江蘇省常州市武進區(qū)前黃實驗學校(213172) 徐 宏

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“評價應(yīng)以課程目標和課程內(nèi)容為依據(jù), 體現(xiàn)數(shù)學課程的基本理念,全面評價學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn).”最值問題是中考數(shù)學中常常出現(xiàn)的熱門題目,近幾年安徽中考數(shù)學選擇壓軸題都是求最值問題的題目,試題設(shè)計別具匠心,很好地體現(xiàn)了課程標準的精神,以素養(yǎng)為導向,考察學生對問題的深度理解.希望通過試題賞析,能全面領(lǐng)會數(shù)學課程的基本理念,關(guān)注核心內(nèi)容,引領(lǐng)并促進數(shù)學核心素養(yǎng)在平時的教學中落地生根.

1 試題呈現(xiàn)

(2019年第10 題)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F將對角線AC三等分, 且AC= 12, 點P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=9 的點P的個數(shù)是( )

A.0 B.4 C.6 D.8

圖1

圖2

圖3

(2017年第10 題)如圖2, 在矩形ABCD中,AB= 5,AD= 3, 動點P滿足則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為( )

(2016年第10 題) 如圖3, Rt?ABC中,AB ⊥ BC,AB= 6,BC= 4,P是?ABC內(nèi)部的一個動點, 且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為( )

2 試題解答

(2019年第10 題) 解答: 如圖4, 作點F關(guān)于BC的對稱點M, 連接CM, 連接EM交BC于點N, ∵點E,F將對 角線AC三 等分, 且AC= 12, ∴CE= 8,CF= 4,∵點M與點F關(guān)于BC對稱,∴CF=CM= 4,∠ACB= ∠BCM= 45°, ∴∠ACM= 90°, ∴EM=則在線段BC存在點N到點E和點F的距離之和最小為∴在線段BC上點N的左右兩邊各有一個點P使PE+PF= 9,同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點使PE+PF=9.即共有8 個點P滿足PE+PF=9,故選: D.

圖4

圖5

圖6

(2017年第10 題)解答: 設(shè)?ABC中AB邊上的高是∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2 的直線l上,如圖5,作A關(guān)于直線l的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE就是所求的最短距離.在Rt?ABE中,∵AB= 5,AE= 2+2 = 4,∴BE=即PA+PB的最小值為故選D.

(2016年第10 題) 解答: ∵∠ABC= 90°, ∴∠ABP+∠PBC= 90°, ∵∠PAB= ∠PBC, ∴∠PAB+ ∠ABP=90°, ∴∠APB= 90°, ∴點P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC交⊙O于點P, 此時PC最小.在Rt?BCO中,∵∠OBC= 90°,BC= 4,OB= 3, ∴OC= 5, ∴PC=OC ?OP=2.∴PC最小值為2.故選B.

3 試題賞析

3.1 簡約親切,彰顯人文關(guān)懷

這幾個小題從表述上看,給人以簡潔明了之感,減輕了學生閱讀的負擔;圖文結(jié)合,文字簡練,表述清晰,極具簡約美.作為選擇壓軸題,選取的考察知識點是常見、?？嫉摹包c圓最值”、“將軍飲馬”模型,親切的背景緩解了中考帶來的緊張不安,從心理上給考生樹立了信心,為考生理解題意、解決問題提供了方便,有助于考生自我潛能的挖掘,也彰顯了命題組老師對考生的人文關(guān)懷.

3.2 構(gòu)思精巧,凸顯核心素養(yǎng)

雖然這幾個小題考察知識點是常見、?？嫉摹包c圓最值”、“將軍飲馬”模型,但不是簡單的套用模型去考察學生的計算能力.如2019年山東某市中考數(shù)學選擇壓軸,只是將背景放入平面直角坐標系,再將一些條件復(fù)雜化而已.

如圖7, Rt?ABO中, ∠OBA=90°,A(4,4), 點C在 邊AB上, 且點D為OB的中點, 點P為邊OA上的動點,當點P在OA上移動時,使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為( )

圖7

安徽中考數(shù)學這幾個選擇壓軸題從構(gòu)思上看,設(shè)計精巧,新穎巧妙,凸顯核心素養(yǎng).學生面對這幾個試題時,“似曾相識”卻又“耳目一新”, 有“跳一跳, 夠得到”的沖動.如2017年第10 題,學生看到要求解的“距離之和PA+PB的最小值”,很容易想到“將軍飲馬”模型,但是那條直線在哪里呢?命題組老師巧妙的利用面積、利用平行線之間距離將直線“隱藏”了.如同: 平面直角坐標系中,已知點A(a,a),實際就是點A是直線y=x上的動點.再如2019年第10 題,此題源于“將軍飲馬”模型而又不落俗套,從封閉的“將軍飲馬”求最值問題轉(zhuǎn)化為開放的判斷點的個數(shù)問題.由模型求出最小值不是難事,但是要確定符合條件的點有幾個,則凸顯了學生的數(shù)學素養(yǎng).考察學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.學生首先通過直觀感覺對稱性,邏輯推理出點P的個數(shù)只可能是0 個、4 個或8 個.看到“滿足PE+PF=9”,也很容易想到“將軍飲馬”模型去求最小值,從而通過比較這兩個的大小來解決問題.

3.3 變中究質(zhì),追求深度理解

這幾個選擇壓軸題讓學生感覺到既熟悉又新鮮,能顯示出“穩(wěn)”中不失“變”的立意,立足于學生對初中幾何知識的深刻理解,角度新穎,學生想要做出試題,就要能對問題的本質(zhì)做到深度理解.如2017年第10 題,不僅考察“將軍飲馬”模型,更考察點的軌跡問題,體現(xiàn)了初高中的知識銜接.2016年第10 題同樣也考察點的軌跡問題,需要對定理“直徑所對的圓周角是直角”做到深度理解,反之應(yīng)用,需要動手與動腦相結(jié)合.2019年第10 題更是巧妙地將正方形、等腰三角形、軸對稱、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識串聯(lián)起來,體現(xiàn)了形與數(shù)、動與靜之間的聯(lián)系,在常規(guī)背景中考察學生對于問題本質(zhì)的深度理解.

文[3]指出: 有些地方的數(shù)學中考人為地編造“難題”,顯得很不自然,求解過程讓人很難想到,難以體現(xiàn)數(shù)學的學科特點和本質(zhì),無法體現(xiàn)解決數(shù)學問題的一般規(guī)律和通性、通法,絕大多數(shù)學生根本想不到解法,得分率非常低,如此“造題”為難學生,考試的意義何在呢? 安徽省近三年求最值問題的題目設(shè)計別具匠心,既有區(qū)分度,學習優(yōu)秀的學生也能夠上手,起到了考查與選拔的作用.本人也曾在文[4]中詳細分析了一個幾何最值問題,感覺到有些幾何最值試題只是在考技巧,忽略了對數(shù)學本質(zhì)的探究、理解.

4 教學啟示

中考試題都是經(jīng)過命題專家在課標、教材的指引下精心設(shè)計的,只有深入其中去思考、去體會、去研究,才會發(fā)現(xiàn)其引導功能和教學價值,進而加深對課標和教材的理解,使教師的教學工作游刃有余.

4.1 以教材為根本,關(guān)注核心素養(yǎng)

中考試題的是以《義務(wù)教育數(shù)課程標準(2011年版)》標準命制,以教材為根本,根據(jù)初中學生的生理、心理特點等來命制,很多題目的情境或原型都來自教材.如同“點圓最值”、“將軍飲馬”模型的題目在人教版、蘇科版等全國各種版本教材中都可以找到.但是中考試題通常是以教材例習題為“背景”,經(jīng)過了命題組老師的巧妙構(gòu)思編擬而成的,它們源于教材,又高于教材.這就啟發(fā)我們在教學中,要關(guān)注課程標準,回歸教材,關(guān)注基礎(chǔ)知識的落實,同時更要關(guān)注學生的核心素養(yǎng).引導學生努力探索問題的“衍生點”;創(chuàng)造性地使用教材,開發(fā)豐富有效的課程資源,引導學生進行探究性學習,在例習題及中考題的探究中理解問題本質(zhì),在此基礎(chǔ)上尋找知識的“生長點”.

4.2 積累活動經(jīng)驗,引導感悟思想

《義務(wù)教育數(shù)課程標準(2011年版)》把原來的“雙基”擴充為“四基”,數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與數(shù)學思想方法被提到了新的高度.如同這幾個中考數(shù)學選擇壓軸題對學生思維的深度與廣度都有一定的要求.因此,在教學中教師不能以解決問題作為教學的終結(jié)點,而應(yīng)將數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累貫穿于教學過程中,要注重直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng),讓學生在學好基礎(chǔ)知識、掌握基本技能的同時不斷積累活動經(jīng)驗,并且能夠運用實踐,內(nèi)化為自己的知識經(jīng)驗.同時,數(shù)學思想方法更應(yīng)滲透在數(shù)學教學的整個過程之中.教師在教學中要重視對常用數(shù)學思想方法的滲透、總結(jié)與提煉,要結(jié)合典型問題的研討,多給學生獨立思考、自主探索的時間與空間,抓住一題多解、多題一解、一題多變的特點,引導學生不僅要學會知識的應(yīng)用,更要領(lǐng)悟知識應(yīng)用中的數(shù)學思想方法,形成應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題的自覺意識,提高用思想方法進行數(shù)學思考的水平.

4.3 培養(yǎng)思維能力,形成數(shù)學素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出“數(shù)感”“符號意識”“幾何直觀”“推理能力”“運算能力”等10 個核心詞,《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》又提出數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析這六個數(shù)學學科核心素養(yǎng),學生的數(shù)學素養(yǎng)是多種能力及意識的綜合表現(xiàn),這要求我們在教學中要通過一個個數(shù)學探究、數(shù)學實驗、數(shù)學應(yīng)用等逐漸培養(yǎng)能力,形成學生的數(shù)學素養(yǎng).具體到解題教學中,教師要專研教材,創(chuàng)設(shè)開放性問題,一題多變,一題多解,多解歸一,這有助于培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性、嚴密性、創(chuàng)造性和批判性.