廣東省佛山市南海外國語學校(528200) 范明明 鄭 金

1 原題呈現(xiàn)

如圖1,直線y=?x+5經過A,B兩點,且經過A,B兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為點C.

(1)求拋物線的表達式;

(2)P是直線AB下方的拋物線上一動點.過點P作與x軸垂直的直線PM交AB于點M,N為y軸上一點,當線段MP的長度最大時,求出的最小值;

(3)P是直線AB下方的拋物線上一動點.當tan ∠PBC=時,請直接寫出點P點坐標.

2 思路突破

本題屬于二次函數(shù)的綜合運用題,三個問題分別求拋物線的表達式、最小值以及點的坐標問題.其中涉及到待定系數(shù)法、垂線段最短、三角函數(shù)、坐標與方程的關系等知識,主要考查學生對有關函數(shù)和幾何知識的綜合運用.下面就本題的思路突破展開探索.

第一步,明確待定系數(shù),常規(guī)求解表達式

求拋物線的表達式,通常的辦法是待定系數(shù)法.從題干中可以看出拋物線的表達式中含有2 個參數(shù),分別是b和c,從建構方程的角度來看, 則是需要拋物線上兩個點的坐標,因此本小題可以轉化為求A,B兩個點的坐標.由一次函數(shù)y=?x+5 可以推出A(0,5)、B(5,0),帶入y=x2+bx+c得:所以于是拋物線的表達式為y=x2?6x+5.

第二步,巧用三角函數(shù),問題轉化求最值

要想知道線段MP的長度何時最大, 首先要把線段MP的長度表示出來, 即利用M、P兩點的坐標轉化為線段MP的長度.設P(m,m2?6m+5),則M(m,?m+5),于是PM= (?m+5)?(m2?6m+5) =?m2+5m=由二次函數(shù)的圖像性質可知,當時,PM最大=此時

求PN+的最小值的關鍵在于如何轉化聯(lián)想到在特殊角的三角函數(shù)中,sin30°=因此能否構造一個30°角的直角三角形,利用三角函數(shù)轉化使得PN和在同一條直線上呢? 具體如下:

如圖2,過點P作PH垂直過原點且與y軸夾角為30°的直線, 垂足為H,PH交y軸于點N,HO交PM于點E,PM交x軸于點F,則NH=要求PN+的最小值, 即轉化為求PN+NH的最小值,只需H、N、P共線即可.在Rt?EFO中,∠OEF=30°,OF=所以EF=所以FP=所以EP=EF+FP=在Rt?EHP中,∠PEH= 30°,所以PH==即當線段MP的長度最大時,的最小值為

第三步,利用數(shù)形結合,根據圖像求交點

第(3)問利用圖像中的已知點和未知點構造了相應的角,分析P點在何處時,兩角的正切值之間存在著數(shù)量關系,因此需要對點P的位置加以討論,并結合P點位置來構造相應的模型,把求點的坐標問題轉化為求函數(shù)圖像的交點問題.具體如下.

過C點作CG⊥AB于點G, 連接AC.由拋物線和一次函數(shù)的表達式可知A(0,5)、B(5,0)、C(1,0), 由勾股定理可得AB=根據等面積法可得于是

設P(m,m2?6m+5),連接BP并延長交y軸于點Q.因為P是直線AB下方的拋物線上一動點,因此,可將P點位置分為在第一象限和第四象限加以討論:

①如圖3, 當點P在第一象限時, 所以tan ∠PBC=所以OQ=即設直線BQ的表達式為y=kx+b,把B(5,0)、Q(0,兩點帶入得y=聯(lián)立(舍去),即

②如圖4, 當點P在第四象限時, 由OQ=可知把B(5,0)、兩點帶入直線BQ的表達式y(tǒng)=kx+b中得y=聯(lián)立得

綜上,點P坐標為

3 解后反思

上述問題是初中常見的二次函數(shù)綜合題,其特殊之處在于將幾何問題融入其中.其核心問題為第(2)(3)兩小題,需要綜合利用函數(shù)與幾何的性質來分析.下面就其問題突破的關鍵和解題方法加以探究,并對問題進行適度變式研究.

3.1 問題突破的關鍵

上述綜合題第(2)(3)問是難點所在,也是函數(shù)與幾何內容相結合的典型代表.其中,第(2)問是以函數(shù)圖像為背景求解線段(和)的最值問題,解題的關鍵之處有兩個,一是要理清點的坐標與線段長度的關系,即根據M、P兩點的坐標求解線段MP的長度,進而轉化為二次函數(shù)的最值問題.二是構造30°角把轉化為NH,結合三點共線求出最小值.第(3)問屬于幾何問題背景下求點的坐標問題.其突破的關鍵也有兩個,一是根據P點的位置關系加以分類討論,二是把求P點的坐標問題轉化為求函數(shù)圖像的交點問題.

3.2 值得總結的內容

函數(shù)綜合題解題能力提升的關鍵是不斷從解題中總結方法與經驗.上述問題的解決也同樣存在一些值得總結的內容.

(1)線段最值問題求解策略: 設定點的坐標→建構關于線段長度參數(shù)的函數(shù)→利用函數(shù)性質分析[1].

(2)線段和的最值問題求解策略: 轉化線段→結合三點共線分析.

(3)幾何背景下的點的坐標問題求解策略: 分類討論點的位置→建構圖形求出關鍵點的坐標→求解關鍵函數(shù)的表達式→結合函數(shù)圖像分析交點坐標.

3.3 問題的變式拓展

對問題進行合理的變式探究,不僅可以凸顯問題的本質,還能提升解題思維.針對上述綜合題,還可以作出如下變式.

變式1P是直線AB下方的拋物線上一動點.過點P作與x軸垂直的直線PM交AB于點M,連接AP、BP,當?PAB面積最大時,求P點坐標.

解題思路: 因為S?P AB=S?P MA+S?P MB=所以當PM的長度最大時,?PAB面積最大.該問與原題中的第(2)問有些類似,P點坐標的解法也同第(2)問.

變式2若P是拋物線的頂點坐標,G是拋物線上一點,J是x軸上一點,若以C、P、J、G為頂點且CP為一邊的四邊形為平行四邊形,求G點坐標.

解題思路: 因為y=x2?6x+ 5 = (x ?3)2?4,所以P(3,?4), 因為以C、P、J、G為頂點且CP為一邊的四邊形為平行四邊形, 所以|yC ?yP|=|yJ ?yG|, 即|0?(?4)|=|0?yG|,所以yG=±4.當x2?6x+5 =?4時,x= 3(舍去) .當x2?6x+5 = 4 時,x1= 3+x2=3?所以

還可以這樣設問: 若P是拋物線的頂點坐標,G是拋物線上一點,J是y軸上一點,若以C、P、J、G為頂點且CP為一邊的四邊形為平行四邊形,求G點坐標.解法與上述類似,此處不再贅述.

4 教學建議

4.1 立足基礎知識,建構知識體系

學生是否掌握必要的基礎知識和基本能力,是解決函數(shù)綜合題的關鍵.第(1)問中的待定系數(shù)法,第(2)問中將點的坐標轉化為線段的長度問題,都是典型的基礎知識和基本能力.因此在教學時,一方面要注重引導學生對基礎知識,基本解題能力的理解與掌握;另一方面要“注重知識的‘生長點’與‘延伸點’, 把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結構與體系”[2].此外,綜合題的建構還基于知識間的聯(lián)系性,通過知識間的關聯(lián)來實現(xiàn)問題的重組的,因此,在扎實基礎的前提下還需要學習各模塊的聯(lián)系,促進各模塊知識間的相互融合,建構完整的知識體系,為后續(xù)綜合題的拆分與轉化打下堅實基礎[3].

4.2 開展解后反思,形成解題策略

拆分與轉化是解決函數(shù)綜合問題的一般思路,但如何拆分與轉化是難點所在.如第(2)問的難點就在于如何轉化其中一條線段,第(3)問的難點在于如何把已知條件轉化成關鍵點的坐標,如何把所求點的坐標轉化為圖像交點.若掌握了這些解題策略,問題就迎刃而解.因此,開展解后反思,總結解題經驗,形成解題策略是提升解題能力中不可或缺的一環(huán).也就是說,在解題教學中要注重引導學生對典型問題的分析思路、典型問題的解題方法及典型問題的模型建構進行合理的總結與歸納, 幫助學生整理并形成相應的解題策略,從而大大提升函數(shù)綜合題的解題能力.

4.3 重視變式研究,提升思維能力

變式探究式中學階段十分重要的教學方式,通過變式教學可以使學生把握問題結構,認識問題本質,還可以拓展學生的視野,提升學生的解題思維[4].如變式1 可以讓學生認識到問題的本質是函數(shù)背景下的幾何圖形的面積問題,本質上還是將點的坐標轉化為線段長度.變式2 是常見的函數(shù)背景下特殊的四邊形問題,不僅可以拓展學生的視野,還可以提升學生的綜合思維能力.當然,對問題的變式研究,不應僅從表面上對問題形式的改變,而應是基于問題的研究模型、問題的分析思路、問題的解題方法開展深度探究.這樣才能充分發(fā)掘一道題的最大價值,幫助學生提升思維能力和數(shù)學素養(yǎng).