1)當(dāng)0≤a1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；(2)當(dāng)a=1，b<-1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a=1，b>-1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，無(wú)法判定級(jí)數(shù)的斂散性.根據(jù)比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)可得，當(dāng)0≤a1時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)a=1時(shí)，此級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(2)當(dāng)a=1時(shí)，有根據(jù)拉貝判別法的極限形式可得，當(dāng)-b>1，即b<-1時(shí)，此級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)-b-1時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=-1時(shí)，無(wú)法判定級(jí)數(shù)的斂散性.證畢.(3)則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明設(shè)c=-m(m+1)由此可得，存在

723000)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算、電工學(xué)、信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用，級(jí)數(shù)也可以看成是泰勒展開(kāi)式的逆向應(yīng)用[1]。判別級(jí)數(shù)是否收斂的方法較多：針對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有比較判別法、柯西判別法等；針對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，主要采用萊布尼茨判別法[2-3]。從理論上證明級(jí)數(shù)收斂性的文獻(xiàn)較多[4-6]，本文不從理論研究級(jí)數(shù)的收斂性，而是借助數(shù)學(xué)軟件繪制級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和的曲線，從直觀上觀察級(jí)數(shù)的收斂性。1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)表1 例1對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼圖1 例1級(jí)

這些其實(shí)就是無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題。一、無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判別法及其局限性(一)利用部分和數(shù)列的極限情況判別在前面“一尺之錘”的例子中，要計(jì)算一直取下去，所取得的木棒長(zhǎng)度，我們可以先計(jì)算取了天后，所得的木棒長(zhǎng)度，則:顯然以，，……為項(xiàng)，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{}，該數(shù)列稱之為部分和數(shù)列。當(dāng)→∞時(shí)，有→1，這也就意味著當(dāng)木棒一直取下去，所取得的木棒總長(zhǎng)度無(wú)限接近于1。即：在運(yùn)用基本判別法討論無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，要求出前項(xiàng)和，我們經(jīng)常會(huì)用到一種方法“拆項(xiàng)相消”。但是這種方法

00)0 引 言級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是專升本數(shù)學(xué)必考的一個(gè)內(nèi)容.收斂級(jí)數(shù)的求和在級(jí)數(shù)理論體系中占有很重要的位置，既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn).教材中對(duì)級(jí)數(shù)的斂散判別方法講述的比較多，但是對(duì)收斂級(jí)數(shù)的求和方法介紹的比較少，導(dǎo)致學(xué)生在遇到級(jí)數(shù)求和問(wèn)題時(shí)，常常感到束手無(wú)策.級(jí)數(shù)求和需要用到大學(xué)數(shù)學(xué)中的許多理論知識(shí)和運(yùn)算技巧，是個(gè)難度較大，技巧較高的綜合性問(wèn)題，可采用的方法又是多種多樣的，只有選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?span id="5t5z55n" class="hl">級(jí)數(shù)化歸為可求和的形式

irichlet級(jí)數(shù)是具有下列形式的級(jí)數(shù)：特別地，當(dāng)1n=時(shí)，式（1）為一重Dirichlet級(jí)數(shù). Valiron[1]研究了其收斂性并給出了其收斂坐標(biāo)公式；Ritt[2]定義了一重Dirichlet級(jí)數(shù)所確定的整函數(shù)的級(jí)；余家榮等[3]在此基礎(chǔ)上研究了一重Dirichlet級(jí)數(shù)的有限級(jí)與其系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系；許全華[4]則在此基礎(chǔ)上研究了它的型及其準(zhǔn)確型并得到了這些型與其系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系. 關(guān)于一重Dirichlet級(jí)數(shù)的更多理論成果可參考文獻(xiàn)[3,

教材中，對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的內(nèi)容涉及少，而大量級(jí)數(shù)的斂散需要確定.我們通過(guò)數(shù)列收斂方法來(lái)判定級(jí)數(shù)收斂.從新的角度去認(rèn)識(shí)收斂數(shù)列的漸進(jìn)性：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，可以認(rèn)為收斂數(shù)列{yn}相鄰兩項(xiàng)的差所構(gòu)成的數(shù)列{yn-yn-1}(n>2)，無(wú)限接近一個(gè)公差為0的等差數(shù)列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來(lái)判斷數(shù)列收斂的方法.這說(shuō)明了收斂數(shù)列各項(xiàng)變化的微小性.本文給出了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)判定定理，討論了一些余弦級(jí)數(shù)的斂散性.二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定引理設(shè){yn}為一

2.1 利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)自身求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“和”2.1.1 直接求解法（定義法）例1求級(jí)數(shù)的和.解由上，此時(shí)說(shuō)明：只要等比級(jí)數(shù)滿足公式（1） 的條件，均可以用公式（1） 求和.2.1.2 方程式法方程式法是利用一些運(yùn)算技巧對(duì)部分和數(shù)列構(gòu)造方程表達(dá)式，進(jìn)而得到部分和數(shù)列的和式表達(dá)，再取極限求得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的“和”.例2求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解可以判定此級(jí)數(shù)是收斂且絕對(duì)收斂.設(shè)sn＝1－上面兩式相加有：2.1.3 通項(xiàng)拆項(xiàng)法通項(xiàng)拆項(xiàng)法是將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行拆分，將部分和數(shù)列簡(jiǎn)

高等數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)屬于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中冪級(jí)數(shù)的一種特例。泰勒級(jí)數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具，能夠使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，因此常應(yīng)用在理論研究和數(shù)值計(jì)算中。由于泰勒級(jí)數(shù)的知識(shí)難度較大，為了讓學(xué)生更好地掌握泰勒級(jí)數(shù)，有必要將泰勒級(jí)數(shù)知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)論述，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文將從泰勒級(jí)數(shù)的類型、展開(kāi)條件、展開(kāi)方法和應(yīng)用出發(fā)，通過(guò)探討合理地建立泰勒級(jí)數(shù)的教學(xué)體系，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果。1 泰勒級(jí)數(shù)的類型1.1 一元函數(shù)y=f(x)的泰勒級(jí)數(shù)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處存在直至n階的

教材中，對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的內(nèi)容涉及少，而大量級(jí)數(shù)的斂散需要確定.我們通過(guò)數(shù)列收斂方法來(lái)判定級(jí)數(shù)收斂.從新的角度去認(rèn)識(shí)收斂數(shù)列的漸進(jìn)性：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，可以認(rèn)為收斂數(shù)列{yn}相鄰兩項(xiàng)的差所構(gòu)成的數(shù)列{yn-yn-1}(n>2)，無(wú)限接近一個(gè)公差為0的等差數(shù)列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來(lái)判斷數(shù)列收斂的方法[3].這說(shuō)明了收斂數(shù)列各項(xiàng)變化的微小性.本文給出了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)判定理，討論了一些正弦級(jí)數(shù)的斂散性.2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定引理[1]設(shè){

=f（an）型的級(jí)數(shù)問(wèn)題的求解.判斷級(jí)數(shù)的斂散性的方法非常多樣，在考研競(jìng)賽題中，級(jí)數(shù)問(wèn)題往往是以綜合性較高、方法多樣的類型呈現(xiàn)，并且級(jí)數(shù)問(wèn)題同它的通項(xiàng)數(shù)列的性質(zhì)密切相關(guān).通過(guò)對(duì)通項(xiàng)為an+1=f（an）型的級(jí)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行研究，可以幫助我們解決一些用常規(guī)方法難以解決的級(jí)數(shù)問(wèn)題，加深我們對(duì)級(jí)數(shù)理論的深入理解.[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 遞推數(shù)列;級(jí)數(shù);斂散性;和函數(shù)[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ?[

判別法是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性一種非常方便和常用的方法，這種方法對(duì)某些級(jí)數(shù)斂散性的判別卻是無(wú)效的.主要通過(guò)舉例說(shuō)明達(dá)朗貝爾判別法失效的兩種情況，給出了判別這類級(jí)數(shù)斂散性的一些方法和思路.[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 正項(xiàng)級(jí)數(shù);達(dá)朗貝爾判別法;斂散性;失效[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）32-0056-02無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析

irichlet級(jí)數(shù)， 隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)研究的比較多. 并且田范基對(duì)二重B值Dirichlet級(jí)數(shù)， 二重B值隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)進(jìn)行了研究， 而對(duì)二重Dirichlet級(jí)數(shù)在半平面的研究目前還很少. 為研究二重Dirichlet級(jí)數(shù)在收斂的半平面的增長(zhǎng)性， 在本文中， 仿照余家榮教授的想法， 適當(dāng)定義二重Dirichlet級(jí)數(shù)在收斂半平面內(nèi)所確定函數(shù)的級(jí)， 研究了二重Dirichlet級(jí)數(shù)在收斂半平面內(nèi)的增長(zhǎng)性.

文理學(xué)院 無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是級(jí)數(shù)教學(xué)中的一個(gè)起點(diǎn)，也是重點(diǎn)和難點(diǎn)。在《高等數(shù)學(xué)》中，首先定義了無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散，接著才定義了收斂級(jí)數(shù)的和，這種和稱為柯西和。可以發(fā)現(xiàn)，此種定義框架下，發(fā)散級(jí)數(shù)是不能求和的。但是，當(dāng)我們改變和的定義方式時(shí)，某些發(fā)散級(jí)數(shù)也能求和，且與柯西和是相容的。意大利數(shù)學(xué)家切薩羅就提出了另一種定義方式方式，讓我們可以求出某些發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。一、柯西和利用上述定義，即求部分和數(shù)列的斂散性，我們可以得到級(jí)數(shù)的斂散性，并求出收斂級(jí)數(shù)的和

3000）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是表示函數(shù)的一種重要方法，它的一致收斂性是研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性等）的核心，熟知判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別法有魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法（M-判別法）、阿貝爾（Abel）判別法、狄利克雷（Dirichlet）判別法等，它們是判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的有效方法.針對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所具有的特別情況，如一般項(xiàng)的正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，文獻(xiàn)[1]按照正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法給出了正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

025)引言無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具[1]251.總體來(lái)說(shuō)，無(wú)窮級(jí)數(shù)包括兩部分內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的很多性質(zhì)和結(jié)論都是借助于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得到的，所以，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別尤其重要.在高等數(shù)學(xué)課程中判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多，如利用級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念、利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)、利用比值審斂法、利用萊布尼茨定理[1]265等等.每種方法也都有自己的使用條件和使用范圍,例如

14000)無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算最有力的工具，在實(shí)際問(wèn)題和理論研究中有著廣泛應(yīng)用。［1］無(wú)窮級(jí)數(shù)就是對(duì)數(shù)列u1，u2，…，un，…進(jìn)行無(wú)限求和的前n項(xiàng)部分和(Sn=u1+u2+…+un)數(shù)列收斂，S叫作這個(gè)級(jí)數(shù)的和。文獻(xiàn)［2－5］等大部分教材都把級(jí)數(shù)用定義求和當(dāng)作例子，因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和數(shù)列 Sn{ }可以用裂項(xiàng)相消法求出其表達(dá)式。然而，能用定義求其和的級(jí)數(shù)非常少，原因是不容易求出級(jí)數(shù)的前

）Fourier級(jí)數(shù)［1-2］在分析學(xué)中有著重要的地位，F(xiàn)ourier變換［3-5］在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用［6-7］.Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)的主要思想是用相互正交的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作為基函數(shù)去表示具有周期性的一般函數(shù).對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)中Fourier系數(shù)的表示形式，一般是在Riemann積分［8］和Lebesgue積分［1］兩種不同意義下給出的，由于積分意義的不同，會(huì)導(dǎo)致所得到Fou

，其中判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致斂散性是一重點(diǎn)及難點(diǎn)問(wèn)題，其中判別級(jí)數(shù)收斂的方法很多，如何能深入系統(tǒng)地把握各種方法間的關(guān)系，運(yùn)用判別法靈活、快捷地解決問(wèn)題是我們積極探索的問(wèn)題。一、判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法有柯西一致收斂原理，M判別法，阿貝爾及狄利克雷判別法等，他們的具體內(nèi)容如下：引理1[1]（Cauchy一致收斂原理）級(jí)數(shù)在D一致收斂的充要條件為：?ε＞0，?N，當(dāng) n＞N，?p∈N，?x∈D，有引理2[2]（M判別法）設(shè)級(jí)數(shù)un

芳在高等數(shù)學(xué)課程級(jí)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性定理很多，比如，柯西收斂準(zhǔn)則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達(dá)朗貝爾判別法等。應(yīng)用比較審斂法的極限形式時(shí)，遇到最大的困難是要找到一個(gè)可以與所求級(jí)數(shù)進(jìn)行比較的級(jí)數(shù)。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件我們知道，只要級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)在 時(shí)的極限不是0，即一般項(xiàng)不是 的無(wú)窮小，級(jí)數(shù)必發(fā)散，因此我們所需處理是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是 的無(wú)窮小的情形。對(duì)于此情形的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，該文利用同階無(wú)窮小給出了一種簡(jiǎn)

irichlet級(jí)數(shù)的值分布黃 婷， 陳 蕾， 鄭春雨(瓊臺(tái)師范學(xué)院 數(shù)理系, 海南 ?？?571123)根據(jù)全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的定義，通過(guò)把全平面上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)映射到單位圓上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)，應(yīng)用推廣的Nevanlinna第二基本定理，證明了全平面上(p，q)級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)在一定條件下幾乎必然以每條水平直線為無(wú)例外小函數(shù)的(p，q)級(jí)強(qiáng)Borel線，該結(jié)論豐富了Dirichlet級(jí)數(shù)的

025）關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的幾點(diǎn)說(shuō)明鄧小宇（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)，貴州貴陽(yáng)550025）由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷方法較多，學(xué)生掌握起來(lái)比較困難。因此，文章就正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的幾種方法作幾點(diǎn)簡(jiǎn)要的說(shuō)明，幫助學(xué)生解決在做題過(guò)程中存在的一些問(wèn)題。正項(xiàng)級(jí)數(shù)；比較判別法；比較判別法的極限形式；比值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法是高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。但是，由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷方法較多，判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，學(xué)生總是難以選擇合適的方法進(jìn)行判斷。因此，文章就

009）判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂性的一種方法劉春艷(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的重點(diǎn),為了更好判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,給出了正項(xiàng)級(jí)數(shù)一種新的審斂法。正項(xiàng)級(jí)數(shù);比值審斂法;根值審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判斷方法有很多種,文中在比較判別法的基礎(chǔ)上,將比值審斂法和根值審斂法進(jìn)行推廣得到一種新的判別方法。則:(1)當(dāng)r＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)r＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)r=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。則:(1)當(dāng)r＜1

)?結(jié)合律在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的巧用徐輝明(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004)討論結(jié)合律在無(wú)窮級(jí)數(shù)中的運(yùn)用，并對(duì)2015年浙江省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一道競(jìng)賽題進(jìn)行了分析和探討.級(jí)數(shù)； 收斂； 結(jié)合律1　引　　言眾所周知，有限個(gè)實(shí)(復(fù))數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，但在無(wú)窮級(jí)數(shù)中，交換律和結(jié)合律一般不成立，要在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中運(yùn)用交換律和結(jié)合律，需要滿足一定的條件. 在數(shù)學(xué)分析教材中，下面兩個(gè)定理是常見(jiàn)的.定理1[1]在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)

116023）級(jí)數(shù)斂散性的判定研究劉慶濤 （大連電子學(xué)校，遼寧 大連 116023）級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散是微積分學(xué)重要內(nèi)容之一，它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用性。然而對(duì)于級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散的判定是學(xué)習(xí)者們普遍感到困惑的，在具體教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行分析、研究和總結(jié)，給出了特殊情況下級(jí)數(shù)斂散性的判定方法，使學(xué)習(xí)者能夠得心應(yīng)手解決斂散性問(wèn)題。正項(xiàng)級(jí)數(shù)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；斂散性1　正項(xiàng)級(jí)數(shù)1.1比較判別法在運(yùn)用比較判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，常用的技巧是利

irichlet級(jí)數(shù)，證明了幾個(gè)關(guān)于它們級(jí)的定理.【關(guān)鍵詞】Dirichlet級(jí)數(shù)；級(jí)；KnoppKojima方法【參考文獻(xiàn)】[1]孫道椿.半平面上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1999，19（1）：107-112.[2]孫道椿，高宗升.半平面上Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2002，22（4）：557-563.[3]余家榮，丁曉慶，田范基.Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布[M].武漢：武

10048)用冪級(jí)數(shù)研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)◎聶 濤(南京科技職業(yè)學(xué)院，江蘇 南京 210048)冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單也是最重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算等方面都具有重要作用，同時(shí)它在研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)方面也有重要的貢獻(xiàn).本文通過(guò)舉例闡述了如何用冪級(jí)數(shù)判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性并進(jìn)一步求和.冪級(jí)數(shù)；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；和函數(shù)一、用冪級(jí)數(shù)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多.有的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以用定義法，即通過(guò)求解部分和數(shù)列{Sn}的極限

50011）交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂準(zhǔn)則的探討及應(yīng)用劉斌（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院基礎(chǔ)課部，寧夏 銀川750011）本文闡述了如何使用該定理證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性，并在萊布尼茲審斂法失效時(shí)，補(bǔ)充了判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法，同時(shí)給出了本方法的應(yīng)用.交錯(cuò)級(jí)數(shù)；萊布尼茲審斂法；收斂準(zhǔn)則0 引言當(dāng) un＞0（n=1，2，…），形如的級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).當(dāng)上述交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲條件時(shí)，稱此級(jí)數(shù)為萊布尼茲型級(jí)數(shù).關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的判別，一般微積分教材僅有萊布尼茲判別法，其內(nèi)容如下：若交

）幾種常用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的比較石會(huì)萍（滄州師范學(xué)院 物電系，河北滄州 061001）無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性更是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的核心內(nèi)容。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧。本文歸納總結(jié)了幾種常用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法，比較了這些方法的不同點(diǎn)，總結(jié)了幾種方法各自的特點(diǎn)與適用范圍，便于學(xué)習(xí)者節(jié)約時(shí)間，提高效率。正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂 發(fā)散無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、

0）一類擴(kuò)展交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判別法鐘艷林 （閩南理工學(xué)院，福建 泉州 362700）無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，通過(guò)對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的擴(kuò)展得到一類新的級(jí)數(shù)，對(duì)新級(jí)數(shù)加括號(hào)后并將每個(gè)括號(hào)看作一個(gè)整體就得到一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，通過(guò)證明得出判斷新級(jí)數(shù)的判別方法。級(jí)數(shù)；收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；判別法無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要的數(shù)學(xué)工具，在電學(xué)、力學(xué)及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等方面有著廣泛的應(yīng)用。無(wú)窮級(jí)數(shù)由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩部分

引 言對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則，一般高等數(shù)學(xué)教材[1]上僅介紹萊布尼茨判別法. 對(duì)于很多交錯(cuò)級(jí)數(shù)，應(yīng)用萊布尼茨定理判別散斂性計(jì)算繁瑣. 近幾年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則進(jìn)行了深入研究. 2006年，楊萬(wàn)必[2]提出關(guān)于判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的兩個(gè)結(jié)論. 2010年，劉志高[3]研究了交錯(cuò)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)判別法. 此外，文獻(xiàn)[4-7]也提出一些新的交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法及應(yīng)用實(shí)例. 這些研究工作對(duì)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性提供了新的依據(jù). 本文進(jìn)一步研究交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性判別法，

t判別法進(jìn)行正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別，方法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算也容易，但對(duì)于如下的正項(xiàng)級(jí)數(shù)用D′Alembert判別法是不可行的.若采用應(yīng)用范圍更廣的拉貝判別法，雖然有效，但是計(jì)算過(guò)程比較繁瑣.本文中針對(duì)這類正項(xiàng)級(jí)數(shù)，引入兩個(gè)簡(jiǎn)便而有效的判別方法.定理1的證明 1）取n＝2k（k＝1，2，3…），則當(dāng)l＜1時(shí)由D′Alembert比值判別知收斂，即收斂.由un＞0可知：數(shù)列｝均為單調(diào)遞增數(shù)列，考慮到數(shù)列｛un｝的單調(diào)遞減性，有2）當(dāng)l＞1時(shí)根據(jù)D′Alembert判

(1)(2)根據(jù)級(jí)數(shù)的意義，上述(1)、(2)兩式的右端顯然是兩個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)：(4)收斂級(jí)數(shù)的定義為[1]：對(duì)于級(jí)數(shù)u1+u2+u3+…+un+…(*),其部分和數(shù)列為sn=u1+u2+u3+…+un,若級(jí)數(shù)(*)的部分和數(shù)列{sn}收斂.設(shè)則稱級(jí)數(shù)(*)收斂，s是級(jí)數(shù)(*)的和，表為根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義，級(jí)數(shù)(3)和(4)都是收斂的.這是因?yàn)閷?duì)于級(jí)數(shù)(3)、(4)其n項(xiàng)部分和數(shù)列{sn1}和{sn2}分別是注意到收斂級(jí)數(shù)有這樣一個(gè)性質(zhì)：(u3±v3)+

慶400067)級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位.這是因?yàn)椋环矫婺芙柚?span id="pxpjhpl" class="hl">級(jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，例如微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示;另一方面又可將函數(shù)表示為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等［1］.用解析的形式來(lái)逼近函數(shù)，一般就是利用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，逼近比較復(fù)雜的函數(shù)，最為簡(jiǎn)單的逼近途徑就是通過(guò)加法運(yùn)算來(lái)決定逼近的程度，或者說(shuō)控制逼近的過(guò)程，這就是無(wú)窮級(jí)數(shù)的思想出發(fā)點(diǎn).一般地，

6 0 0）一、級(jí)數(shù)的相關(guān)概念級(jí)數(shù)包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù)。研究級(jí)數(shù)時(shí),我們要把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)級(jí)數(shù)全面考慮在內(nèi),這樣才能整體性地掌握級(jí)數(shù)。（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義一般人們對(duì)事物數(shù)量特征方面的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)過(guò)一段由近似到精確的過(guò)程。在這個(gè)認(rèn)識(shí)事物數(shù)量特征的過(guò)程中，會(huì)遇到由有限個(gè)實(shí)數(shù)相加發(fā)展到無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加的問(wèn)題。如：有一根繩子,每天取一半,那么可得上式是一個(gè)無(wú)窮等比級(jí)數(shù)的和,且可以直觀地得出其和是整數(shù)。定義1：給定一個(gè)數(shù)列｛U n｝,對(duì)它的各項(xiàng)依次

)0 引言函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種非常重要的工具．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)特別是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的首要問(wèn)題，就是斂散性的判斷問(wèn)題.我們知道常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別問(wèn)題是微積分中一個(gè)比較重要的問(wèn)題[1].按照常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定義，把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)列的斂散性問(wèn)題，從而柯西判別準(zhǔn)則給出了判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件, 一般來(lái)說(shuō)它適應(yīng)于一切常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷.但是，要檢測(cè)一個(gè)具體的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否滿足柯西判別準(zhǔn)則的條件本身就不比檢測(cè)這個(gè)

3319）區(qū)間數(shù)級(jí)數(shù)的理論研究高德寶（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）文章在已知實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂及區(qū)間數(shù)列收斂概念的基礎(chǔ)上，具體闡述了區(qū)間數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義及其性質(zhì).然后，給出了幾個(gè)關(guān)于正區(qū)間數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判斷定理與推論.最后，關(guān)于一般項(xiàng)區(qū)間數(shù)級(jí)數(shù)斂散性的判別作了討論.區(qū)間數(shù)；級(jí)數(shù)；收斂；發(fā)散1 引 言區(qū)間分析或稱區(qū)間數(shù)學(xué)是最近四十年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支.目前，區(qū)間分析的主要研究對(duì)象是區(qū)間數(shù)的應(yīng)用，而關(guān)于區(qū)間數(shù)以及區(qū)間數(shù)集的研究卻很少.文獻(xiàn)

61001)等差級(jí)數(shù)與等比級(jí)數(shù)乘積項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂與求和淺析石會(huì)萍(滄州師范學(xué)院物理系,河北滄州 061001)在級(jí)數(shù)理論中,一般來(lái)說(shuō),判斷級(jí)數(shù)的斂散性是比較困難的,有時(shí)盡管能判斷其收斂,但要求其和卻是十分困難的。文中根據(jù)等差級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)的特點(diǎn),給出了一類基于等差級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)乘積項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的判斂與求和方法。級(jí)數(shù);收斂;發(fā)散;求和無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分,在數(shù)學(xué)物理方法、群論及理論物理多個(gè)分支都有應(yīng)用[1]。而最常見(jiàn)的就是級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題。關(guān)于判斷無(wú)

253023）級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性問(wèn)題董立華（德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023）闡述了賦范線性空間中無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂、絕對(duì)收斂、無(wú)條件收斂等概念之間的關(guān)系，并例證說(shuō)明級(jí)數(shù)的收斂與絕對(duì)收斂、絕對(duì)收斂與無(wú)條件收斂之間不等價(jià)，但確實(shí)存在著無(wú)窮維的Fréchet空間中級(jí)數(shù)的無(wú)條件收斂與絕對(duì)收斂等價(jià)。收斂；無(wú)條件收斂；絕對(duì)收斂1 引言為敘述方便起見(jiàn)，首先給出幾個(gè)定義。定義2[2]設(shè)X是賦范線性空間，若則稱級(jí)數(shù)收斂于x。定義3 賦范線性空間X中的級(jí)數(shù)為無(wú)條件收斂

irichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)在半平面內(nèi)的增長(zhǎng)性岳 超,孫道椿*(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)采用Knopp-Kojima的方法,研究了Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)在右半平面內(nèi)的增長(zhǎng)性,得到了級(jí)由系數(shù)表示的充分必要條件.并且得到了隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)在右半平面內(nèi)的級(jí)與任意水平半帶形內(nèi)的級(jí)在一定條件下幾乎必然相等的結(jié)論.Knopp-Kojima方法; 隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù); 級(jí); 水平

irichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性曹月波,倪科社(石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003)利用型函數(shù)及Newton多邊形討論了平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和系數(shù)間的關(guān)系。通過(guò)引理得出:當(dāng)時(shí),Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和系數(shù)間的重要關(guān)系,以及對(duì)于隨機(jī)變量序列滿足條件:存在α＞0,使得snu≥p0E(|Xn|α) ＜ ∞;存在β＞ 0,使得的隨機(jī) Dirichlet級(jí)數(shù) f(s,ω)和

言高等數(shù)學(xué)中交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別有萊布尼茲判別法，即：對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)比較和比值判別法討論我們知道，正項(xiàng)級(jí)數(shù)有比較判別法[6]，那么，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有沒(méi)有和正項(xiàng)級(jí)數(shù)類似的比較判別法呢？下面進(jìn)行一些討論.對(duì)于“問(wèn)題1.1”，用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可以得到下面的結(jié)論：例1.3取交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2)和(3)例1.4交錯(cuò)級(jí)數(shù)(4)和(5)從上面兩個(gè)問(wèn)題的討論中可以看到，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有它的特殊性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法不能類比到交錯(cuò)級(jí)數(shù)上來(lái).對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1

0)0 引言q-級(jí)數(shù),也稱為基本的超幾何學(xué)級(jí)數(shù),它在許多領(lǐng)域有著非常重要的作用,比如:數(shù)論,群論,根系,李代數(shù)及物理學(xué)中的量子群表示等.由于其重要性,到目前為止建立了許多的q-級(jí)數(shù)恒等式[1-3].但是有些q-級(jí)數(shù)其和不易求得,故運(yùn)用其他方法來(lái)研究q-級(jí)數(shù)是有意義的.在文[4]中,Wang使用不等式技巧研究了一個(gè)q-級(jí)數(shù),獲得了關(guān)于q-級(jí)數(shù)的一個(gè)新的不等式,即成立,其中當(dāng)a=q時(shí),上述不等式成立(關(guān)于[gi(x,a);q]∞(i=1,2)定義見(jiàn)下節(jié)).本文

00）萊布尼茲型級(jí)數(shù)的推廣張洪光（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）定義了k項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)和廣義萊布尼茲型級(jí)數(shù)，推廣了萊布尼茲定理，證明了級(jí)數(shù)的收斂性，給出了一類特定形式的一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定定理.k項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)；萊布尼茲型級(jí)數(shù)；收斂1 引言級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容之一，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別是最基本的教學(xué)內(nèi)容，萊布尼茲給出了交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂性的判別方法，但對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別無(wú)能為力.本文推廣了萊布尼茲定理，得到了特定形式的一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定定理

言及預(yù)備知識(shí)無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性以及求和是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而有趣的研究課題，長(zhǎng)期以來(lái)備受人們的關(guān)注。 很多學(xué)者做了大量工作，對(duì)某些具有特殊通項(xiàng)表達(dá)式的無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性或求和總結(jié)出一些規(guī)律性的解法(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]-[4])。 本文從無(wú)窮級(jí)數(shù)部分和的子序列的角度，把級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的計(jì)算問(wèn)題，給出了一種判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法，并且給出了這種方法在無(wú)窮級(jí)數(shù)求和以及判斷級(jí)數(shù)斂散性中的某些應(yīng)用。數(shù)列{Sn}的斂散性可由其子列來(lái)研究，并且有一個(gè)重要的結(jié)論。引理1[