薛利敏,田亞麗
(1.渭南師范學院數(shù)理學院,陜西 渭南714099;2.渭南高新中學,陜西渭南714000)
無窮級數(shù)是微積分學的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算最有力的工具,在實際問題和理論研究中有著廣泛應用。[1]無窮級數(shù)就是對數(shù)列u1,u2,…,un,…進行無限求和的前n項部分和(Sn=u1+u2+…+un)數(shù)列收斂,S叫作這個級數(shù)的和。文獻[2-5]等大部分教材都把級數(shù)用定義求和當作例子,因為這個級數(shù)的前n項部分和數(shù)列 Sn{ }可以用裂項相消法求出其表達式。然而,能用定義求其和的級數(shù)非常少,原因是不容易求出級數(shù)的前n項部分和數(shù)的具體表達式。本文采用裂項相消法求一些級數(shù)的和,首先給出部分一般性的級數(shù)求和公式,然后,利用這些公式求出更多級數(shù)的和。在證明這些級數(shù)求和公式時,要用到一個簡單的結(jié)論:設等差數(shù)列
定理1設等差數(shù)列 { an}的公差d≠0,則級數(shù)
根據(jù)定理1,我們?nèi)菀椎玫较旅婕墧?shù)的求和公式。
在定理2中,特別地,當?shù)炔顢?shù)列 an{ }= n{}時,則有下面級數(shù)的求和公式。
在推論1中,分別取k=1、k=2和k=3,我們?nèi)菀椎玫较旅婕墧?shù)的求和公式。
設數(shù)列 { an}為等差數(shù)列,數(shù)列 { bn}為等比數(shù)列,不妨稱級數(shù)為差比型級數(shù),對于差比型級數(shù)可以通過裂項相消法求出其前n項部分和數(shù)列 { Sn}通項的具體表達式,進而求出差比型級數(shù)的和。
根據(jù)上面的討論,我們通過裂項法得到了4個定理和5個推論,進一步得出了2個重要結(jié)論:(1)形如(其中:.P1(n)是n的1次多項式的級數(shù)能求和;(2)形如Pm(n)是n的m次多項式)的級數(shù)能求和。根據(jù)這些公式和結(jié)論以及裂項法,我們還可以求出其他級數(shù)的和。