肖茜文 湖南省長沙市南雅中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中余弦定理的解析

肖茜文 湖南省長沙市南雅中學(xué)

余弦定理和正弦定理在運(yùn)用的過程中，通常是和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，通過余弦和正弦的定義以及使用特點(diǎn)，求出關(guān)于三角形邊角以及面積的函數(shù)關(guān)系式。本文主要對(duì)余弦定理的特點(diǎn)進(jìn)行了分析，并通過相關(guān)例題的解答，加深學(xué)生對(duì)余弦定理的理解，以此使高中學(xué)生全面掌握余弦定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的目的。

數(shù)學(xué) 余弦定理 運(yùn)用

余弦定理主要是對(duì)三角形當(dāng)中三條邊的長度與一個(gè)邊角的余弦值的關(guān)系進(jìn)行分析的一種數(shù)學(xué)思維和解題方法。運(yùn)用余弦定理就可以求出關(guān)于已知三角形的兩邊和夾角求出第三條邊，或者是已知三個(gè)邊求出夾角的大小的問題。余弦定理的公式為：cosA=（b2+c2-a2）/2bc。其中，cosA=鄰邊比斜邊。

1 余弦定理的證明過程

在對(duì)余弦定理進(jìn)行證明的過程中，一般會(huì)用到兩種證明方法，第一種是平面向量證明法，第二就是平面幾何證明法。

1.1 平面向量證明法

根據(jù)平行四邊形的證明方法可以得出：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線可以代表兩個(gè)鄰邊的大小，所以，a+b=c，從而就 可 以 得 出 c*c=(a+b)*(a+b)，c2=a*a+2a*b+b*b， 所 以c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)。

又因?yàn)閏os(π-θ)=-Cosθ，所以c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，拆開再化簡得：c2=a2+b2-2*a*b*CosC，即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b。根據(jù)這個(gè)證明過程，還可以得出三角形另外兩邊的關(guān)系式。

圖1

1.2 平面幾何證明法

假設(shè)一個(gè)任意的三角形ΔABC，做出AD⊥BC，∠A的對(duì)邊為a，∠B的對(duì)邊為b，∠C的對(duì)邊為c，那么就可以得出：BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c，根據(jù)勾股定理可得：AC2=AD2+DC2；b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2。

2 余弦定理的作用分析

根據(jù)余弦的定理，可以得出以下的結(jié)論，一是根據(jù)三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角；根據(jù)三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊；根據(jù)三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。

判定定理一(兩根判別法)：若m(c1，c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前?。粶p號(hào)的值如果m(c1，c2)=2，則有兩解；如果m(c1，c2)=1，則有一解；如果m(c1，c2)=0，則有零解(即無解)。需要注意的是，如果c1等于c2且c1或c2大于0。

判定定理二(角邊判別法)：當(dāng)a＞bsinA時(shí)，當(dāng)b＞a且cosA＞0(即A為銳角)時(shí)，則有兩解；當(dāng)b＞a且cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解)；當(dāng)b=a且cosA＞0(即A為銳角)時(shí)，則有一解當(dāng)b=a且cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解)；當(dāng)b＜a時(shí)，則有一解。當(dāng)a=bsinA時(shí)，當(dāng)cosA＞0(即A為銳角)時(shí)，則有一解；當(dāng)cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解)。當(dāng)a＜bsinA時(shí)，則有零解(即無解)

例如：（1）已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角。

可以設(shè)三角形的三邊為a，b，c且a：b：c=5：4：3．由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理cosA=0，所以∠A=90°

以上的小例子簡單說明了余弦定理的作用。

3 余弦定理的例題解析

例題：三角形ABC中，∠A=60°，b+c=4，則邊a的取值范圍？

在三角形ABC中，A=60，b+c=4（b，c都大于0）根據(jù)余弦定理：a*a=b*b+c*c-2b*c*cos60=（b+c）*（b+c）-3b*c，就是a*a=16-3b*c，因?yàn)閎+c=4大于等于2根號(hào)（b*c）

則b*c小于等于4，a*a=16-3bc＞=16-3*4=4，又a＜b+c=4，所以a*a是屬于[4，16），所以a是[2，4）。

學(xué)生要想學(xué)好余弦定理以及相關(guān)的知識(shí)，需要對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的掌握，同時(shí)在通過大量習(xí)題的聯(lián)系，熟悉題目的規(guī)律，提高解題的思路和技巧，在養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的同時(shí)，在最大的程度上提高數(shù)學(xué)成績。

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