崔亞娟

本節(jié)課是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十四章《圓》中“圓與圓的位置關(guān)系”.本節(jié)課是學(xué)生在已掌握了點與圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系等知識的基礎(chǔ)上,進一步研究平面上兩圓的不同位置關(guān)系.本節(jié)課采取類比的方法進行教學(xué),通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生動眼、動手、動口等能力,同時也滲透了類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.圓與圓的組合圖形具有一些特殊的位置關(guān)系和性質(zhì),因此在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,尤其在工業(yè)制造方面應(yīng)用較多.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合圖形辨認(rèn)圓與圓5種位置關(guān)系,根據(jù)具體圖形說出相應(yīng)的位置關(guān)系名稱,能類比直線與圓的位置關(guān)系,通過公共點個數(shù)來決定圓與圓的5種位置關(guān)系.了解兩圓外切,內(nèi)切與兩圓圓心距d半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.

2.經(jīng)歷探索兩個圓之間位置關(guān)系的過程,訓(xùn)練學(xué)生的探索能力.通過平移實驗直觀的探索兩個圓之間位置關(guān)系,發(fā)展學(xué)生的識圖能力和動手能力操作.

3.通過探索圓與圓的位置關(guān)系,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系,豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識,發(fā)展形象思維.

【教學(xué)重點】

通過探索圓與圓的位置關(guān)系了解兩圓外切,內(nèi)切與兩圓圓心距d,半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.

【教學(xué)難點】

探索兩個圓之間的位置關(guān)系 ,以及外切,內(nèi)切與兩圓圓心距d,半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過程.

【教學(xué)方法】

實驗探索,指導(dǎo)學(xué)生觀察、實驗、探究、歸納.

【教具準(zhǔn)備】

多媒體課件、學(xué)生用表格、圓規(guī),鉛筆,尺子,兩個半徑不一樣的圓形紙片.

【教學(xué)設(shè)計】

一、激情導(dǎo)入,動情入境

師:首先讓我們一起來觀看一組動畫,注意觀察,看你都發(fā)現(xiàn)了什么.

1.大屏幕展示FLASH動畫,演示水滴下落的情境.

(通過動畫演示水滴落入水中的情境,展示給學(xué)生一個生動、形象的圓與圓位置關(guān)系的實際場景.導(dǎo)入新課寓趣味于其中,既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活,又能激發(fā)學(xué)生的興趣,喚起他們的好奇心與求知欲.本環(huán)節(jié)的設(shè)計是通過生活中比較常見的水滴下落到水中形成的水波來創(chuàng)設(shè)情境,能夠讓學(xué)生在開課伊始就入情入境.)

2.提出問題.

師:回憶剛才的動畫演示,猜想一下,我們這節(jié)課要研究的主題是什么?

學(xué)生試著說出本節(jié)課所要研究的主題——圓與圓的位置關(guān)系.

師:生活中存在著很多圓與圓的位置關(guān)系的實例,你能根據(jù)你的生活經(jīng)驗找找看嗎?

學(xué)生思考、回憶、尋找,并試著談出自己找到的有關(guān)圓與圓位置關(guān)系的實物.

(通過尋找生活中的圓與圓位置關(guān)系的實物,再次加深對本節(jié)課所要研究內(nèi)容的印象.)

師:今天老師也給大家?guī)砹艘恍﹫D片,讓我們來一起欣賞一下吧!

大屏幕展示教師帶給學(xué)生的圖片.總結(jié)圖片中圓與圓位置關(guān)系在生活中的重要性.

(通過展示圖片,可以發(fā)現(xiàn)圓與圓的位置關(guān)系在我們的生活中起到一定的裝點作用,同時也有它的實用價值.本環(huán)節(jié)旨在讓數(shù)學(xué)貼近生活,既強化學(xué)習(xí)目標(biāo)又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動有鮮明的目的性.通過學(xué)生自己去找尋生活中圓與圓的位置關(guān)系來增強其對本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)識.并且學(xué)生能感悟數(shù)學(xué)來源于生活的客觀真理.)

二、實驗探究

1.動手操作.

師:請同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的兩個半徑不相等的圓,放在桌面上,固定其中一個圓不動,在桌面上移動另一個圓,觀察兩圓的位置關(guān)系和公共點的個數(shù).

大屏幕展示自學(xué)探究內(nèi)容:

(1)觀察兩圓的位置關(guān)系和公共點的個數(shù).

(2)根據(jù)你的操作,類比直線與圓的位置關(guān)系,你能給他們分別命名嗎?

(3)在幾種圓的位置關(guān)系中,你都能得到哪些結(jié)論,看哪一個組找得多.

2.自學(xué)探究.

學(xué)生實驗,教師巡視學(xué)生的探究過程,并給予相應(yīng)的指導(dǎo)和幫助.

3.小組匯報.

師:哪個小組愿意勇敢地到前面來匯報一下自己組的探究結(jié)果?

類比前兩節(jié)研究點與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,學(xué)生能夠很容易對圓與圓的位置關(guān)系探究思路理解,并進行操作.通過學(xué)生的親自動手操作加強學(xué)生對兩圓5種位置關(guān)系的認(rèn)可.初步感知兩圓的5種位置關(guān)系的客觀事實.

(本環(huán)節(jié)設(shè)計意圖是:主要培養(yǎng)學(xué)生的類比思想,觀察分析發(fā)現(xiàn)的能力.通過合作交流、自主評價,改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式及學(xué)習(xí)質(zhì)量,激發(fā)學(xué)生的興趣,喚起他們的好奇心與求知欲,點燃學(xué)生智慧的火花,使學(xué)生積極思維,勇于探索,主動地去獲取知識.)

通過自己的親身體驗總結(jié)一下圓一圓的位置關(guān)系.具體一點,還能不能再細(xì)分一下?(預(yù)計學(xué)生會總結(jié)出兩圓的位置關(guān)系有:相離、相交、相切3種)從而得到兩圓的5種位置關(guān)系:外離、內(nèi)含、相交、外切、內(nèi)切.

師:若兩圓的半徑相等,那么這樣的兩圓是否也存在上面的5種位置關(guān)系呢?

學(xué)生在對相交這種位置關(guān)系產(chǎn)生質(zhì)疑時,教師可給予提示、引導(dǎo)、幫助、總結(jié).讓學(xué)生在猜想與探究的過程中,體驗成功的快樂,培養(yǎng)他們主動參與、合作的意識,勇于創(chuàng)新和實踐的科學(xué)精神.

三、總結(jié)判定兩圓的位置關(guān)系的方法

師:思考一下,如何判定兩個圓的位置關(guān)系呢?

教師利用課件展示兩圓位置關(guān)系與兩圓圓心距和兩圓半徑的大小關(guān)系.

圓與圓的位置關(guān)系從圖形到概念再到交點個數(shù)和d與R與r的數(shù)量關(guān)系總結(jié).

判定兩圓的位置關(guān)系的方法:

1.兩圓公共點的個數(shù).

2.根據(jù)圓心距和兩圓半徑的大小關(guān)系.

師:兩個圓的位置關(guān)系會有第6種情況嗎?兩個圓的公共點會有3個嗎?為什么?

練習(xí):

1.看誰答得快:

兩圓有兩個交點,則兩圓的位置關(guān)系是 ,兩圓沒有交點,則兩圓的位置關(guān)系是 ,兩圓只有一個交點,則兩圓的位置關(guān)系是 .

2.當(dāng)兩圓外切,O₁O₂= 10,r₁=4時,r₂= ;當(dāng)兩圓內(nèi)切,O₁O₂=2,r₁=5時,r₂= .

3.定圓O的半徑是4厘米,動圓P的半徑是1厘米.(1)設(shè)⊙P和⊙O相外切,那么點P與點O的距離是多少?點P可以在什么樣的線上移動?(2)設(shè)⊙P和⊙O相內(nèi)切,情況怎樣?

四、相切兩圓性質(zhì)的探究

我們知道,圓是軸對稱圖形. 兩個圓是否也組成一個軸對稱圖形呢?如果是軸對稱圖形,那么它的對稱軸是什么?

1.在紙上選取外切、內(nèi)切兩個圖形,分別連接兩個圓的圓心所在的直線.

2.沿著圓心所在的直線對折一下,你發(fā)現(xiàn)了什么? 從中得出了什么結(jié)論?

3.它的對稱軸是什么?

4.除了圓心外,有沒有特殊點在兩圓的連心上?你能說出理由嗎?

學(xué)生自行探究,教師深入指導(dǎo).最后教師利用多媒體課件形象的演示兩圓相切的對稱性.

結(jié)論1:兩個相切圓組成軸對稱圖形,對稱軸是兩圓連心線.

2:當(dāng)兩圓相切時,切點一定在兩圓連心線上.

(在經(jīng)歷“觀察——猜測——探索——驗證——運用”的過程,滲透了從“形”到“數(shù)”和從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化、思維能力.實現(xiàn)了感性到理性的升華,凸現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì),“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想.本環(huán)節(jié)設(shè)計意圖是:讓學(xué)生進一步理解性質(zhì)與判定,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,通過定理的形象記法減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).另外,通過對例題改造,培養(yǎng)學(xué)生的運用意識,提高解決實際問題的能力.)

五、例題精析

例1:如下圖,⊙O的半徑為5cm,點P是⊙O外一點,OP=8cm,求:(1)以P為圓心,作⊙P與⊙O外切,小圓P的半徑是多少?(2)以P為圓心,作⊙P與⊙O內(nèi)切,大圓P的半徑是多少?

(教師引導(dǎo)學(xué)生自行分析,并板演解題過程.)

例2:兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如下圖所示(點O₁、O₂是圓心),分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線(線段PQ稱為兩圓的公共弦),TP,NP分別為兩圓的切線.

(1)上圖中兩圓的位置關(guān)是;

(2)求∠TPN的度數(shù)?你是怎么想的?可以獨立完成嗎?

(3)O₁O₂與PQ有什么位置關(guān)系?一般情況下的兩圓相交,(如下圖)O₁O₂與AB又有什么位置關(guān)系?你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?

(解決生活實例問題,創(chuàng)設(shè)了生活情境,提供了探索的平臺,為學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定了良好的基礎(chǔ).)

結(jié)論:相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

例3:兩個圓的半徑的比為2∶3 ,內(nèi)切時圓心距等于 8cm,那么這兩圓相交時,圓心距d的取值范圍是多少?

(通過開放性習(xí)題解決部分學(xué)生“吃不飽”的問題.讓每個學(xué)生都得到最大的發(fā)展.)

六、引導(dǎo)小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識?你運用了怎樣的方法來獲得這些知識?

出示本節(jié)課的收獲對本節(jié)課的內(nèi)容進行知識上的梳理.展示兩圓5種位置關(guān)系中兩圓半徑與圓心距的數(shù)量關(guān)系表格.

(小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)計,目的是讓學(xué)生在學(xué)完這節(jié)課之后,對這節(jié)課進行一下反思,從而養(yǎng)成反思?xì)w納的好習(xí)慣.)

七、教師寄語

兩圓位置有5種,

內(nèi)外相交切含離.

切點必在連心線,

性質(zhì)判定合一體.

圓的相切、相交的位置情況中,弦心距、半徑、弦常會構(gòu)成直角三角形,因此有關(guān)兩圓的問題,往往可化為等腰三角形或直角三角形的問題來解決,對這種“轉(zhuǎn)化”的思想,同學(xué)們要高度重視才行呀!

(教師寄語,是通過口訣的形式,將本節(jié)課的知識點概括出來,便于學(xué)生記憶.)

【教學(xué)反思】

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”指出了自主探究、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式.為了落實課程標(biāo)準(zhǔn),在課堂教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動性,我采用動態(tài)教學(xué)法,用自己的情感去感染學(xué)生,以情感人,以情動人,以情育人,真正打動學(xué)生,熱情洋溢,以達到提高教學(xué)質(zhì)量的目的.課堂教學(xué)中,我努力讓學(xué)生以認(rèn)真的態(tài)度在輕松氣氛中學(xué)習(xí)知識,掌握知識,這是一種享受.從而使學(xué)生樂于學(xué)習(xí),變被動為主動.

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編輯/張燁