王曉紅

（榆次第一職業(yè)中專學(xué)校，山西 晉中 0 3 0 6 0 0）

一、級(jí)數(shù)的相關(guān)概念

級(jí)數(shù)包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù)。研究級(jí)數(shù)時(shí),我們要把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)級(jí)數(shù)全面考慮在內(nèi),這樣才能整體性地掌握級(jí)數(shù)。

（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義

一般人們對(duì)事物數(shù)量特征方面的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)過(guò)一段由近似到精確的過(guò)程。在這個(gè)認(rèn)識(shí)事物數(shù)量特征的過(guò)程中，會(huì)遇到由有限個(gè)實(shí)數(shù)相加發(fā)展到無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加的問(wèn)題。如：有一根繩子,每天取一半,那么可得

上式是一個(gè)無(wú)窮等比級(jí)數(shù)的和,且可以直觀地得出其和是整數(shù)。

定義1：給定一個(gè)數(shù)列｛U n｝,對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）,其中U n稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的通項(xiàng)。

，稱

它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的第n個(gè)部分和，也簡(jiǎn)稱部分和。

2.常見(jiàn)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

是P—級(jí)數(shù)。

3.定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

無(wú)窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般形式我們定義為Sn=U1+U2+

那么,無(wú)窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相加的“和數(shù)”有什么實(shí)質(zhì)性的意義呢？由級(jí)數(shù)的定義（1）我們能夠得一個(gè)數(shù)列｛Sn｝,這里的｛Sn｝,表示為則顯然可得。下面給出常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的定義：

定義2若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列｛Sn｝收斂于S（即）

,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）收斂,稱 S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的和，記作或。

若｛Sn｝是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。

這里我們應(yīng)該注意的是：討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題時(shí),實(shí)質(zhì)上是研究部分和數(shù)列的收斂問(wèn)題。

（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義

作為分析學(xué)分支之一的級(jí)數(shù)理論,與微積分學(xué)兩者常常結(jié)合起來(lái),出現(xiàn)在其他的分支中,兩者都是將連續(xù)與離散結(jié)合起來(lái)以極限為基礎(chǔ)來(lái)研究分析學(xué)的對(duì)象,即主要研究函數(shù)—變量之間的相互關(guān)系。級(jí)數(shù)作為研究函數(shù)的重要工具,無(wú)論是在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面都有著重要的地位。

函數(shù)列是指定義在同一數(shù)集上的函數(shù)：f1，f2，f3，…，fn…，一般記為｛fn｝或 fn,n=1，2，3…下面給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義。

定義3：設(shè)｛un（x）｝是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為。

稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（9）的部分和函數(shù)列。

2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

一個(gè)函數(shù)列｛fn｝若它在點(diǎn)X0收斂，怎么要求數(shù)列：f1（X）0，f（2X）0，f（3X）0，…f（nX）0，（X0E）收斂？若函數(shù)列收斂于數(shù)集 D,則有函數(shù)列 f1，f2，f3，…fn，…在數(shù)集 DE上的每一個(gè)點(diǎn)都收斂。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是由函數(shù)列的和組成的,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性見(jiàn)下：。

（3）P— 級(jí)數(shù)。

定義4：設(shè)｛Sn（x）｝是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Σun（x）的部分和函數(shù)列。若｛Sn（x）｝在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)Sn（x），則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Σun（x）在D上一致收斂于函數(shù)S（x）,或稱Σun（x）在D上一致收斂。

二、級(jí)數(shù)斂散性的一些基本性質(zhì)

級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題常常被看作是研究級(jí)數(shù)的首要問(wèn)題。要研究級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題,下面先給出級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)：

，此處的α，β是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)。

性質(zhì)2：在級(jí)數(shù)中任意添加、刪除、改變有限個(gè)項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性。（可能影響級(jí)數(shù)的和）

性質(zhì)3：對(duì)收斂的級(jí)數(shù),可以任意添加括號(hào)而不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性與和。（可用于判定級(jí)數(shù)發(fā)散）

三、介紹級(jí)數(shù)斂散性的判別方法

級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)可以幫助我們判斷級(jí)數(shù)的斂散性，但是在實(shí)際問(wèn)題中，僅僅利用級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判斷級(jí)數(shù)的斂散性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，往往有一定的困難性。因此,除了運(yùn)用級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判斷級(jí)數(shù)的斂散性外,還有一些重要的級(jí)數(shù)斂散性判別法能夠簡(jiǎn)潔方便地判斷一類級(jí)數(shù)的斂散性。論文將著重介紹這些判別方法,如柯西判別法、阿貝耳判別法、狄利克雷判別法、達(dá)朗貝爾判別法。

（一）Cauchy判別法

無(wú)論是正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別斂散性,還是函數(shù)級(jí)數(shù)判別斂散性都用到了柯西判別法。可見(jiàn),柯西判別法在級(jí)數(shù)斂散性的判別中有著重要的作用。

1.柯西判別法在正項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

在正項(xiàng)級(jí)數(shù)中的柯西判別法也稱作是根式判別法。一般的根式判別法指的是：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)為Σan,an的n次根存在，且an的n次根的極限等于正常數(shù)q，即存在

。則有：

（2）如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則從某一項(xiàng)起q＞1。

（3）如果級(jí)數(shù)的斂散性不定，則q=1。

,可得an≤qn,當(dāng)0＜q＜1時(shí),等比

級(jí)數(shù)Σqn收斂，根據(jù)比較原則，級(jí)數(shù)在0＜q＜1

時(shí)也收斂。

時(shí)發(fā)散。

的斂

散性。

證：因

則

即

所以

2.柯西判別法在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

柯西判別法在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中應(yīng)用廣泛,是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斷斂散性的一種基本方法。

收斂→←對(duì)任給的ε＞0，存在 N,使得當(dāng) n＞N時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) p成立。

,可得 bn=n,則級(jí)數(shù)

發(fā)散。又因?yàn)椤?/p>

在 p，使，根據(jù)Cauchy

（二）Adel判別法

1.阿貝耳判別法在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

Adel(阿貝耳)判別法：設(shè)

（1）｛an｝是單調(diào)有界數(shù)列；

，且an

綜上可得：｛an｝是單調(diào)有界數(shù)列，級(jí)數(shù)是收斂的，根據(jù)阿貝耳判別法得級(jí)數(shù)是收斂的。

2.判別法在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

（x∈I）若有：

（1）｛an｝在 I上一致有界,且對(duì)每個(gè)固定的 x∈I,｛an｝是非負(fù)遞減數(shù)列。

在I一致收斂.則級(jí)數(shù)在I上收斂。

則可得a的取值范圍為

n

2時(shí),an取最小值,當(dāng)h=2時(shí)，an取最大值。

由上可得,an有界收斂,由阿貝

（三）Dirichlet判別法

狄利克雷判別法主要用于判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂等等。通常狄利克雷判別法與阿貝耳判別法合在一起稱之為A-D判別法。

1.狄利克雷判別法在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

Dirichle（t狄利克雷）判別法：若數(shù)列bn單調(diào)且n→∞時(shí)bn→0，而級(jí)數(shù)

Σanbn的部分和數(shù)列sn有界,則級(jí)數(shù)收斂。

在區(qū)間[m,n]上的斂散性。

。

界的。

在區(qū)間[m,n]

上是一致收斂的。

2.狄利克雷判別法在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

Dirichle（t狄利克雷）判別法：設(shè)：

（1）部分和A（nx）在M上一致有界。

（2）當(dāng)n→∞時(shí),在M上b（nx）0。

（3）對(duì)于任何固定的 x∈M，數(shù)列｛bn（x）｝都是單調(diào)的。那么，級(jí)數(shù)在M上一致收斂。

根據(jù)狄利克雷判別法，b=1單調(diào)趨于0，有界,那么nn級(jí)數(shù)收斂。

在解題過(guò)程中，能用阿貝耳判別法的也一定能用狄利克雷判別法,但是,能用狄利克雷判別法不一定能用阿貝耳判別法，這是因?yàn)榘⒇惗袆e法的判別條件要比狄利克雷判別法的判別條件嚴(yán)謹(jǐn)一些。

（四）D’Alembert判別法

在級(jí)數(shù)斂散性的判別中，通常達(dá)朗貝爾判別法也稱之為比式判別法。

不為0,且滿足lim

。

在應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法選幾何級(jí)數(shù)做標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)候，

1,但級(jí)數(shù)是發(fā)散

是收斂的。由達(dá)朗貝爾判別法知判斷級(jí)

四、典型的例子

單調(diào)趨于0。

收斂。

由上可得，在判別一些級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題時(shí),有時(shí)可以應(yīng)用多種判別法進(jìn)行證明,但是并不是所有的判別法一定都適用,所以我們應(yīng)該選擇合適的判別法來(lái)判別級(jí)數(shù)的斂散性。

判斷級(jí)數(shù)的斂散性的方法很多,但在做題過(guò)程中只有選用合適的判定方法進(jìn)行判斷,才能巧妙、快速地解答，在提高解題效率的同時(shí),還可以保證正確率,以能夠達(dá)到事半功倍的效果。

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