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        柯西不等式的幾點(diǎn)注記

        2018-11-28 03:21:16
        關(guān)鍵詞:利用數(shù)學(xué)

        陳 明

        (遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,貴州遵義563006)

        1 柯西不等式及其證明

        證一:利用構(gòu)造二次函數(shù)證明

        反之,若兩組數(shù)(ai)與(bi)成比例,兩邊相等。[1]

        證二:利用作差法證明

        證三:利用向量?jī)?nèi)積證明

        利用向量?jī)?nèi)積證明

        證四:利用均值不等式證明

        式中A>0,B>0,則(1)即

        下面證明不等式(3),由均值不等式

        將以上各式相加,得

        證五:利用數(shù)學(xué)歸納法證明

        即n=k+1時(shí),不等式也成立

        2 柯西不等式的各種形式

        柯西不等式有各種各樣的類型,在不同的數(shù)學(xué)分支中都有著極其廣泛的應(yīng)用。在不同的數(shù)學(xué)分支它有不同的形式和內(nèi)容,但其本質(zhì)是不變的,這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各分支間的關(guān)聯(lián)性、滲透性和統(tǒng)一性。下面列出柯西不等式在數(shù)學(xué)四個(gè)基礎(chǔ)分支的不同表達(dá)形式。[5]

        (1)微積分學(xué)中的柯西不等式

        對(duì)于[a,b]區(qū)間上的任意可積實(shí)函數(shù)?(x),g(x),均有

        (2)代數(shù)學(xué)中的柯西不等式

        (3)泛函分析中的柯西不等式[3]

        (4)概率論中的柯西不等式[3]

        3 柯西不等式的應(yīng)用

        3.1 最值方面的應(yīng)用

        解:由柯西不等式得:

        3.2 在證明不等式方面的應(yīng)用

        證 由柯西不等式,有

        兩式相加,得

        當(dāng)n=2時(shí),上不等式為

        其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=kb1,a2=kb2時(shí)成立。

        不等式(2)揭示了三角形中兩邊之和大于第三邊這一基本性質(zhì)(當(dāng)三角形退化為三頂點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))。不等式(1)是不等式(2)的推廣,因此獲“三角形不等式”這一名稱。

        3.3 在解決等式、方程等問(wèn)題上的應(yīng)用

        證明:由柯西不等式:

        3.4 在幾何上的應(yīng)用

        求證:點(diǎn)P(x0,y0)到直線L:Ax+By+C=0的距離是:

        證明 設(shè)Q(x1,y1)是直線L:Ax+By+C=0上任一點(diǎn),則

        由柯西不等式知

        此非嚴(yán)格不等式中的等號(hào)僅在B(x1-x0)=A(y1-y0)即PQ⊥L時(shí)成立。

        靈活運(yùn)用柯西不等式,可使解題更加方便,快捷。因此,柯西不等式在數(shù)學(xué)理論中占有非常重要的地位。

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