湖南省婁底市湖南人文科技學(xué)院(417000) 莫元健 龍承星

柯西不等式作為高中數(shù)學(xué)新課程中的新增內(nèi)容,其形式簡(jiǎn)潔,應(yīng)用廣泛,極具解題魅力.近年來(lái),無(wú)論是高考試卷還是數(shù)學(xué)不同學(xué)科的題目中都越來(lái)越多地出現(xiàn)了與柯西不等式相關(guān)的題目.用高等數(shù)學(xué)中柯西不等式的思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中,對(duì)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中某些不等式的證明或靈活并巧妙地在不同數(shù)學(xué)學(xué)科中應(yīng)用柯西不等式,將得到出奇制勝、事半功倍的效果.

1 柯西不等式

1.1 柯西不等式的定義

在中學(xué)中我們熟知柯西不等式的左邊是平方和的乘積,右邊是乘積和的平方.但在高等數(shù)學(xué)中,柯西不等式這一定義表達(dá)形式將得到延伸,它不僅形式多變,其應(yīng)用范圍也從中學(xué)中二維形式、三維形式演變成高等數(shù)學(xué)的向量、積分等形式.

柯西不等式不同形式的推廣,是求解常見(jiàn)不等式問(wèn)題的過(guò)渡橋梁,柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有著明確定義,如表1 所示:

1.2 柯西不等式的應(yīng)用范圍

柯西不等式被廣泛應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)、高等代數(shù)、微積分、線性代數(shù)、概率論等領(lǐng)域,其在不同領(lǐng)域有不同形式[2].柯西不等式有很多種證明方法,不同方法優(yōu)劣不一,我們?cè)谡J(rèn)真了解不同方法證明的條件和特點(diǎn)的同時(shí)可推出柯西不等式的各種推廣公式.

表1 柯西不等式的形式比較

形式上: 靈活巧妙地運(yùn)用柯西不等式能解決不等式證明、三角形求解、最值求解、方程求解等問(wèn)題.更精彩的是可以利用柯西不等式得出的推廣公式以簡(jiǎn)捷和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞絹?lái)解決其它公式不容易解決的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題.

結(jié)構(gòu)上: 呈對(duì)稱性,柯西不等式在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中都得到廣泛的應(yīng)用.數(shù)學(xué)工作者對(duì)有關(guān)柯西不等式的鉆研與適用的范圍不斷拓展,方法層出不窮,使柯西不等式得到了豐富與發(fā)展[3].

1.3 幾何圖形視角中的柯西不等式

2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“趙爽弦圖”引入了幾何圖形[4],該幾何圖形中隱含不等關(guān)系:a2+b2≥2ab,以圖1 為例,我們?cè)O(shè)由拼接所構(gòu)成的平行四邊形它的一個(gè)內(nèi)角為θ,則

圖1 趙爽弦圖

從另一方面可得到:

由①②可得:

兩邊平方即可得到

當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1,即θ=90°時(shí)取到等號(hào),此時(shí)兩個(gè)直角三角形相似,可得到等號(hào)成立的條件是ad=bc.

2 柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

柯西不等式為不等式選講的第三講內(nèi)容,在中學(xué)教材中承前啟后,應(yīng)用柯西不等式能處理中學(xué)中一些典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題.特別是在不等式的證明中,如果適時(shí)巧妙地引入柯西不等式,不僅簡(jiǎn)化解題過(guò)程,而且對(duì)解題有很大的幫助.

2.1 柯西不等式在不等式證明中的應(yīng)用

利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)造變形,化為符合它的形式,當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或者右邊具有一般形式時(shí),就可以使用柯西不等式進(jìn)行證明[5].

例1(2017-高考江蘇卷) 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明ac+bd≤8.

證由柯西不等式可得:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d ∈R), 因?yàn)?a2+b2)= 4,(c2+d2)=16,所以(ac+bd)2≤64,所以ac+bd≤8.

小結(jié)很多重要不等式都可由柯西不等式證明,而且利用柯西不等式很容易將一些簡(jiǎn)單不等式推廣.在應(yīng)用柯西不等式時(shí),要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)留意等號(hào)成立得條件.

2.2 柯西不等式在數(shù)列求解問(wèn)題中的應(yīng)用

在高考中柯西不等式和數(shù)列構(gòu)造法結(jié)合常常貫穿于求解數(shù)列題目中,旨在展現(xiàn)柯西不等式在解決數(shù)列問(wèn)題中的廣泛運(yùn)用,如下簡(jiǎn)要分析的等比數(shù)列題目運(yùn)用等比數(shù)列構(gòu)造法和柯西不等式背景下解題的典型例子.

例2(2008-陜西省高考卷) 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為:(n=1,2,...),證明a1+a2+...+

證先求出通項(xiàng)公式an, 再借助柯西不等式進(jìn)行放縮.由已知得所以數(shù)列是等比數(shù)列, 公比為首項(xiàng)為,于是故記

由柯西不等式得a1+a2+...+an=≥

小結(jié)柯西不等式和數(shù)列構(gòu)造法聯(lián)合求解是一種打破數(shù)學(xué)一貫的解題思路,通過(guò)觀察、聯(lián)結(jié)、構(gòu)造出滿足解題條件的數(shù)學(xué)對(duì)象,能將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一種解題方法.掌握構(gòu)造法對(duì)提升學(xué)生思維的創(chuàng)新性、靈活性都有十分重要的意義[6].

2.3 柯西不等式在三角問(wèn)題中的應(yīng)用

在解答三角問(wèn)題時(shí),很多同學(xué)往往只會(huì)就題論題,快速的寫出答案了事,忽略了數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該善于發(fā)揮,擴(kuò)展思路,一題多證.就題論題會(huì)使學(xué)生頭腦中的知識(shí)散亂,形不成系統(tǒng),致使學(xué)生的空間思維縮小.柯西不等式在解決三角問(wèn)題的方法中也頻頻涉及.

例3設(shè)P是?ABC內(nèi)的一點(diǎn),x,y,z是P到三邊a,b,c的距離,R是?ABC外接圓的半徑,證明

證由柯西不等式得:

記S為?ABC的面積,則ax+by+cz=2S=

故不等式成立.

小結(jié)三角問(wèn)題通常包含三角不等式,三角方程,三角極值等,在一些三角問(wèn)題中,為了應(yīng)用柯西不等式我們創(chuàng)造必要條件,從而引進(jìn)一些待定參數(shù),其值得確定也由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定,由此三角極值問(wèn)題我們可以反復(fù)應(yīng)用柯西不等式進(jìn)行解決[7].

2.4 柯西不等式在方程問(wèn)題解決中的應(yīng)用

柯西不等式也常常應(yīng)用在解決方程問(wèn)題中,使得計(jì)算更為簡(jiǎn)便快捷.

例4(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽) 若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c= 6,a2+4b2+9c2= 12,則abc的值是:____.

解由題設(shè)和柯西不等式得36 = (a+2b+3c)2≤(12+12+12)(a2+4b2+9c2)= 36, 當(dāng)且僅當(dāng)a= 2b=3c=即a=2,b=1,c=時(shí)等號(hào)成立,所以abc=

例5解方程組

解原方程組可化為運(yùn)用柯西不等式得兩式相乘, 得(x2+y2+z2)·(x2+w2)≥486,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w時(shí)取等號(hào).故原方程的解為x=y=z=w=3.

小結(jié)巧用柯西不等式求解無(wú)理方程,是先把方程(含有無(wú)理式)應(yīng)用柯西不等式化為不等式,而后聯(lián)合原方程把不等式又化成等式,在判定為等式之后再利用柯西不等式取等號(hào)的共性, 求得與原方程同解且比原方程簡(jiǎn)單的無(wú)理方程,進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程,從而求得原方程的解[8].

3 柯西不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的目的是通過(guò)學(xué)習(xí)理論知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的思想,在實(shí)踐中能夠?qū)W以致用,從而達(dá)到鍛煉自己的思維能力.

我們?cè)趯?shí)踐教學(xué)中通常通過(guò)利用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍、證明等式的成立、解決極值問(wèn)題來(lái)推廣柯西不等式在高等數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用[9].學(xué)生通過(guò)不同題型的訓(xùn)練自己具備分析的能力.

3.1 柯西不等式在線性代數(shù)中的應(yīng)用

一般線性代數(shù)或高等代數(shù)教材中往往涉及柯西不等式的內(nèi)容.

定理1設(shè)α=則(α,β)2≤(α,α).(β,β).

證若α為零向量, 結(jié)論顯然成立; 設(shè)α為非零向 量,對(duì)任意的t ∈R,有(tα+β,tα+β) ≥ 0, 即(α,β)t2+2(α,β)t+(β,β)≥0,因?yàn)?α,α)>0,所以?=4(α,β)2?4(α,α).(β,β)≤0,故(α,β)2≤(α,α).(β,β).

小結(jié)一般線性代數(shù)或高等代數(shù)教材通常是利用向量α,β的線性 組 合α+tβ來(lái)構(gòu)造內(nèi)積, 而由內(nèi)積(tα+β,tα+β)的非負(fù)性,證得柯西不等式.

3.2 柯西不等式在空間解析幾何中的應(yīng)用

柯西不等式不僅形式優(yōu)美,而且應(yīng)用非常廣泛,不但可以解決代數(shù)中重要不等式問(wèn)題,而且還能解決解析幾何中的有關(guān)問(wèn)題,本文例析空間解析幾何中的柯西不等式問(wèn)題的應(yīng)用如下.

定理2[10]設(shè)a,b為兩個(gè)向量,則|a·b|≤|a|·|b|.

證設(shè)a,b的夾角為θ, 則a·b=|a|·|b|cosθ, 因?yàn)閨cosθ|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|.

例6求的最大值與最小值.

解令向量a=(2 sinθ,b=(1,sin?,cos?),由柯西不等式

小結(jié)柯西不等式在結(jié)構(gòu)上對(duì)稱,無(wú)論是在代數(shù)學(xué)中,還是在幾何學(xué)中都得到廣泛的應(yīng)用,柯西不等式能有效解決解析幾何中問(wèn)題.

3.3 柯西不等式在定積分中的應(yīng)用

柯西不等式有各種各樣的類型,在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著極其廣泛的應(yīng)用.它在定積分中也廣泛應(yīng)用著.

定理3設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),則有

證若f(x)≡0 時(shí),結(jié)論顯然成立;設(shè)f(x)不恒為零,則對(duì)任意的t ∈R,由[tf(x)+g(x)]2≥0得f2(x)t2+f(x)g(x)t+g2(x)≥0,兩邊在[a,b]上關(guān)于x積分得

例7設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上均連續(xù),證明:

證(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,有即左邊是一個(gè)關(guān)于λ的二次多項(xiàng)式,它非負(fù)條件是其判別式非正,即從而本題得證.

小結(jié)柯西不等式不同的形式和內(nèi)容對(duì)應(yīng)于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,其能啟發(fā)人得到靈活多樣的證明思維,但其本質(zhì)是不變的,所以這些都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通行、滲透性和統(tǒng)一性.在定積分中亦如此[11].

4 高等數(shù)學(xué)中柯西不等式的思想和方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)

柯西不等式是高等數(shù)學(xué)中重要的不等式,并且在初等數(shù)學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用,對(duì)初等數(shù)學(xué)的解題有很大幫助.

例8設(shè)x,y,z ∈R,2x ?y ?2z=6,試求x2+y2+z2的最小值.

解考慮以下兩組向量u= (2,?1,?2),v= (x,y,z),根據(jù)柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2,有

即(2x ?y ?2z)2≤9(x2+y2+z2),將2x?y ?2z=6 代入其中,得36 ≤9(x2+y2+z2),而有x2+y2+z2≥4,所以x2+y2+z2最小值為4.

例9證明n個(gè)實(shí)數(shù)平方的平均數(shù)不小于n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的平方, 即若a1,a2,...,an ∈R, 則有

證有柯西不等式變形得

小結(jié)這是我們初等數(shù)學(xué)中, 常用得不等式, 而此題將初等數(shù)學(xué)中得“算平均”,“幾何平均”問(wèn)題擴(kuò)展到了“二次冪平均問(wèn)題”, 即≤這不僅拓寬了中學(xué)生得知識(shí)面,而且為許多不等式開(kāi)辟了一條新路.

5 結(jié)語(yǔ)

柯西不等式在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中占有非常重要的地位.實(shí)踐教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入了解柯西不等式的定義,理解柯西不等式的證明.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注重鍛煉自己的邏輯思維能力與發(fā)散思維能力,并能夠運(yùn)用多學(xué)知識(shí)解答試卷試題,甚至能夠啟發(fā)自己得思維在實(shí)踐生活中予以應(yīng)用.