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        正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Gauss 指標(biāo)判別法

        2019-08-08 10:20:00鐘粵敏

        王 瑜, 鐘粵敏

        (閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州363000)

        函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是表示函數(shù)的一種重要方法,它的一致收斂性是研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性、可積性等)的核心,熟知判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別法有魏爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法(M-判別法)、阿貝爾(Abel)判別法、狄利克雷(Dirichlet)判別法等,它們是判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的有效方法.針對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所具有的特別情況,如一般項(xiàng)的正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),文獻(xiàn)[1]按照正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法給出了正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比值型判別法、 根式型判別法和Raabe 型判別法等.文獻(xiàn)[2]給正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性Gauss 指標(biāo)判別法,它是比值判別型法、根式型判別法和Raabe 型判別法的推廣,本文把它應(yīng)用于正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別,給出了正項(xiàng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Gauss 型判別法,它是已有的比值型判別法和Raabe 型判別法等一般化.

        1 相關(guān)概念

        函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂的定義,可參見文獻(xiàn)[1].這里我們僅給出與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的相關(guān)概念.為了敘述方便,已有的結(jié)論用引理給出.

        函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的充要條件(柯西準(zhǔn)則).

        引理1[1]設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在數(shù)集E 上一致收斂的充要條件是

        引理1 有如下等價(jià)的敘述

        函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的充分條件(優(yōu)級(jí)數(shù)判別法).

        引理2[1]設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x),若且正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑Mn收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在數(shù)集E 上一致收斂.

        正項(xiàng)級(jí)數(shù)的Gauss 判別法與Gauss 指標(biāo)判別法.

        引理3[2]如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an滿足條件:,其中與 μ 是常數(shù),而 θn是有界量,即,使得 θnL,則當(dāng)>1 或=1, μ >1 時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an收斂;當(dāng)<1 或=1, μ1時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an發(fā)散.

        引理4[3]設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an,為正數(shù)列{an}的 Gauss 指標(biāo).則當(dāng) G >1 或G=+∞ 時(shí),∑an收斂;當(dāng) G <1 或 G=-∞ 時(shí),∑an發(fā)散.

        2 主要結(jié)果及其證明

        我們把正項(xiàng)級(jí)數(shù)的Gauss 指標(biāo)判別法,應(yīng)用于判別正項(xiàng)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性,給出如下的定理.

        定理 1 設(shè)∑an是在數(shù)集 E 上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(an(x)>0,x∈E,n∈N+),

        推論 1 設(shè)∑an(x)是在數(shù)集 E 上的任意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(an(x)≠0,x∈E),如果

        且 an(x)在 E 上是一致有界,則∑ an(x) 在 E 上一致收斂.

        根據(jù)定理1,我們可以得到[4]中正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的比值型判別法.

        推論 2[4]設(shè)∑un(x)是在數(shù)集D 上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),令,如果=q<1,并且 un(x)在 D 上是一致有界的,那么∑un(x)在 D 上是一致收斂的.

        因而

        根據(jù)定理1,∑un(x)在 D 上是一致收斂的.

        于是

        所以

        于是根據(jù)定理1,∑un(x)在D 上是一致收斂的.

        我們給出[5]中的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Raabe 判別法.

        推論 3[5]設(shè)∑un(x)為定義在區(qū)間 I 上的正函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(an(x)≠0,x∈I),且{an(x)}在 I 上是一致有界的,存在正整數(shù)N0及常數(shù)r.

        由于 r >1,有

        根據(jù)定理1,∑un(x)在區(qū)間I 上是一致收斂的.

        3 應(yīng)用舉例

        例1 設(shè) f(x)為[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

        在[a,b]上是一致收斂.

        解令

        則有

        因?yàn)?f(x)為[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),函數(shù) f(x)在[a,b]上有最小值,記其為 m 且 m>0.所以

        于是

        根據(jù)定理1,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

        在[a,b]上是一致收斂.

        說明 文獻(xiàn)[4]中判別法(本文推論2)不能判定該正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在[a,b]上的一致收斂性.事實(shí)上,對(duì)于n∈N+及x∈[a,b],有

        于是

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