胡 利 軍

(包頭師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院 內(nèi)蒙古 包頭 014030)

由于循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以互化，因此在加法運算中會產(chǎn)生下面的問題：

對嗎？

而且還可以有

等.

根據(jù)小數(shù)的數(shù)位表，把循環(huán)小數(shù)表示成不同計數(shù)單位上數(shù)的和的形式，有下列兩式：

(1)

(2)

根據(jù)級數(shù)的意義，上述(1)、(2)兩式的右端顯然是兩個收斂的正項級數(shù)：

(4)

收斂級數(shù)的定義為[1]：對于級數(shù)

u1+u2+u3+…+un+…(*),

其部分和數(shù)列為

sn=u1+u2+u3+…+un,

若級數(shù)(*)的部分和數(shù)列{sn}收斂.設(shè)

則稱級數(shù)(*)收斂，s是級數(shù)(*)的和，表為

根據(jù)級數(shù)收斂的定義，級數(shù)(3)和(4)都是收斂的.這是因為

對于級數(shù)(3)、(4)其n項部分和數(shù)列{sn1}和{sn2}分別是

注意到收斂級數(shù)有這樣一個性質(zhì)：

(u3±v3)+…+(un±vn)+…

也收斂，其和是A±B.

根據(jù)這個性質(zhì)，級數(shù)(4)、(5)的和也是收斂的，設(shè)其和為s,則

這樣，在收斂級數(shù)的意義下，

而且級數(shù)(4)、(5)的n項部分和數(shù)列{sn1}和{sn2}均收斂，設(shè)分別s1、s2即

一般地，每一個循環(huán)小數(shù)都可以利用一個特殊的冪級數(shù)

∑anxn=a0+a1x1+a2x2+…+anxn+…，

其中，令

這個冪級數(shù)的和為:

由此式，就可以把任何一個循環(huán)小數(shù)拆成循環(huán)部分加上不循環(huán)部分[3].在收斂級數(shù)的意義下，類似于上述運算的一些實際問題也是容易給出合理的解釋。

解：設(shè)這兩條曲線共長L.其中第一條和第二條曲線的長分別是L1、L2，L=L1+L2.

由于

所以

顯然，此答案的獲得，正是利用了收斂級數(shù)的性質(zhì).

當(dāng)然，利用循環(huán)小數(shù)，兩條曲線的長可以表示為：

關(guān)于這個問題，可以簡單地解釋為：碰到循環(huán)節(jié)首位數(shù)相加需要進(jìn)位時，循環(huán)節(jié)的末位也要進(jìn)位.這個進(jìn)位數(shù)可以看做是后一個循環(huán)節(jié)向前一循環(huán)節(jié)進(jìn)位得到的[2].如果追問：為什么要這樣進(jìn)位？回答這個問題，如果能用級數(shù)收斂來解釋，就很有說服力了。這個說理在上面的求曲線長的問題中，已經(jīng)用級數(shù)收斂的意義給出了答案.

〔參考文獻(xiàn)〕

[1]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(五年級下冊)[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]葉小峰. 循環(huán)小數(shù)怎樣相加減[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)(教學(xué)版), 2007,11(11):24-25.

[3]劉玉璉，等. 數(shù)學(xué)分析講義(第五版)[M].北京： 高等教育出版社，2008，5, 4.

[4]陳占靖. 利用冪級數(shù)計算某類循環(huán)小數(shù)[J]. 教學(xué)交流,2011,9.

[5]郜舒竹. 為教師的微積分[M].北京：高等教育出版社，2012,7.