廣東省廣州市協(xié)和中學(xué)(510160) 葉超

圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題的兩個(gè)推廣

廣東省廣州市協(xié)和中學(xué)(510160) 葉超

圓錐曲線有關(guān)的焦點(diǎn)弦問題備受命題人關(guān)注,因該問題往往可以聯(lián)系到直線的傾斜角,離心率,向量定比分點(diǎn),弦長等有關(guān)知識(shí)點(diǎn),能夠很好地考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,方程思想.筆者根據(jù)一道高二文科數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)卷的考題,在經(jīng)歷閱卷,講評(píng),反思后生成了相關(guān)問題的兩個(gè)推廣.

試題再現(xiàn)設(shè)橢圓C:=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°,.求橢圓C的離心率.

解法1(通法)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),依題意知F(c,0),直線l的方程為y=(x-c).聯(lián)立

消去x得

由韋達(dá)定理知

點(diǎn)評(píng)該問題屬于典型的直線與圓錐曲線相交的綜合問題,班里多數(shù)學(xué)生能夠走完聯(lián)立方程組,羅列韋達(dá)定理一套規(guī)定動(dòng)作.然而,在考試時(shí)未能及時(shí)地通過向量等量關(guān)系,理順點(diǎn)A與點(diǎn)B縱坐標(biāo)之間關(guān)系,導(dǎo)致無法得出a,b,c的等式.也有少數(shù)同學(xué)因運(yùn)算能力有待提高,未能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)求得正確結(jié)果.

解法2 (幾何法)如圖1設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn),連結(jié)AF1,BF1,依題意知∠AFF1=60°,∠BFF1= 120°.設(shè)|BF|=k(k＞0),那么|AF|=2k.由橢圓定義知,|AF1|=2a-2k, |BF1|=2a-k.在△AFF1中應(yīng)用余弦定理有4(a-k)2= 4k2+4c2-2×2c×2k×cos60°整理得

圖1

同理,在△BFF1中應(yīng)用余弦定理可以得到

小結(jié)圓錐曲線的離心率的取值問題多見于高考的選填題或是解答題第1問,解答此類問題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列出a,b,c的齊次等式或者不等式,并消去b,化為只含離心率e的式子,方能求解離心率的取值.解法2利用了橢圓的定義以及余弦定理來溝通焦點(diǎn)三角形的邊角關(guān)系,可以有效減少坐標(biāo)法運(yùn)算帶來的不便,原理簡易,數(shù)與形相結(jié)合,學(xué)生樂于接受.若改變直線的傾斜角或向量的等量關(guān)系,亦或?qū)E圓換成雙曲線,又需重復(fù)上述類似工作,難免心生遺憾.

問題的推廣1

解法1 如圖 2,過點(diǎn)A作AD⊥x軸,垂足記作 D.根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義知,|AF|= d1×e,而d1=-c+ |AF|cosθ,代入上式,得到|AF|==. 同理,算得|BF|=.

圖2

解法2 連結(jié)AF1,BF1,設(shè)|BF|=k(k＞0),那么|AF|=λk.由橢圓定義知,|AF1|=2a-λk,|BF1|=2a-k.在△AFF1中應(yīng)用余弦定理有,(2a-λk)2=λ2k2+4c2-2×2c×λk×cosθ,整理得,

同理,在△BFF1中應(yīng)用余弦定理可以得到

問題的推廣2

解如圖3,過點(diǎn)A作 AD⊥x軸,垂 足 記 作D.根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義知,|AF|= d1×e, d1=|AF|cosθ+c-,帶入上式,可得 |AF|=,同理,|BF|=.

圖3

化簡得

進(jìn)一步有雙曲線的焦點(diǎn)弦長公式|AB|=|AF|+|BF|=.

兩個(gè)重要結(jié)論設(shè)橢圓C:=1(a＞b＞0)(或雙曲線E:=1(a＞0,b＞0))的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與橢圓C(或雙曲線E)相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為θ,(λ＞0且λ/=1).則

對(duì)于上述離心率公式,三個(gè)量e,λ,θ知二求一.特別地,當(dāng)直線l的傾斜角θ=90°,通徑|AB|=也成立.

[1]劉金平,由橢圓焦點(diǎn)弦問題導(dǎo)出的兩個(gè)重要公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016,11.