●李小飛 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇南京 210003)

簡議高中數(shù)學(xué)分析和解決問題能力的培養(yǎng)

●李小飛 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇南京 210003)

分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料;能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述．它是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)．由于高考數(shù)學(xué)的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)了綜合性．這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性．

1 分析和解決問題能力的組成

1．1 審題能力

審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力;分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力．要快捷、準(zhǔn)確地解決問題，掌握題目的數(shù)形特點(diǎn)、能對條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的．

從上述解答過程可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和已知條件之間的聯(lián)系，這需要有一定的審題能力．由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個(gè)基本組成部分．

1．2 合理應(yīng)用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容;數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等;數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法．只有理解和掌握數(shù)學(xué)的基本知識、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，而合理選擇和應(yīng)用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢．

求3u－4v的最大值．不難發(fā)現(xiàn)這是個(gè)線性規(guī)劃問題，仍然可以用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．

1．3 數(shù)學(xué)建模的能力

例3某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位:m)，如圖 1，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

(1)該小組已經(jīng)測得一組α，β 的值，tanα =1．24，tanβ =1．20，請據(jù)此算出H的值．

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)，α－β最大?

分析本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用．

圖1

本題第(2)題的文字表述比較長，要求學(xué)生能夠?qū)⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，能夠把求α－β的值最大轉(zhuǎn)化為求該角的三角函數(shù)值最大．文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言從而再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是學(xué)生難以掌握的地方．這需要提高文字信息的獲取能力和數(shù)學(xué)建模能力．平時(shí)在教學(xué)過程中，教師要試著讓學(xué)生獨(dú)立閱讀題目，并嘗試自己尋找信息，從而將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

當(dāng)然，本題也可以利用幾何知識來解決，過點(diǎn)E作AD的平行線，當(dāng)以BC為弦的圓與直線AD相切時(shí)，α－β的值最大．這樣，就可以利用切割線定理很快得到答案．

2 培養(yǎng)和提高分析、解決問題能力的策略

2．1 重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，有更高的層次和地位．它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是一種數(shù)學(xué)意識，屬于思維的范疇．?dāng)?shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段．

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識一種“思想”或“方法”的個(gè)性，即認(rèn)識一種數(shù)學(xué)思想或方法對于解決什么樣的問題有效．從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析、解決問題的能力．

2．2 加強(qiáng)應(yīng)用題教學(xué)，提高學(xué)生的模式識別能力

高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力．

數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對其數(shù)學(xué)模式的識別是解決它的前提．由于高考考查的不是原始的實(shí)際問題，命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析、解決實(shí)際問題．

2．3 適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識面

要分析和解決問題，必須先理解題意，這樣才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題．近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)創(chuàng)造能力的人才，這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查．由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新穎，給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導(dǎo)致失分率較高．因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識面是提高學(xué)生分析和解決問題能力必要的補(bǔ)充．

2．4 重視解題的回顧

在數(shù)學(xué)解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個(gè)環(huán)節(jié)．這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是對提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段．

解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，而這一教學(xué)目的恰恰需通過回顧解題的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)．

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視解題的回顧，與學(xué)生一起對解題的結(jié)果和解法進(jìn)行細(xì)致的分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，幫助學(xué)生從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和方法并加以掌握，將其用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器．