廣西南寧三中(530021) 王強芳

對兩道柯西不等式問題的困惑與解惑

廣西南寧三中(530021) 王強芳

筆者在競賽輔導時選講了如下題目,

分析1 由于三個被開方數(shù)的和是常數(shù),可考慮直接使用柯西不等式,則

證明失敗!

分析2 如果將變?yōu)檫@時后面部分式子的三個被開方數(shù)的和也是常數(shù),由柯西不等式得

證明成功!

分析3 如果考慮后面兩項利用關系,則得

分析4 如果將原式子變?yōu)橛煽挛鞑坏仁?/p>

上面幾種方法中,第一種是直接使用柯西不等式,結果失敗了,后面三種都是局部使用柯西不等式而保留變量x,最后利用函數(shù)的單調性使得證明成功!為什么會出現(xiàn)這些問題?但是如果我們作以下的變形再直接使用柯西不等式會出現(xiàn)：

分析5由柯西不等式

這種證明方法就成立!這就是我們解這道題的困惑!

題目2(2009聯(lián)賽15)求函數(shù)的最大值和最小值.(先討論最大值的情形)分析1直接使用柯西不等式,則有

分析2由柯西不等式

即y≤11.當且僅當4x=9(13-x)=x+27,x=9y取得最大值11.顯然11＜.兩種解法結果不同,至少有一個是錯誤的！當我們對三個根號配不同的系數(shù)且保證三個被開方數(shù)的和是常數(shù),肯定會得到不同的結果,究竟哪一種解法是對的呢?下面通過對題2的解答來回答這個疑問.

證法1 由柯西不等式,考慮正數(shù)λ,μ使得：

等號成立的充要條件是

由②消去x得

為使得 ①的右端與x無關,令1-λ+μ=0,可得到滿足 ③的一組整數(shù)解λ=3,μ=2,將它們代入 ①得到y(tǒng)2≤121,即y≤11.由柯西不等式等號成立的條件得4x=9(13-x)=x+27,解得x=9,故當x=9時等號成立,故y的最大值是11.

用同樣方法可處理題1而不會犯錯誤!而前面解法1失敗原因在于取最值時,當不等式取等號時所得的方程中,該方程無實數(shù)解.

從以上兩個問題的解答中,用柯西不等式解答其實際上都是構造兩列數(shù)(即構造兩個已知向量,并且每個向量的模都是定值),但構造的形式不同導致其結果就不同.如果遇到類似的問題要用柯西不等式解題,怎么配系數(shù)?有什么規(guī)律?上面使用的配方法已經(jīng)回答了這個問題.

當然,題目2還有下面的方法.比如,

證法2 易見,y(x)的定義域為[0,13],并且

顯然y′在定義域內單調遞減,即y′在定義域之內至多有一個零點.又x=9時,y′=0即函數(shù)只有唯一的駐點x=9.比較x=0,x=9,x=13時的函數(shù)值,知x=0時,;當x=9時,y=11;當x=13時,而.所以, y的最小值為;y的最大值為y(9)=11.

以下我們再來考慮題目1的其它證法.

證法2 由柯西不等式得：

從而,

證法3取λ,μ∈R+且滿足λ+2μ=3,則由柯西不等式得

證法5

又由基本不等式知

由上文的例子可見,在應用柯西不等式解題中,常常由于選擇系數(shù)不當而導致錯誤,而配方法可以引領我們走出誤區(qū)!