廣東省肇慶市宣卿中學(xué)(526000) 孔德泉

2020年全國各省市中考陸續(xù)落下帷幕,中考試題凝聚了命題專家的集體智慧,具有權(quán)威性、示范性、借鑒性,研究中考壓軸試題對數(shù)學(xué)深度教學(xué)大有裨益.筆者對廣東中考壓軸題進(jìn)行研讀挖掘,體會深刻,撰寫成文,以此與讀者分享.

1 中考真題 情境再現(xiàn)

題目: 如圖y=+bx+c與x軸交于兩點,點A,B分別位于原點的左右兩側(cè),BO= 3AO= 3, 過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D,

(2)求直線BD的函數(shù)解析式.

(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方,點Q在射線BA上,當(dāng)?ABD與?BPQ相似時,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).

圖1

圖2-1

2 解法研究 思路優(yōu)化

思路一: ?ABD三條邊的長均可求出,用三條對應(yīng)邊分別成比例進(jìn)行求解,此解法運算量十分繁瑣.

情形1(圖2-1): ?ABD～?PBQ,設(shè)QM=x(x >0),MP=y.平方化簡得,得4 +y2=,x2+y2=兩式相減得解得x1=,x2=?2(舍去),此時點Q1(1?

其他情形同理可得:

圖2-2

圖2-3

圖2-4

思路二: 若發(fā)現(xiàn)∠ABD= 30°, 則PM=對于上述前兩種情形只需設(shè)一個未知數(shù), 利用兩條對應(yīng)邊分別成比例,解一元方程,減少了運算量,達(dá)到思路一的優(yōu)化目的.

船舶設(shè)備在安裝中由于組件安裝的體積較大，重量較大，因此在安裝中通常借助起吊機(jī)，手工輔助機(jī)械裝置，進(jìn)行相關(guān)組件設(shè)備的安裝。在此過程中分析大型組件設(shè)備安裝中的減振措施，對于設(shè)備安裝中的準(zhǔn)確性提升意義重大。具體分析在實際發(fā)展中設(shè)備安裝準(zhǔn)確性的保障，對于設(shè)備后期的應(yīng)用質(zhì)量保障，以及設(shè)備的實際應(yīng)用效果提升奠定了良好的基礎(chǔ)。其中具體分析船舶設(shè)備安裝的準(zhǔn)確性，主要體現(xiàn)在船舶設(shè)備安裝位置，安裝高度，安裝水平度的準(zhǔn)確性，確保其設(shè)備組件后期在運行中的穩(wěn)定性和合格性。

思路三: 若發(fā)現(xiàn)∠ABD= 30°且∠ADB= 45°,利用三角函數(shù)確定邊長之間的關(guān)系,求解該題目將更加簡便,而∠ADB=45°極為隱晦,需學(xué)生具有豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和敏銳的直覺思維,需要驗證AC⊥CD,AC=CD,需要全面理解題目中三角形的邊角元素構(gòu)成特點.

章建躍博士:“數(shù)學(xué)是玩概念的,讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題和解決問題的習(xí)慣”.以上幾種思路正是沿著相似三角形的對應(yīng)角相等, 對應(yīng)邊成比例的定義進(jìn)行探索,不同的求解層次展現(xiàn)出學(xué)生不同的思維水平,具有良好的區(qū)分度.在有效的時間內(nèi)快速地解題,“先動腦后動手”將變得相當(dāng)重要, 學(xué)生也會在解題過程中進(jìn)行不同層次間的轉(zhuǎn)化,在求解題目中不斷調(diào)整并尋求其他方法,學(xué)生不同的能力水平會呈現(xiàn)不同的表現(xiàn),這恰好是壓軸題的使命所在,正是題目設(shè)置的最突出的亮點—有效考查不同學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

3 幾何探路 本質(zhì)解釋

該題目是拋物線背景下的幾何問題,去除拋物線的“外衣”,研究其幾何本質(zhì)屬性,又可得到新方法.

思路四: 情形1, 2(如圖3-1.2) 作點D關(guān)于AB的對稱點D′, 連接AD′,D′B, 對稱軸與D′B相交于點P, 作PQ1//AB交AB于Q1,得?ABD′～?Q1BP,可以得到射線BA上一點Q2,使BP2=BQ1·BQ2,得

圖3-1.2

圖3-3.4

情形3,4(如圖3-3.4)同理作點D關(guān)于AB的對稱點D′,對稱軸上找一點P,作∠MBP= ∠D(實際作45°),過點P分別作PQ3//BD,PQ4//AD′,分別交AB于點Q3,Q4,由得Q3;再由BP2=BQ3·BQ4得Q4.

4 考查分析 題目欣賞

這是一道典型的綜合性極強(qiáng)的題目: 考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式,圖形變化,圖形與坐標(biāo),兩個點的動態(tài)變化,尋求三角形相似關(guān)系中對應(yīng)角的不變性,對應(yīng)邊成比例的穩(wěn)定性,要求學(xué)生具備猜想,分析,推理,分類,綜合,類比等多種思考方法,對學(xué)生的幾何直觀,運算能力,推理能力均有較高要求,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合,分類討論,轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用.

?ABD是兩個內(nèi)角分別為30°, 45°特殊角的三角形,這樣的三角形非常典型, 而函數(shù)的二次項系數(shù)為什么是無理數(shù)在不改變題意的前提下, 點C在y軸上,BO= 3AO,?ABC為直角三角形,這其中的內(nèi)在聯(lián)系是怎樣組織的? 系數(shù)能否調(diào)整為有理數(shù),使之更加簡潔,因此筆者做如下嘗試:

設(shè)A(?m,0),B(3m,0),拋物線:y=a(x+m)(x?3m).代入得am=研究到這里,我們發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸左交點的橫坐標(biāo)和二次項系數(shù)之積為定值,取AO=1 時,二次函數(shù)系數(shù)恰是本題目中的無理數(shù)若調(diào)整函數(shù)的二次項系數(shù)使其美觀,不妨取a=1,則拋物線與x軸交點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)變得錯綜復(fù)雜, 不利于發(fā)現(xiàn)?ABD中如30°,45°這樣的特殊角,既然題目這樣設(shè)置,我們猜想這應(yīng)該是命題組的設(shè)計意圖,我們試圖做其他的改動將失去題目本身的考查意義.由此可見,原題目竟是何等的美麗與和諧.

5 題目變式 舉一反三

對于任何一個優(yōu)秀的題目,一線教師定會與學(xué)生們分享,如何講解該題目,如何最大發(fā)揮題目的價值,為了追求最大功效,可嘗試以下習(xí)題的變式進(jìn)行過渡教學(xué)或者作為學(xué)生探究的素材.

題目變式1: (如圖4-1)y=+bx+c與x軸交于兩點,點A,B分別位于原點的左右兩側(cè),過點B的直線與y軸正半軸的交點D恰好在拋物線上,滿足BD=2.

考查問題不變: 第三問仍舊是“點P在拋物線……請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).”

圖4-1

圖4-2

題目變式3: 已知條件均不變,所求問題中,可改變點P的位置,如點P在拋物線的對稱軸上(去掉在x軸下方的限制要求);“點Q在射線BA上”改為“點Q在直線BA上”,利用這樣的變式可進(jìn)行更加深入的探討.

6 求知若渴 學(xué)無止境

波利亞曾說:“解題從未存在完全徹底解決掉的題目,解完之后回頭再看看,就是解題回顧;解題就象采蘑菇,當(dāng)你找到第一朵后,在周圍看看,因為他們總是成堆生長的”.2020中考壓軸題是否有其他解法或者新的發(fā)現(xiàn),期待讀者的不吝賜教.