薛利敏，田亞麗

(1.渭南師范學院數(shù)理學院，陜西 渭南714099;2.渭南高新中學，陜西渭南714000)

無窮級數(shù)是微積分學的一個重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算最有力的工具，在實際問題和理論研究中有著廣泛應用。［1］無窮級數(shù)就是對數(shù)列u1，u2，…，un，…進行無限求和的前n項部分和(Sn=u1+u2+…+un)數(shù)列收斂，S叫作這個級數(shù)的和。文獻［2－5］等大部分教材都把級數(shù)用定義求和當作例子，因為這個級數(shù)的前n項部分和數(shù)列 Sn{ }可以用裂項相消法求出其表達式。然而，能用定義求其和的級數(shù)非常少，原因是不容易求出級數(shù)的前n項部分和數(shù)的具體表達式。本文采用裂項相消法求一些級數(shù)的和，首先給出部分一般性的級數(shù)求和公式，然后，利用這些公式求出更多級數(shù)的和。在證明這些級數(shù)求和公式時，要用到一個簡單的結(jié)論:設等差數(shù)列

1 主要結(jié)果

1.1 裂項相消法求級數(shù)的和

定理1設等差數(shù)列 { an}的公差d≠0，則級數(shù)

根據(jù)定理1，我們?nèi)菀椎玫较旅婕墧?shù)的求和公式。

在定理2中，特別地，當?shù)炔顢?shù)列 an{ }= n{}時，則有下面級數(shù)的求和公式。

在推論1中，分別取k=1、k=2和k=3，我們?nèi)菀椎玫较旅婕墧?shù)的求和公式。

設數(shù)列 { an}為等差數(shù)列，數(shù)列 { bn}為等比數(shù)列，不妨稱級數(shù)為差比型級數(shù)，對于差比型級數(shù)可以通過裂項相消法求出其前n項部分和數(shù)列 { Sn}通項的具體表達式，進而求出差比型級數(shù)的和。

1.2 裂項公式法求級數(shù)的和

2 應用舉例

3 結(jié)語

根據(jù)上面的討論，我們通過裂項法得到了4個定理和5個推論，進一步得出了2個重要結(jié)論:(1)形如(其中:.P1(n)是n的1次多項式的級數(shù)能求和;(2)形如Pm(n)是n的m次多項式)的級數(shù)能求和。根據(jù)這些公式和結(jié)論以及裂項法，我們還可以求出其他級數(shù)的和。