廣東省東莞市東莞中學松山湖學校(523808) 譚云峰

數(shù)學家喬治?波利亞說過:“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半,更重要的是解題之后的反思”.目前數(shù)學教育的同行們對數(shù)學解題反思的內涵及其重要性有所研究,但具體在數(shù)學解題后如何進行反思,以及如何指導學生進行反思寫作呢?筆者在指導學生進行數(shù)學解題反思的寫作實踐的基礎上,界定了數(shù)學解題反思能力的內涵與外延,分析學生解題反思的案例,并提出指導學生數(shù)學解題反思寫作的建議.

1 數(shù)學解題反思寫作的涵義

數(shù)學解題的反思是讓學生通過對題目理解過程、解題過程進行反思,對做錯的題目進行改正、反思和總結,從而提升學生的思維的深度,加深對知識理解,提升批判思維能力,嚴謹?shù)倪壿嬎季S的品質.

數(shù)學解題反思的內容通常是對題意(審題過程)進行反思,或者對解題思路,解題策略進行反思.其寫作內容如下表所示:

表1 解題反思內容表

2 典型案例分析

筆者在指導學生進行解題案例反思后, 及時進行點評,組織同學互評,讓學生相互學習,提高數(shù)學解題反思的能力.現(xiàn)列舉如下兩個實踐案例進行評述.

例1 如圖1,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,矩形OABC的頂點A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點, 點P為線段BC上的點, 以OD為腰的等腰?ODP的頂點P的坐標是____.

圖1

學生解題反思:

(1)理解模糊,忽略了等腰三角形中需要分類討論,這里并沒有明確腰是哪條線段,所以有多種可能性,結果一定不唯一.

(2)思路不清,等腰三角形應兩兩對應分組搭配,對于每種情況要檢驗是否符合題意.

(3) 利用圓規(guī)畫圖, 避免漏掉可能的情況.從畫圖可知當PD=OD時,分兩種情況討論,若點E在點D的左邊,OE=2,此時,點P的坐標為(2,4),若點E在點D的右邊,則OE= 8, 此時, 點P的坐標為(8,4), 當PO=OD時,OE== 3, 點P的坐標為(3,4), 故答案為(2,4)或(8,4)或(3,4).

教師評析: 解決此題你需要熟悉矩形性質、等腰三角形性質、勾股定理等知識,本題主要看你在等腰三角形運用中是否具有分類討論思想,這里符合題意的等腰三角形有三種情形,注意不要遺漏.可以從你的反思看到你開始有了分類討論意識,但是可能對等腰三角形的分類情況還不是特別明確.所以解決此題的關鍵應該是等腰三角形具體怎么分類討論.反思中提到可以借用圓規(guī)畫出圖形,避免漏掉可能出現(xiàn)的情況.值得提的是在分析題目的過程當中,建議你在一個圖當中把三種不同的三種情況都表示出來.對于幾何問題涉及到的分類討論,反思時你將不同的情況對應的圖形一一畫出來.這樣會更清晰的看到不同的情況所對應的圖形,更有助于對問題的理解.

例2如圖所示,有一張一個角為60°的直角三角形紙片,沿其一條中位線剪開后,不能拼成的四邊形是____.

圖2

A.鄰邊不等的矩形 B.等腰梯形

C.有一個角是銳角的菱形 D.正方形

學生反思:

(1) 理解問題不透徹, 我陷入了思維誤區(qū), 認為BC=CD,以致于我從頭到尾都認為可以拼出正方形,正所謂“輸在起跑線上”.

(2)題目說明∠C= 90°,∠B= 60°,故∠C= 30°,這時Rt?ABC是“黃金三角形”,它的斜邊是30°角所對的直角邊的一半.我們就可以設BC=x,AB= 2x,再利用勾股定理求出AC的長.但BC ?=CD,不能拼成三角形,我們要知道各邊的關系才能正確完成此題.

教師評析: 這是一道生活聯(lián)系實際的問題,不僅要用到三角形中位線的性質、菱形、等腰梯形、矩形的性質,還鍛煉了你的動手能力.解答此類題目時應先畫出圖形,再根據(jù)已知條件判斷各邊的關系.這道題關鍵是要根據(jù)條件畫出相應的圖形,進而拼出各種組合.在反思當中寫到關鍵是“要知道各邊的關系”——這個“各邊的關系”指的是剪完之后各邊的關系,還是剪之前各邊的關系,不夠明確.在你呈現(xiàn)的幾個圖形當中,不能夠直觀的得到拼出的圖形,所以我覺得你的反思中并沒有提到此題的核心思路,即將每一種組合如下拼出來.

圖3

從以上的案例,我們可以看到學生進行數(shù)學解題反思的過程是與自我對話,與老師和同學對話的過程,在這個過程中逐漸理清思路,辨析概念,達到鞏固理解知識并能運用解決問題的目的.數(shù)學解題反思寫作既有助于學生深刻地思考數(shù)學,同時也幫助教師評估學生的學習過程和結果.在學生學習的情感態(tài)度方面, 通過師生之間借助數(shù)學寫作的互動,有利于師生創(chuàng)造更加和諧活潑的學習氣氛.

3 指導學生數(shù)學日記寫作的思考

在指導學生進行數(shù)學解題反思的過程中,老師要充分發(fā)揮評價的功能,對學生進行引導,激發(fā)學生解題后主動進行反思總結,逐步規(guī)范學生解題反思寫作表述,尤其注重學生進行數(shù)學反思寫作的邏輯思考.充分發(fā)揮教師對學生的寫作評價的引導作用,及時地對學生的反思寫作進行點評,激發(fā)學生的興趣,鼓勵和引導學生在書寫中不斷深入思考.

(1)鼓勵和引導,激發(fā)學生寫作解題反思的積極性

學生書寫數(shù)學解題反思,需要經(jīng)歷入門到提高,從初步體驗到深入思考的過程,老師在這個過程中,要幫助學生逐步樹立信心.老師對學生的作品在評價時,要以鼓勵為主,對于能上交作品的同學要首先給予肯定,對于學生書寫的語言的流暢性,表達的專業(yè)性,不宜要求過高.讓學生堅持動筆書寫是寫好數(shù)學反思的前提.

學生日常課業(yè)負擔比較重,我們要留給學生書寫數(shù)學解題反思的時間和空間,讓學生能靜下心來思考,組織語言,記錄自己的思考過程.鼓勵他們一周至少留給自己兩次書寫數(shù)學反思的時間.給學業(yè)比較困難的同學布置一些描述性的課堂學習感悟的寫作任務.

要在班級公開展示優(yōu)秀的作品, 表揚參與寫作的同學,對學生作品的亮點進行展示, 同時也可以讓同學進行點評,引導班級同學主動尋找作品中的亮點,讓同學在正面積極的評價引導下來鼓勵學生寫好數(shù)學反思.

(2)歸類與整理,積累數(shù)學解題反思寫作模式

對學生反思寫作進行書面點評的時候,首先要引導學生對反思內容進行歸類.分別從明確題目問題、分析題目條件、基礎知識運用、語言解讀、解題思路、學習他人思路、解題總結等方面引導學生進行反思.學生長期進行歸類整理,把同類問題進行比較和總結,可以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學解題思維習慣.同時,通過經(jīng)常性地檢視回顧自己思考問題的過程,提高學生的數(shù)學學習的元認知的能力.老師有意識地引導學生進行解題反思的歸類,有利于學生能按照常用的寫作模式進行寫作,遵循既定的框架進行寫作,從而達到深入思考和提升分析問題的能力.

(3)糾正與規(guī)范,不斷提高學生反思寫作的語言表述

筆者在指導學生進行寫作的過程中,發(fā)現(xiàn)很多學生在日記中表達不規(guī)范,邏輯結構不是很清晰,數(shù)學概念也存在運用不當?shù)默F(xiàn)象.有部分學生容易停留在表層的描述,不太注重表達的規(guī)范和嚴謹.面對這種情況,教師應當給予學生敢于表達自己想法給予肯定,同時要引導學生在數(shù)學反思的寫作中注意培養(yǎng)學生數(shù)學語言的規(guī)范表達,使學生能規(guī)范地運用數(shù)學語言.

經(jīng)過筆者的實踐研究,引導學生開展數(shù)學解題反思寫作在初中數(shù)學教學中是有成效的,作為指導學生進行數(shù)學學習一種有效的途徑,值得我們繼續(xù)實踐并進行研究下去.目前還有很多問題需要我們繼續(xù)在實踐中進行探究,比如,如何開展數(shù)學解題反思性寫作讓學生不再感受到是一種額外的負擔? 如何對學生的反思進行有效的評價? 如何指導學生把數(shù)學反思和課后作業(yè)結合起來,發(fā)揮數(shù)學日記的復習功能等,這些問題值得我們在理論與實踐中不斷地繼續(xù)深入研究.