亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        利用曲線的切線解題

        2017-04-05 05:21:47廣東省中山紀念中學528454李文東
        中學數(shù)學研究(廣東) 2017年5期
        關(guān)鍵詞:切點切線交點

        廣東省中山紀念中學(528454) 李文東

        利用曲線的切線解題

        廣東省中山紀念中學(528454) 李文東

        切線是曲線割線的極限位置,它反映了曲線的局部的幾何性質(zhì).如果我們能夠利用曲線的切線與曲線的幾何位置關(guān)系,則能為我們的解題帶來極大的方便,本文舉例加以說明,展示切線的作用.

        一、利用切線構(gòu)造函數(shù)不等式

        我們知道:若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凸函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點處的切線位于函數(shù)f(x)圖像的上方(除切點外);若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點處的切線位于函數(shù)f(x)圖像的下方(除切點外).

        例1.考慮函數(shù)y=ex在x=0處的切線:y=x+1,結(jié)合函數(shù)y=ex為凹函數(shù)可得不等式:ex≥x+1,當且僅當x=0時取等號;進而可得ln(x+1)≤x,當且僅當x=0時取等號.又如考慮函數(shù)y=xlnx在x=1處的切線:y=x-1,結(jié)合函數(shù)y=lnx為凹函數(shù)可得不等式:xlnx≥x-1,即≤lnx,當且僅當x=1時取等號;從而有≤ln(x+1),當且僅當x=0時取等號.于是可得經(jīng)典不等式:≤ln(x+1)≤x,當且僅當x=0時取等號.

        又如函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=tanx在x=0處的切線:y=x;在區(qū)間上,函數(shù)y=sinx為凸函數(shù),函數(shù)y=tanx為凹函數(shù),故有不等式:若,則 sinx<x<tanx.

        二、利用切線證明不等式

        例2.已知a+b+c=1,求證:.

        例3.(2013全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時,證明f(x)>0.

        證明函數(shù)y=ex在x=1處的切線方程為y=x+1,從而有ex≥x+1,等號當且僅當x=0時成立;而函數(shù)y=ln(x+m)在x=1-m處的切線方程為y=x+m-1,函數(shù)y=ln(x+m)為凸函數(shù),從而ln(x+m)≤x+m-1,等號當且僅當x=1-m時成立;因為m ≤ 2,故ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex,等號不同時成立,從而ln(x+m)<ex.

        三、利用切線討論函數(shù)零點個數(shù)問題

        例4.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R),討論方程f(x)=0解的個數(shù),并說明理由.

        解方程 f(x)=x2-alnx=0的解的個數(shù) ??x2=alnx的解的個數(shù) ??函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像交點的個數(shù).設(shè)函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx在點P(x0,y0)處有相同的切線(公切線),則,從而a=e.作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y=elnx的圖像如圖所示,它們在點處相切.由此可見:當a∈[0,e)時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像無交點,方程f(x)=0無解;當a<0或a=e時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有一個交點,方程f(x)=0有惟一解;當 a>e時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有兩個交點,方程f(x)=0有兩解.

        圖1

        四、利用切線求參數(shù)的取值范圍

        例5.設(shè)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)-k|x|=0有三個不等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是( )

        A. (e,2e) B. (e,+∞) C. (1,e) D. (-2e,e)

        解方程f(x)-k|x|=0有三個不等的實數(shù)根 ?? 函數(shù)f(x)圖像與函數(shù)y=k|x|圖像有三個交點.作出它們的圖像如圖所示,可以看出,當x<0時,若y=k|x|=-kx圖像位于曲線y=-x2-2ex在x=0處的切線y=-2ex的下方,即-k>-2e時,在y軸左側(cè)總有一個交點;而當x≥0時,若y=k|x|=kx圖像位于曲線y=ex過原點的切線y=ex的上方,即k>e時,在y軸右側(cè)總有兩個交點.綜上,所求實數(shù)k的取值范圍為e<k<2e.

        圖2

        五、利用切線求最值

        例6. 直線y=a分別與曲線y=x2-lnx和直線y=x-2交于點P,Q,則|PQ|最小值為( )

        解如圖3,過點P作PM垂直直線y=x-2于點M,由于直線y=x-2的傾斜角為45°,故|PQ|=|PM|,從而只需求出曲線y=x2-lnx上的動點P到直線y=x-2的距離的最小值.我們將直線y=x-2平移至與曲線 y=x2-lnx相切時,切點P即為所求.于是y′=2x-=1=? x=1,即P(1,1),從而.

        圖3

        猜你喜歡
        切點切線交點
        圓錐曲線的切線方程及其推廣的結(jié)論
        拋物線的切點弦方程的求法及性質(zhì)應用
        切線在手,函數(shù)無憂
        閱讀理解
        一種偽內(nèi)切圓切點的刻畫辦法
        過圓錐曲線上一點作切線的新方法
        借助函數(shù)圖像討論含參數(shù)方程解的情況
        試析高中數(shù)學中橢圓與雙曲線交點的問題
        青年時代(2017年3期)2017-02-17 01:40:47
        橢圓的三類切點弦的包絡(luò)
        指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)圖象的交點的探究性學習
        一个人看的www免费视频中文 | 国产亚洲精品国看不卡| 蜜桃视频一区二区三区| 丰满人妻一区二区三区视频| 亚洲综合国产一区二区三区| 欧美在线日韩| 日韩精品高清不卡一区二区三区| 免费人成视频网站在线不卡| 日日碰狠狠添天天爽| 亚洲区小说区图片区qvod伊| 韩国日本在线观看一区二区| 亚洲中文久久精品字幕| 亚洲日韩av无码中文字幕美国 | 中文字幕人妻熟女人妻洋洋 | 真实夫妻露脸爱视频九色网 | 极品人妻被黑人中出种子| 老外和中国女人毛片免费视频| 日本韩国一区二区三区| 精品国模人妻视频网站| 国产在线第一区二区三区| 国内a∨免费播放| 亚洲xx视频| 在教室轮流澡到高潮h免费视| 亚洲图片日本视频免费| 国产成人精品午夜福利在线 | 亚洲精品久久视频网站| 国产白嫩护士被弄高潮| 精品视频入口| 在线亚洲精品一区二区三区 | 国产无码swag专区| 在线高清亚洲精品二区| 夜夜爽日日澡人人添| 狠狠久久亚洲欧美专区| 青青自拍视频成人免费观看| 韩国av一区二区三区不卡| 久久久久久久久久久国产| 久久er这里都是精品23| 喷水白浆视频在线观看| 无码人妻精品一区二区在线视频| 国产精品每日更新在线观看| 亚洲一区二区自偷自拍另类|