等號成立,這就是柯西不等式的一般形式.在解題中,關(guān)于柯西不等式的運用并非“直截了當”,往往需要運用一些方法與技巧,下面一起來看個究竟.1 巧拆常數(shù)柯西不等式的右側(cè)是兩個因式的乘積形式,于是我們可以將所求等式乘1,然后將1根據(jù)實際拆分成幾個分數(shù)的和.例1已知實數(shù)a,b,c,d滿足a＋b＋c＋d＝3,a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5,試求a的最值.點評巧拆常數(shù)必須從實際出發(fā),本題借助柯西不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式,在這個過程中,柯西不等式發(fā)揮了化等式為不

時，只要能配湊出柯西不等式中兩組數(shù)的乘積或兩組數(shù)的平方和，且其中之一為定值，便可運用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.例1.已知x+y=1，求x+y的最小值.分析：x+y是關(guān)于x、y的二次齊次式，也是x、y的平方和，而已知條件中x+y是關(guān)于x、y的一次齊次式，可以將其看成1·x+1·y這里x+y相當于二維柯西不等式中的c+d，x+y相當于公式中的ac+bd.而a=1，b=1，a+b=2，由柯西不等式可得x+y≥k（k是常數(shù)）成立，從而求得x+

于欣琪 韓腸柯西不等式是一個非常重要的不等式，它在證明命題、求函數(shù)最值等方面有著廣泛的應(yīng)用.尤其在求解最值問題時，巧妙地運用柯西不等式及其變形式，能夠快速、準確地獲得問題的答案.本文重點談一談柯西不等式在求函數(shù)最值問題中的應(yīng)用.設(shè) a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn? 是實數(shù)，則（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，當且僅當 bi=0（i =1，2， …，n）

秦安縣第二中學(xué))柯西不等式可以很好地考查學(xué)生的運算求解能力和邏輯思維能力,因而成為高中數(shù)學(xué)各類考試中的熱門考點.n維柯西不等式的一般形式:對任意的實數(shù)a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn,有1 利用柯西不等式求最值例1 已知函數(shù)f(x)＝|2x－m|,若f(x)≤1的解集為[1,2],且a＋3b＝m(a＞0,b＞0),求a2＋9b2的最小值.例3 已知函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥7的解集;(2)記函數(shù)f(x)的最小值

ta積分的方式對柯西中值定理進行探討，并確立了定理的漸進性。陳雪等[3]提出利用函數(shù)的柯西積分性質(zhì)來分析柯西積分公式。基于此，可以看出通過復(fù)積分的方式研究解析函數(shù)，在復(fù)積分的研究過程中，延伸出了很多重要的知識。利用柯西型K-積分的相關(guān)性質(zhì)進行研究，可以得到復(fù)變函數(shù)積分的相關(guān)性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)K-積分中的應(yīng)用。1 柯西型K-積分的連續(xù)性與解析性1.1 柯西型K積分的相關(guān)定義1.2 相關(guān)引理2 柯西型K-積分的連續(xù)性、解析性及證明2.1 定理1證明2.2 定理2證

莫元健 龍承星柯西不等式作為高中數(shù)學(xué)新課程中的新增內(nèi)容,其形式簡潔,應(yīng)用廣泛,極具解題魅力.近年來,無論是高考試卷還是數(shù)學(xué)不同學(xué)科的題目中都越來越多地出現(xiàn)了與柯西不等式相關(guān)的題目.用高等數(shù)學(xué)中柯西不等式的思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中,對解決中學(xué)數(shù)學(xué)中某些不等式的證明或靈活并巧妙地在不同數(shù)學(xué)學(xué)科中應(yīng)用柯西不等式,將得到出奇制勝、事半功倍的效果.1 柯西不等式1.1 柯西不等式的定義在中學(xué)中我們熟知柯西不等式的左邊是平方和的乘積,右邊是乘積和的平方.但在高等數(shù)學(xué)中,

查日趨多樣化，而柯西不等式就是其中的一種常見的考查要點，但對于多數(shù)同學(xué)來說，如何正確地運用柯西不等式，如何將不等式構(gòu)造或轉(zhuǎn)化成柯西不等式的形式尤為困難.構(gòu)造法是一種很常用的方法，本文擬通過對教學(xué)工作中的一些思考，將柯西不等式的構(gòu)造作一點粗淺的總結(jié)，以期拋磚引。一、柯西不等式等號當且僅當或時成立（k為常數(shù)，）證明：構(gòu)造二次函數(shù)=由構(gòu)造知 ? 恒成立 又，當都為0時成立，若其不都為0時，則顯然，即當且僅當 ?即時等號成立二、柯西不等式的構(gòu)造柯西不等式是一個非常

00)在競賽中,柯西不等式對不等式的證明與求代數(shù)式的最值有著十分重要的作用. 與此同時,柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用,能解決很多有難度的試題. 本文旨在幫助同學(xué)們突破有關(guān)柯西不等式運用的難點和熱點問題.一、柯西不等式的直接運用例1(2018年河北初賽題)若實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=______.分析視z為參數(shù)并移項,再使用柯西不等式得不等式,可使問題獲解.例3(2018年河南初賽題)已知cos

201808)柯西不等式在競賽中不等式的證明與代數(shù)式最值的計算，有著十分重要的作用.與此同時，柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用，能解決出很多有難度的試題.本文旨在幫助同學(xué)們突破有關(guān)柯西不等式運用的難點和熱點問題.一、知識點梳理當且僅當ai=kbi，即ai,bi(i=1,2,3,…,n)成比例時取等號.二、命題規(guī)律揭示1.柯西不等式的直接運用例1 (2018年河北初賽題)已知實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmi

證明不等式利用柯西不等式證明某些不等式特別方便,利用柯西不等式的技巧也有很多,如添項、配湊常數(shù)式、改變結(jié)構(gòu)等.3.1 添項3.2 “1”的代換由柯西不等式,得所以ab+4bc+9ac≥36,當且僅當a=2,b=3,c=1時,等號成立.3.3 湊配常數(shù)式(1)解不等式f(x)≥4;(2)記函數(shù)f(x)的最小值為m,若a,b,c均為正實數(shù),且a+2b+3c=2m,證明:(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2,3.4 改變結(jié)構(gòu)證明由柯西

312069)柯西不等式不僅形式優(yōu)美而且具有重要的應(yīng)用價值，許多不等式問題通過柯西不等式化解往往事半功倍，使人耳目一新．下面就柯西不等式的三個重要應(yīng)用進行例析.一、變形湊數(shù)用柯西點評直接應(yīng)用柯西不等式化解的問題一般易于破解，有些問題不易直接進行化解，則需要進行必要的湊、補等手段才能達到，因此要注意對于已知的式子進行必要的變形，以利于柯西不等式的應(yīng)用．二、二用柯西傳遞證例2已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，分析這個問題首選要進行變形運用柯西不等式，將不

+c).2 三元柯西不等式及常見結(jié)論于是得到以下結(jié)論:有了結(jié)論1,筆者利用柯西不等式并結(jié)合待定系數(shù)法來證明定理1.由柯西不等式有利用定理1,可快速地證明例1.由xyz=1和定理1得證.證明由柯西不等式有(2)經(jīng)過簡單變形,可得到以下式子:證明由柯西不等式有利用柯西不等式證明此類條件為abc=1的不等式的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用柯西不等式的條件,配合一定的變形、構(gòu)造技巧,這樣可使復(fù)雜問題簡單化,達到事半功倍的效果.若所證不等式的結(jié)構(gòu)較簡單,注意到柯西不等式的結(jié)論中分子

冀建軍 王 偉柯西不等式是高考必考內(nèi)容和高頻考點,運用柯西不等式解決相關(guān)求值、不等式證明、求最值等問題可以起到事半功倍的效果.學(xué)生對柯西不等式大多停留在識記公式層面,能進行直接應(yīng)用,但遇到具體問題情境,意識不到用柯西不等式,不能進行知識遷移,束手無策,只能放棄,其關(guān)鍵是對公式內(nèi)涵理解不夠,對公式相關(guān)變形及幾何意義達不到“創(chuàng)新型理解”.1.柯西不等式的形式柯西不等式一般形式為:設(shè)ai,bi∈R,則即對于(a1b1+a2b2+···+anbn)2,當且僅當a

50500）一、柯西不等式內(nèi)容二、柯西不等式的二次函數(shù)證法所以把上列n個不等式相加得當b1=b2=… =bn=0時，已經(jīng)研究。∴f(x)是關(guān)于x的一元二次函數(shù)，∴f(x)=0方程判別式△≤0下面研究（1）式取等號的情形若（1）式取等號，則△=0，于是由（3）知方程f(x)=0有兩個相等的實數(shù)根，即x=k,代入（2）得所以從兩方面證明了柯西不等式，在高考和數(shù)學(xué)競賽中，柯西不等式主要解決最值問題、取得最值時滿足的條件及推到其他重要的不等式。柯西不等式應(yīng)用特點：

0)均值不等式和柯西不等式是兩個著名的不等式，它們在解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的過程中，各自發(fā)揮了重要的作用.但是，對一些多元函數(shù)最值問題，特別是一些比較復(fù)雜的多元函數(shù)的最值問題，如果想到使它倆能夠攜手同行應(yīng)對，便可發(fā)揮更大的威力.本文舉例說明，如何讓均值不等式與柯西不等式攜手同行探求多元函數(shù)的最值問題時產(chǎn)生更大的效果.=(1+4)2=25，①≤(x2+y2)[(1-y2)+(1-x2)](運用二維柯西不等式)由均值不等式，得當且僅當x=y=z時，上式等號成立.又由

高級中學(xué) 曾鴻燁柯西不等式作為一個基本而又重要的不等式,具有較強的應(yīng)用性。同學(xué)們?nèi)绻莒`活巧妙地運用柯西不等式,特別是柯西不等式的變形形式,就會在解題時能收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過一些課本上的習(xí)題、高考題、競賽題來看柯西不等式變形形式的應(yīng)用。柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是實數(shù),則(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為零時,當且僅當存在一個實

63006）1 柯西不等式及其證明證一：利用構(gòu)造二次函數(shù)證明反之，若兩組數(shù)(ai)與(bi)成比例，兩邊相等。[1]證二：利用作差法證明證三：利用向量內(nèi)積證明利用向量內(nèi)積證明證四：利用均值不等式證明式中A＞0，B＞0，則(1)即下面證明不等式(3)，由均值不等式將以上各式相加，得證五：利用數(shù)學(xué)歸納法證明即n=k+1時，不等式也成立2 柯西不等式的各種形式柯西不等式有各種各樣的類型，在不同的數(shù)學(xué)分支中都有著極其廣泛的應(yīng)用。在不同的數(shù)學(xué)分支它有不同的形式和內(nèi)容

　726001)柯西不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個重要不等式，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有多方面的應(yīng)用.近幾年柯西不等式在全國各地高考試題中的應(yīng)用屢見不鮮.2017年全國及各地高考數(shù)學(xué)試題中，柯西不等式又體現(xiàn)了其應(yīng)用的廣泛性.下面略舉幾例，供大家參考.一、在不等式證明中的應(yīng)用例1(2017年全國Ⅱ理23)已知a>0，b>0，a3+b3=2.證明(a+b)(a5+b5)≥4.證明由二元柯西不等式，得∴(a+b)(a5+b5)≥4.例2(2017年江蘇21D)已知a，b，c，d

8000 )一、柯西不等式及其推論柯西不等式:設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.推論1:設(shè)ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.二、柯西不等式的推論的應(yīng)用由推論1得∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2對例1可進行維數(shù)的推廣.維數(shù)的推廣:設(shè)ai∈R(i=1,2,…,n),證明根據(jù)柯西不等式，類似例1過程得在解決有些不等式問題時

及神奇的，特別是柯西不等式，柯西不等式作為一種高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要的不等式，當ai，bi∈R（i=1，2，…，n）時，∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，其中等號成立的條件是當數(shù)組a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不完全等于0時.靈活地應(yīng)用柯西不等式，能夠解決一些看似比較困難以及復(fù)雜的問題.本文給出了幾種較為典型的證明柯西不等式的方法，然后列舉了幾種柯西不等式的一般式、二維形式、向量形式以及三角形式，最后介紹了在幾種類型的解題過

528000)柯西不等式的推論的應(yīng)用劉振興(佛山市第一中學(xué)，廣東 佛山 528000)柯西不等式是一個非常重要的不等式，它以其形式對稱和諧美的結(jié)構(gòu)引起了許多學(xué)者的研究,并出現(xiàn)了許多的推論變式.應(yīng)用柯西不等式的推論，可以簡單解決許多競賽中的不等式問題,并且對這些不等式問題可進行推廣.柯西不等式；推論；推廣一、柯西不等式及其推論柯西不等式:設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.二、柯西不等式的推論的

鄭在田++胡福軍柯西不等式的應(yīng)用高中生學(xué)習(xí)·高三版 2017年6期2017-06-12

810000)柯西不等式的向量形式及其應(yīng)用◎黃 驍(青海師范大學(xué)，青海 西寧 810000)柯西不等式；向量；應(yīng)用構(gòu)造m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn)，由于m·n=|m||n|cos〈m，n〉，而cos2〈m，n〉≤1，所以|m|2|n|2≥(m·n)2，當且僅當m∥n時，等號成立.一、解方程組問題二、求最值問題例2 已知a+2b+3c+4d+5e=30，求S=a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值.(a2+2b2+3c2

0) 溫芳勇●?柯西不等式在求多元函數(shù)最值中的應(yīng)用再探江西省贛州市第三中學(xué)(341000) 溫芳勇●解 觀察變元x、y、z的次數(shù)，依低次在不等式左邊、較高次在不等式右邊的原則，確定要湊配成(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)( )這種形式.故括號里面的數(shù)很明顯是12+22+32.據(jù)此有，(x+2y+3z)2≤ 5×(12+22+32)=70,例3 設(shè)x+y+z=1，求函數(shù)u=2x2+3y2+z2的最小值.解 要湊配成柯西不等式，觀察其變元的次數(shù)，低次

) 王強芳對兩道柯西不等式問題的困惑與解惑廣西南寧三中(530021) 王強芳筆者在競賽輔導(dǎo)時選講了如下題目,分析1 由于三個被開方數(shù)的和是常數(shù),可考慮直接使用柯西不等式,則證明失敗!分析2 如果將變?yōu)檫@時后面部分式子的三個被開方數(shù)的和也是常數(shù),由柯西不等式得證明成功!分析3 如果考慮后面兩項利用關(guān)系,則得分析4 如果將原式子變?yōu)橛?span id="uayymgw" class="hl">柯西不等式上面幾種方法中,第一種是直接使用柯西不等式,結(jié)果失敗了,后面三種都是局部使用柯西不等式而保留變量x,最后利用函數(shù)的單

)一、二維形式的柯西不等式形式及其證明設(shè)a,b,c,d∈R，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，當且僅當ad=bc時，取等號.證法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.∵m·n=ac+bd，且m·n=|m||n|cos〈m,n〉，則|m·n|≤|m||n|.∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.證法三(構(gòu)造二次函數(shù)法)設(shè)f(x)=(

中學(xué)　錢　琳例談柯西不等式的實踐運用☉江蘇省宜興市和橋高級中學(xué)錢琳不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點，更是競賽數(shù)學(xué)的重點.在教材中，基本不等式屬于必須要求掌握的最簡單的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在數(shù)學(xué)中有著極為巧妙的運用，利用這些不等式能夠巧妙地解決很多其他相關(guān)的知識，體現(xiàn)了不等式的重要價值.柯西不等式和基本不等式類似，其是不等式初學(xué)者必須要掌握的，可以這么說，基本不等式與柯西不等式其本質(zhì)是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n維柯西不

一中學(xué)　石福祿論柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用甘肅省靖遠縣第一中學(xué)石福祿柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等式，在代數(shù)、幾何等方面應(yīng)用非常廣泛，常常被當做解題基礎(chǔ)，可以利用條件快速得出結(jié)論。若能夠靈活運用柯西不等式，可以使一些問題巧妙地得以解決，我們要適當?shù)貥?gòu)造使用它的條件，以達到最終目的。柯西不等式；變式；應(yīng)用一、柯西不等式的主要變形公式柯西不等式有多種變形，已經(jīng)成為現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)理論的出發(fā)點。掌握幾種常見的柯西不等式的變形，能夠讓我們對柯西不等式有更全面的

省太和中學(xué)　岳峻柯西不等式要點解讀安徽省太和中學(xué)岳峻柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典不等式，它不僅具有簡潔、對稱的數(shù)學(xué)美感，而且具有重要的應(yīng)用價值。靈活巧妙地運用柯西不等式，可以使得一些較難解決的問題迎刃而解。如何破解柯西不等式應(yīng)用的關(guān)鍵點呢？解題者應(yīng)立足于已知信息和待求（證）式結(jié)構(gòu)的特征，敏銳地捕捉到這些關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，并對這些結(jié)構(gòu)進行分析，分析常量與變量之間的關(guān)系，加以思考、處理，靈活應(yīng)對。一、二維形式的柯西不等式（1）若a、b、c、d都是實數(shù)，則（a2

346)張雪峰?柯西不等式在解題中的應(yīng)用江蘇省連云港市郁林中學(xué)(222346)張雪峰1在代數(shù)中的應(yīng)用解：將4a2-2ab+4b2-c=0變形為2c=3(a+b)2+5(a-b)2，由柯西不等式得例2設(shè)x、y為實數(shù)，若x2+y2+xy，則x+y的最大值是_________.解:將原方程組中的兩個方程相加得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，將第一個方程可變形為2x+(3y+3)+(z+2)=18，由柯西不等式得[(2x)2+(3y+3)2](

+=1，所以根據(jù)柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，當且僅當·=·，即=時取等號.所以，x+y的最小值為（+）2.小結(jié) 柯西不等式很重要，靈活巧妙地運用它，可以使一些較復(fù)雜的問題迎刃而解.中學(xué)階段我們常用柯西不等式來證明不等式或求解最值.二、減元法例2 已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，則z的取值范圍是_____.解 由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=

/覃發(fā)崗 寧紀獻柯西不等式變式的應(yīng)用文/覃發(fā)崗 寧紀獻對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然后給出了其推論的應(yīng)用。不等式;應(yīng)用;柯西不等式1.引言柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應(yīng)用。2.柯西不等式的變式2.1 柯西不等式的基本形式［1］2.2 柯西不等式的變式［2］變式二變式五將柯西不等式兩邊開平方根即得。3.應(yīng)用柯西不等式的變式3.1 應(yīng)用變式一證明由

有重要地位，其中柯西不等式的應(yīng)用是一種重要的方法.一、柯西不等式設(shè)a1，a2，…，an及b1，b2，…，bn是任意實數(shù)，則（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n），等號當且僅當b1a1=b2a2=…=bnan時成立（約定ai=0時，bi=0）.二、柯西不等式的應(yīng)用 不等式的證明在數(shù)學(xué)中占有重要地位，其中柯西不等式的應(yīng)用是一種重要的方法.一、柯西