福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

五個(gè)函數(shù)的不等關(guān)系及其應(yīng)用

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一、五個(gè)函數(shù)的不等關(guān)系及其證明

函數(shù)y=x2-x,y=xlnx,y=x-1,y=lnx, y=1-在x＞0時(shí)存在這樣的不等關(guān)系：x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).其證明如下.

1.證明x-1≥lnx.

證明：令f(x)=x-1-lnx(x＞0),f′(x)=1-,令f′(x)=0得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)＞0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;故f(x)的最小值為f(1)=0,即f(x)≥0.因此有x-1≥lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

2.證明xlnx≥x-1.

證明：令f(x)=xlnx-x+1(x＞0),f′(x)=lnx,令f′(x)=0得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)＞ 0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;故f(x)的最小值為f(1)=0,即f(x)≥0.因此有xlnx≥x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

3.證明x2-x≥xlnx.

由x-1≥lnx,兩邊同時(shí)乘以x,得x2-x≥xlnx.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

4.證明lnx≥1-.

綜合上述分析,有x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).其圖像如圖1.從圖像可以看到,直線y=x-1將它們隔開(kāi),是它們?cè)趚=1處的切線.

圖1

二、應(yīng)用

例1.求不等式x2(4x-3-6lnx)＞1的解集.

解析由已知有,即

令

即求f(x)＞f(1)的解集.

即f′(x)=x2-x-xlnx.由上述不等關(guān)系可知f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因此不等式f(x)＞f(1)的解集即為{x|x＞1}.

評(píng)析由已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列變形,構(gòu)造出可導(dǎo)函數(shù),結(jié)合不等關(guān)系x2-x≥xlnx判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),從而判斷出原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而借助單調(diào)性求出自變量取值范圍.

例2. 函數(shù)f(x)=alnx-x+1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求所有實(shí)數(shù)a的值.(3)證明：, n＞1,n∈N+.

解析(1)x＞0,f′(x)=.

若a≤0,則f′(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

若a＞0,令f′(x)=0,得x=a.

當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)＞0,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)＜0,f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞減;

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)a＞0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,+∞),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a).

(2)由第(1)問(wèn)可知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又f(1)=0,故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)＞0,與f(x)≤0矛盾.

當(dāng)a＞0時(shí),因?yàn)閒(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(a)=alna-a+1.由已知有alna-a+1≤0.令f(a)=alna-a+1,a＞0.由上述不等關(guān)系可知f(a)≥0.故f(a)=0,a=1.

(3)由第(2)問(wèn)可知,f(x)=lnx-x+1≤ 0,即lnx≤x-1,x＞ 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).要證即證2lnn＜n2-1,即證lnn2＜n2-1.其中n＞1,n∈N.令x=n2,x＞0,轉(zhuǎn)化為證lnx＜x-1.由上述分析可知該不等式顯然成立.故原不等式成立.

評(píng)析本題在對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx和一次函數(shù)y=x-1的基礎(chǔ)上巧妙構(gòu)造出新的函數(shù)f(x)=alnx-x+1,借助a的不確定性增加試題難度.第(2)步中令f(a)=alna-a+1,是以a為自變量的一個(gè)函數(shù),等同于f(x)=xlnx-x+1,借助上述不等關(guān)系可得f(a)≥0,又題目告知f(a)≤0,故只能是f(a)=0,從而求出a=1.第(3)步借用第(2)步的結(jié)論可以得到lnx≤x-1,事實(shí)上,不借助第(2)步的結(jié)論,直接運(yùn)用上述不等關(guān)系同樣能夠求解.另外,對(duì)于第(2)步,要求a的值,還可以采用分離變量轉(zhuǎn)化為求新的函數(shù)的最值的方來(lái)做,在這過(guò)程中,借助不等關(guān)系lnx≥1-可迅速求解.

由alnx-x+1≤0,得alnx≤x-1.

若x=1,則a·0≤0,a∈R.

故a≥1.

分析ln(n+1)可以看成是正項(xiàng)數(shù)列{ln(n+1)-lnn},

例4.已知函數(shù)f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

分析以恒成立問(wèn)題為載體求參數(shù)的取值范圍,可以考慮采用分離變量轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的方法來(lái)做.

解析由已知有,當(dāng)x≥1時(shí)x2lnx-a(x2-1)≥0恒成立.

當(dāng)x=1時(shí),該不等式成立,故a∈R.