，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法是高中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，同時(shí)本身就是數(shù)學(xué)中常用的一種思想方法，廣泛地滲透到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程及其他各學(xué)科中．同時(shí)函數(shù)又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，內(nèi)容極為豐富．縱觀近幾年的高考試題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)(不含三角函數(shù))在選擇、填空、解答這3種題型中都有出現(xiàn)，占全卷的20%左右．既有容易題，又有中檔題與難題．近幾年的高考著重考查了二次函數(shù)(方程、零點(diǎn))、分段函數(shù)、圖像與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式等重要知識(shí)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題能力的要求較高．

3 命題熱點(diǎn)及生長點(diǎn)情況

近年來，有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的高考命題特點(diǎn)是:

(1)全方位:在近幾年的高考題中，函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn)都考過，雖然不強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率，但每一年函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率依然沒有減少．

(2)多層次:在每年的高考題中，低檔、中檔、高檔難度的函數(shù)題都有，且選擇、填空、解答題型齊全．低檔題一般僅涉及函數(shù)本身的內(nèi)容，如定義域、值域、單調(diào)性、周期性、圖像、反函數(shù)(要求降低)，且對(duì)能力的要求不高;中、高檔題多為綜合程度較大的問題，或者是函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合，或者是多種方法的滲透．

(3)巧綜合:為了突出函數(shù)在中學(xué)中的重要地位，近幾年來高考強(qiáng)化了函數(shù)對(duì)其他知識(shí)的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力的綜合程度，特別是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其知識(shí)的綜合應(yīng)用．

(4)變角度:出于“立意”和“創(chuàng)新”的需要，函數(shù)試題設(shè)置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新．重視函數(shù)思想的考查集中體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等的思想方法．函數(shù)的類型較多，概念、公式較多，具有較強(qiáng)的綜合性，從而使函數(shù)考題顯得新穎、生動(dòng)、靈活．

4 典例剖析

4．1 函數(shù)在選擇題、填空題中的考查類型

(1)從函數(shù)的概念及性質(zhì)出發(fā)．

評(píng)注本題主要考查了函數(shù)的概念、定義域、值域、圖像和對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求，體現(xiàn)了對(duì)能力的考查，屬中檔題．

(2)從函數(shù)的類型出發(fā)．

評(píng)注 本題主要考查對(duì)數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及分類討論思想，屬中檔題．

圖1

評(píng)注本題考查的是數(shù)形結(jié)合的思想方法．

4．2 函數(shù)在解答題中的考查類型

(1)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，既求函數(shù)的極值與最值，又考查函數(shù)的單調(diào)性．

綜上所述，f(x)在區(qū)間( －1，1］和［7，+∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1，3］和［3，7)上是減函數(shù)．

評(píng)注此題屬中檔題，主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求極值、函數(shù)的單調(diào)性．

(2)函數(shù)應(yīng)用題與綜合應(yīng)用題考查的是學(xué)生的建模能力．

例5如圖2，縣城A和B相距20 km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所

選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記點(diǎn)C到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y．統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4;對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k．當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0．065．

(1)將y表示成x的函數(shù)．

圖2

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

評(píng)注本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題．

(3)函數(shù)與不等式、數(shù)列、向量、解析幾何的綜合問題．

表1 x的取值情況表

評(píng)注此題是高檔題，主要考查函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化應(yīng)用的能力;考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．

精題集粹

1．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足

③若奇函數(shù) f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意 x都有f(x)=f(2－x)，則f(x)為周期函數(shù)．其中真命題是 ( )

A．①② B．①③ C．②③ D．②

3．設(shè)函數(shù) f(x)=g(x)+x2，曲線 y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為 ( )

(1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是－3，求a，b的值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．

參考答案

1．C 3．C 3．A 4．D 5．8

6．解(1)由題意得

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，1)不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(－1，1)上既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)f'(x)在(－1，1)上存在零點(diǎn)．根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有