于欣琪 韓腸

柯西不等式是一個非常重要的不等式，它在證明命題、求函數(shù)最值等方面有著廣泛的應用.尤其在求解最值問題時，巧妙地運用柯西不等式及其變形式，能夠快速、準確地獲得問題的答案.本文重點談一談柯西不等式在求函數(shù)最值問題中的應用.

設 a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn? 是實數(shù)，則（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，當且僅當 bi=0（i =1，2， …，n）或存在一個數(shù) k ，使得 ai=kbi （ k 為常數(shù)，i =1，2， …，n）時，等號成立.該不等式稱為一般形式的柯西不等式.

若 a，b，c，d 都是實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥ （ac + bd）2，當且僅當 ad =bc時，等號成立.上述不等式稱為二維形式的柯西不等式.運用柯西不等式求最值的關(guān)鍵是觀察、分析所給式子的特點，使之轉(zhuǎn)化為可以應用柯西不等式的形式.

例1.已知不等式|x +a|<b 的解集為{x|2<x <4}.

（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值;

（Ⅱ）求? +? 的最大值.

解：（Ⅰ） ，（過程略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得? +? =? + ，將其變形可得?? +1 ?，

根據(jù)柯西不等式得（ ?? +1 ? ）2≤ [（）2+12]? （ ）2+ 2 =4× 4= 16，

當且僅當? =???? 即 t =1 時等號成立，此時 +? 的最大值為4.

本題主要考查柯西不等式的應用.將目標式? +? 構(gòu)造成“ a ?b+c? d ”的形式，并保證 “ b2+d2”為常數(shù)，構(gòu)造出與柯西不等式相符的形式，便能快速求得最值.

例2.已知 a >0，b >0，c >0，函數(shù) f（x）=|x +a|+ |x -b|+c 的最小值為4.

（Ⅰ）求實數(shù) a +b +c 的值;

（Ⅱ）求 a2+? b2+c2的最小值.

解：（Ⅰ）a +b +c =4.（過程略）

（Ⅱ）根據(jù)柯西不等式得（ a2+? b2+c2）×（4+9+ 1）≥ （ ×2 +? ×3 +c ×1）2=（a +b +c）2，

由（Ⅰ）知 a +b +c =4，

則（ a2+? b2+c2）×（4+9+ 1）≥ 16，

即 a2+? b2+c2≥? ，

當且僅當2a =3b =c，即 a =? ，b =? ，c =? 時，等號成立，

所以 a2+ b2+c2的最小值為? .

要求得最值，需從問題（Ⅰ）中所得結(jié)論和目標式兩個方面進行分析.在解題時要把握兩點：（1）a +b+c為常數(shù)，（2） a2+ b2+c2的結(jié)構(gòu)特征，由目標式是3個平方項之和，構(gòu)造出與柯西不等式相符的形式，從而求得最值.

例3.設x，y，z∈ R，且 x +y +z =1 .

（Ⅰ）求（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值;

（Ⅱ）若（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥? ，證明：a ≤-3或 a ≥-1.

（Ⅰ）解：根據(jù)柯西不等式得（12+ 12+ 12）[（x -1）2+ （y +1）2+（z +1）2]≥（x -1 +y +1 +z +1）2=4，

整理得（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2≥? ，

當且僅當 x -1 =y+1 =z+1，

即 x =? ，y =-? ，z =- 時，等號成立，

所以（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值為? .

（Ⅱ）證明：根據(jù)柯西不等得

（12+ 12+ 12）[（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2]

≥（x -2 +y -1 +z -a）2=（2+a）2，

整理得（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥ 3 ，

當且僅當 x -2 =y -1 =z -a，

即 x =? ，y =? ，z =? 時，等號成立，

所以（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2的最小值為（2+a）2

由題設知（2+a）2≥ 1

解得 a ≤-3或a ≥-1，故得證.

本題考查了運用柯西不等式求最值的方法以及運用柯西不等式證明不等式的方法.合理構(gòu)造柯西不等式是解題的關(guān)鍵.在解題時，還需巧妙地利用“任何數(shù)乘1都得任何數(shù)”這一性質(zhì).

可見，若能合理地運用柯西不等式，一些比較復雜的最值問題就能迎刃而解.在運用柯西不等式求最值時，要學會運用一些輔助技巧，如配湊系數(shù)、“1”的代換、添減項等，構(gòu)造出與柯西不等式相符的式子.在求得最值后，要注意檢驗柯西不等式中等號成立的條件，即當且僅當?shù)忍柍闪r，目標式才能取得最大值或最小值.

（作者單位：齊齊哈爾大學理學院）