)正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具,也是高考的必考知識點.針對正弦定理和余弦定理的應(yīng)用進(jìn)行分析和總結(jié),可以將題型分為已知三角形的部分邊和角解三角形、給出三角形的邊角關(guān)系解三角形兩種類型.在解題過程中,有些題目只能使用正弦定理,有些只能使用余弦定理,還有一些可以同時使用正弦定理和余弦定理,也有些題目要先使用正弦定理后使用余弦定理,或者先使用余弦定理再使用正弦定理.解題關(guān)鍵在于恰當(dāng)選擇解題方法,不同的選擇會導(dǎo)致解題難度的不同,甚至可能無法得到準(zhǔn)確的結(jié)果.

定理求解和用余弦定理求解之間的等效性,文[2]提到了用方程的思想來求解三角形,文[3]討論了正余弦定理的獨立性,但論述不夠完整,應(yīng)當(dāng)由正余弦定理的6 個公式中的任意2個,都能推導(dǎo)出其余的4 個公式. 在數(shù)學(xué)教育越來越關(guān)注學(xué)生核心素質(zhì)的時代,對理論的深入探索也應(yīng)當(dāng)受到大家的關(guān)注.從解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三條邊三個角,共有6 個變元,需要有6 個獨立的方程才能解出. 我們知道至少要知道3 個變元值(三邊、兩邊一

開正弦定理、余弦定理，這兩個定理恰似兩兄弟，解題緊相隨。點評 題目已知兩個條件，不能具體求出三角形的三邊長，可將a，b分別用c表示，再利用余弦定理求值。點評 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形ECB。由于點A不與E重合，也不與F重合，因此等號不成立。點評 判斷三角形的形狀，主要有兩種途徑：利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，通過因式分解或配方得到邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀;利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系，通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的

=2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c）.正、余弦定理在解答有關(guān)三角形問題中應(yīng)用廣泛.下面結(jié)合實例來談一談如何運用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積.一、利用正、余弦定理解三角形在解三角形問題時，經(jīng)常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解兩類解三角形問題：（1）已知三角形的任意兩

九章第一節(jié)《余弦定理》，由趙艷老師錄制，以培養(yǎng)學(xué)生的方程思想和數(shù)形結(jié)合思想為目標(biāo)，使學(xué)生掌握余弦定理的表示形式和余弦定理的向量證明方法。鼓勵學(xué)生多角度思考問題，探索更多的余弦定理的證明方法，使學(xué)生經(jīng)歷知識遷移的過程，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化與歸結(jié)思想方法的應(yīng)用，即將解一般三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而使學(xué)生掌握余弦定理的本質(zhì)內(nèi)容，即一種解一般三角形的方法。本微課以趙老師設(shè)置問題，學(xué)生開展小組活動開始，培養(yǎng)了學(xué)生合作交流、團(tuán)結(jié)的精神，激發(fā)了學(xué)生的興趣，并使學(xué)

c＝48。由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccosA，則52＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc。故（b＋c）2＝3×48＋52＝196，b＋c＝14。64.（1）由題意知，要使不等式mx2－mx－2＜0恒成立，則：①當(dāng)m＝0 時，顯然－2＜0 成立，所以m＝0時，不等式mx2－mx－2＜0恒成立；②當(dāng)m≠0時，只需，解得－8＜m＜0。綜上，實數(shù)m的取值范圍為（－8，0]。（2）要使對于x∈[1，3]，f（x）＞－m＋2（x－1）恒成立，只需mx2

知道，正弦、余弦定理的主要功能就是解三角形。利用正弦、余弦定理可以求出三角形的邊，也可以求角，這類問題既可能出現(xiàn)在選擇題或填空題中，也可能出現(xiàn)在解答題中。下面我們來通過幾道2021 年的高考真題，來賞析它在解題中的應(yīng)用。一、正弦定理的應(yīng)用例1（2021 年 高考全國甲卷）2020 年12月8 日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一。圖1是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且

述正弦定理和余弦定理搭建了三角形邊和角的橋梁，實現(xiàn)了邊角之間的轉(zhuǎn)化，直接運用它，可以直接求解三角形，靈活地變形并與其他知識結(jié)合，可以解決現(xiàn)實生活中的問題。2 利用正余弦定理解決平面幾何問題圖1 三角形在解決平面幾何問題時，尤其是涉及到三角形，經(jīng)常會同時利用正余弦定理與其他數(shù)學(xué)知識，利用正余弦定理解決平面幾何問題的題目常常在高考中進(jìn)行考查。2.1 判斷三角形的形狀結(jié)語：判斷三角形的形狀，本題使用的是余弦定理，我們在解決這類問題的時候，需要觀察表達(dá)式，正確選擇

目標(biāo)：能推證余弦定理以及應(yīng)用余弦定理解三角形。能力目標(biāo)：通過用幾何法和向量法推導(dǎo)余弦定理，提高學(xué)生對分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，以及培養(yǎng)學(xué)生在已有的知識水平上發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，再由一般到特殊的思維過程中，不斷探索和創(chuàng)新，并能從中體會數(shù)學(xué)美。二、教學(xué)重、難點根據(jù)新課標(biāo)要求和學(xué)生的實際水平確定本節(jié)的重難點如下：重點：探究和證明余弦定理的過程;初步對余弦定理進(jìn)行應(yīng)用。難點：利用向量法證明余弦

隱含條件、正余弦定理、三角形的面積公式、三角變換、三角形中的最值與范圍”等熱點問題展開的，凸顯目標(biāo)意識下的“等價轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用。一、利用三角形中的隱含條件和正弦定理求解三角形例1(2019年高考全國Ⅱ卷文15)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinA+acosB=0，則解析：邊角滿足齊次式，根據(jù)正弦定理把邊化為角，利用輔助角公式化為一個角的三角函數(shù)，結(jié)合角的隱含條件定角。由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0。因為

要】 ?應(yīng)用余弦定理解三角形，其本質(zhì)是將“三角形”問題轉(zhuǎn)換為討論一元二次方程解的問題。對于出現(xiàn)一正一負(fù)解和兩正解，本文詳細(xì)地講解了檢驗的原則， 而且對方程解的正負(fù)性與三角形的關(guān)系給出了解釋。最后對于用正弦定理判斷解三角形個數(shù)問題上，本文也嘗試用余弦定理來解釋?！娟P(guān)鍵詞】 ?余弦定理一元二次方程韋達(dá)定理【中圖分類號】 ?G633.6 ?? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 ?A?【文章編號】 ?1992-7711（2019）14-055-02

積為,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA。則36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12。所以(b+c)2=48,即b+c=4 3。所以△ABC的周長a+b+c=6+4 3。62.(1)cos2A+cos2C-cos2B=1-sin2A+1-sin2C-1+sin2B=1-sinAsinC。故sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC。由正弦定理可得b2=a2+c2-ac。由余弦定理可得：(2)由余弦定理可得b2=

劉鄧輝正、余弦定理將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積,其外接圓、內(nèi)切圓的半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)。在利用正、余弦定理解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時,則兩個定理要珠聯(lián)璧合,有可能都會用到。一、求三角形的基本量例1(2015·安徽卷)在△ABC

單談一談用正余弦定理解題的幾種常用技巧。一、正弦定理正弦定理通常能解決的問題是：（1）已知兩角及任意一邊，求其它邊角；（2）已知兩邊及一邊的對角，求其它邊角；（3）已知對邊對角，求三角形外接圓的半徑、周長、面積等。在這里主要談以上幾種以外的常用技巧。1.邊化角案例1 △ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，求角B。左右兩邊用正弦定理把邊換成相對角的正弦后，兩邊的2R可以約掉，相當(dāng)于把邊換成了角。以后為了簡便書寫，還可以直接寫“由正弦定理得”

教師在進(jìn)行正余弦定理教學(xué)時，可以按照學(xué)生對知識的接受順序?qū)ζ溥M(jìn)行有效的教學(xué)。首先，在內(nèi)容傳授之前有效地幫助學(xué)生對新知識進(jìn)行認(rèn)識，增強(qiáng)與內(nèi)容的熟悉感；其次，在進(jìn)行知識的教學(xué)過程中可以以試題為載體，通過題目的考查實現(xiàn)對知識的掌握；最后，在學(xué)生對知識進(jìn)行了解和掌握之后，教師需及時組織學(xué)生進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)。通過三方面的結(jié)合幫助學(xué)生有效掌握正余弦定理的知識。一、教師對學(xué)生預(yù)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)在任何學(xué)科的教學(xué)活動中，學(xué)生可以通過對新知識的預(yù)習(xí)實現(xiàn)在課堂上對教師授課內(nèi)容的有

2+bc。由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-。又A為△ABC的內(nèi)角,所以A=120°。故sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=sin B=sin(60°+B),故當(dāng)B=30°時,sinB+sinC取得最大值1。18.C 19.A21.D 22.B 23.C 24.D 25.A 26.D 27.C29.C二、填空題三、解答題50.(1)因為acosB=(3c-b)cosA ,所以由正弦定理得sinAcosB=(3sin

黃一淼一、余弦定理二、對余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立。(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”、“夾角”、“余弦”。(3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。(4)主要用途:余弦定理的主要用途是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化。三、余弦定理的應(yīng)用1.已知三角形的兩邊及其夾角,解三角形解析：由余弦定理得:故C=180°-A-B=75°。方法總結(jié)：已知三角形的兩邊及其夾角,

,b,c,由余弦定理得:在△ABD 中,因為AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。點評:正、余弦定理的應(yīng)用原則:(1)解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到。(2)三角形解的個數(shù)的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊

10000)余弦定理是平面幾何基本定理之一，早在公元前三世紀(jì)，歐幾里得在《幾何原本》中首先提出了余弦定理的原始形式.經(jīng)過了長時間的演變，余弦定理如今發(fā)展出多種證明方法，為我們提供了多種角度去看待余弦定理，從中誕生出了更多的可能性.本文主要討論的是余弦定理在高維空間和曲面上的推廣.一、低維余弦定理基于普遍意義上的二維余弦定理(定理1)：a2+b2-2abcosθ=c2，推廣到三維空間(即三維余弦定理)，證明如下：對于任意三角錐O-ABC，其四個面面積分別為S

明：一、巧用余弦定理證明三元無理不等式證明:構(gòu)造一個三棱錐S-ABC，使∠ASB=∠BSC=∠CSA=60°，SA=x,SB=y,SC=z,AB=證明：在平面上任取一點A,作∠OAB=∠OAC=60°，取AB=x,OA=y,AC=z，連接BO,OC,BC,在ΔOAB,ΔOAC,ΔABC中由余弦定理可知BO=二、方法的推廣2.推廣：設(shè)x,y,z為正數(shù)，α,β,γ∈(0,π)且α證明：(1)當(dāng)α+β+γ=2π時,在平面上任取一點O，作∠AOB=α,∠BOC=β

高中數(shù)學(xué)中三余弦定理的解析◆李正陽在高中所學(xué)的學(xué)科中，數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生對實際生活的的問題進(jìn)行解決。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯能力，讓高中生能在多方面對問題進(jìn)行思考。三余弦定理是高中數(shù)學(xué)中重要的組成部分。本文就高中數(shù)學(xué)中三余弦定理進(jìn)行了深入分析。高中數(shù)學(xué)；三余弦定理；解題方式一、三余弦定理的相關(guān)概念如果平面之外的一條斜線和平面形成的角是θ1，平面中任意一條直線和這條斜線形成的銳角或者直角為θ，這條直線和這個斜線在平面中的射影形成的銳角或者視角為

摘要：本文將余弦定理，由線段概念，擴(kuò)展到圖形概念。余弦定理及勾股定理僅是廣義余弦定理的特例。關(guān)鍵詞：廣義余弦定理；廣義勾股定理本文目的是：擴(kuò)充余弦定理的含義和使用，眾所周：知△ABC中有余弦定理：它的幾何解釋是：以 為邊的正方形，等于以 為邊的正方形與以 為邊的正方形之面積之和，減去以 為邊的矩形面積的2cosC倍.若在a，b，c三邊，任意作三個相似的圖形，如下圖設(shè)它們的面積分別為 則有定理：…⑴若以三角形的三邊長，分別作正n邊形則，∠C所對邊的正n邊形的

學(xué)高中數(shù)學(xué)中余弦定理的解析肖茜文 湖南省長沙市南雅中學(xué)余弦定理和正弦定理在運用的過程中，通常是和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，通過余弦和正弦的定義以及使用特點，求出關(guān)于三角形邊角以及面積的函數(shù)關(guān)系式。本文主要對余弦定理的特點進(jìn)行了分析，并通過相關(guān)例題的解答，加深學(xué)生對余弦定理的理解，以此使高中學(xué)生全面掌握余弦定理相關(guān)知識點的目的。數(shù)學(xué) 余弦定理 運用余弦定理主要是對三角形當(dāng)中三條邊的長度與一個邊角的余弦值的關(guān)系進(jìn)行分析的一種數(shù)學(xué)思維和解題方法。運用余弦定理就可以求出

濤正弦定理與余弦定理的內(nèi)容在新課標(biāo)必修5中，在高考數(shù)學(xué)中，對這一部分內(nèi)容的考查多以解三角形題目的形式出現(xiàn). 近些年高考對這部分內(nèi)容考查分值為5分或12分，2012年、2013年全國新課標(biāo)卷Ⅰ均以解答題17題出現(xiàn)，試題難度比較容易；2014年、2015年均以填空題16題出現(xiàn)，試題難度較大，考查對知識的應(yīng)用及綜合能力.從新課標(biāo)歷年高考理科數(shù)學(xué)試題中可以看出，高考對這一部分內(nèi)容的考查主要集中在統(tǒng)一求角及角范圍類問題，通過余弦定理構(gòu)造基本不等式求邊長、面積、最值等

?利用余弦定理解題的3個常用技巧◇江蘇孟春云處理有關(guān)解三角形問題時,往往需要根據(jù)圖形中有關(guān)“角”的特點,靈活利用余弦定理加以求解.請看以下歸類解析.1利用等角的余弦值相等圖12利用鄰補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)(1) 求sinB與sinC的比值;圖23利用互補(bǔ)對角的余弦值互為相反數(shù)圖3(2) 若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求(2) 連接AC,由余弦定理得AC2=25+16-40cosD=36+9-36cosB.①(作者單位：江蘇省揚

夏志輝正、余弦定理及其應(yīng)用是高考必考知識點之一，兩個定理是解三角形的重要工具，常常會結(jié)合三角函數(shù)或平面向量的知識來考查.預(yù)計在2015年高考中仍然會以正、余弦定理為框架，以三角形為主要依據(jù)，來綜合考查三角知識，也要關(guān)注利用定理解決實際問題. 題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、低難度的解答題.重點難點重點：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運用正、余弦定理解決一些實際

蘭正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理，要求能夠運用正余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后，不少同學(xué)為判斷三角形的解的個數(shù)而煩惱，當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應(yīng)的方法，可是一些同學(xué)茫然依舊.近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個數(shù)的文章，不少文章都認(rèn)為在△ABC中，已知a，b和角A，常?？蓪茿應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bc

用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.本考點主要是利用正弦定理、余弦定理解決實際問題，多集中在測量距離、高度、角度等問題中.endprint（1）能運用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.本考點主要是利用正弦定理、余弦定理解決實際問題，多集中在測量距離、高度、角度等問題中

張銀華正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式，在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托，并結(jié)合實際應(yīng)用問題來進(jìn)行考查。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中等難度的解答題。學(xué)習(xí)這部分知識，要會運用正弦定理、余弦定理，解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及常考點略析。正、余弦定理是解三角形最常用的定理。正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2

勝利用正弦、余弦定理解三角形是高考重點考查內(nèi)容，通常難度不大.看到解三角形的試題，考生的第一反應(yīng)就是正弦或余弦定理，但也有些試題不好判斷是利用正弦定理還是用余弦定理，有些試題又可能兩個定理都用到，顯得有點復(fù)雜.其實有些試題我們可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用數(shù)形結(jié)合、作出三角形的高，主要運用直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義和勾股定理也可以解答試題.下面以近兩年高考題為例，看看這別開生面的解法.endprint利用正弦、余弦定理解三角形是高考重點考查內(nèi)

問題看正弦、余弦定理的辯證統(tǒng)一●孫郁娥 ●呂峰波(嘉興市秀州中學(xué) 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314000)解三角形是高考中的常見試題，縱觀2012年全國各地的高考數(shù)學(xué)卷，其中不乏各類解三角形的題，歸納起來有以下4種類型：(1)已知兩角和任一邊，解三角形；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形；(3)已知兩邊及其夾角，解三角形；(4)已知三邊，解三角形.事實上，這4類解三角形問題在教科書上已給出了明確的解法，而且很多教學(xué)參考書上