福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 鄭定華

平面多邊形面積的最大值

福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 鄭定華

在我校2016屆高三的一次數(shù)學(xué)模擬考中,一道看似并不起眼的試題,而答題結(jié)果卻一敗如水,這是為什么呢?

題目已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側(cè)),且AB=3,BC=5,CD=6,DA=4,則四邊形ABCD面積S的最大值為( )

究因這是一道已知四邊形的四條邊長(zhǎng),求其面積的最大值問(wèn)題,答案是C.解該題時(shí),入口單一,只能用直接法求解;思路難找,對(duì)學(xué)生的分析與綜合,轉(zhuǎn)化與化歸等能力的要求都較高;技巧性強(qiáng),解答中有頗多的曲折地方,分明就是一道以選擇題形式包裝的綜合題,挑戰(zhàn)題,難怪學(xué)生折戟.

圖1

思考平面四邊形面積的最大值能否由其四條邊長(zhǎng)來(lái)表示?此時(shí)的四邊形又有何特點(diǎn)?

結(jié)論1 在平面四邊形ABCD中,AB=a,BC=b, CD=c,DA=d,p=(a+b+c+d),則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ),即其四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),這個(gè)四邊形的面積取得最大值,此時(shí)

證明如圖1,在△ABC和△ADC中,由余弦定理得AC2=a2+b2-2abcosB=c2+d2-2cdcosD

又平面四邊形ABCD的面積S=S△ABC+S△ADC=,所以

注在四邊形ABCD中,若邊AD退化為一點(diǎn)A,則d=0,就得三角形面積的海倫公式

推論周長(zhǎng)為定值的四邊形中,正方形的面積最大.

證明設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為定值1,其四條邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,d,則p=(a+b+c+d)=,由結(jié)論1知

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí),①式等號(hào)成立.又因?yàn)?/p>

綜上知,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)且四邊相等,即這個(gè)四邊形為正方形時(shí),面積最大.

平面n邊形也有類(lèi)似的美妙性質(zhì)

結(jié)論2 對(duì)于平面n邊形A1A2···An(n≥4,n∈N),當(dāng)且僅當(dāng)其n個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),面積最大.

證明(1)當(dāng)n=4時(shí),由結(jié)論1知,結(jié)論2成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4,k∈N)時(shí),結(jié)論2成立,即對(duì)于平面k邊形A1A2···Ak(k≥4,k∈N),當(dāng)且僅當(dāng)其k個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),面積最大.下面證明：

對(duì)于k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N),當(dāng)且僅當(dāng)其k+1個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),面積最大,用反證法.

假設(shè)k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N)的面積最大時(shí),其k+1個(gè)頂點(diǎn)不共圓,則兩組頂點(diǎn)A1A2···Ak和A2···AkAk+1中,至少有一組不共圓.

不妨設(shè)A1A2···Ak不共圓,由歸納假設(shè)知,此時(shí)的k邊形A1A2···Ak的面積不會(huì)最大.保持各邊長(zhǎng)不變,A1Ak邊不動(dòng),適當(dāng)調(diào)整各個(gè)內(nèi)角的大小,當(dāng)頂點(diǎn)A1,A2,···,Ak共圓時(shí),k邊形A1A2···Ak的面積最大,此時(shí)的k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N)的面積就比原來(lái)的面積大,這與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,由此知,對(duì)于k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N),當(dāng)且僅當(dāng)其k+1個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),面積最大.

根據(jù)(1)和(2),對(duì)一切n≥4,n∈N,結(jié)論2成立.

由結(jié)論2還易知有如下的推論：

推論邊長(zhǎng)相等的n邊形以正n邊形的面積最大.

應(yīng)用

用結(jié)論1解我校試題：

例1(河北省衡水中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題(理))已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側(cè)),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,則四邊形ABCD面積S的最大值為( )

例2 把一條長(zhǎng)為1的鐵絲圍成一個(gè)四邊形,則這個(gè)四邊形面積的最大值為_(kāi)__.

解由結(jié)論2知,當(dāng)且僅當(dāng)所圍成的四邊形是正方形時(shí),其面積最大,此時(shí)的邊長(zhǎng)為,其最大面積為.