江西省南昌市第十二中學

1 概述

正弦定理和余弦定理搭建了三角形邊和角的橋梁，實現(xiàn)了邊角之間的轉化，直接運用它，可以直接求解三角形，靈活地變形并與其他知識結合，可以解決現(xiàn)實生活中的問題。

2 利用正余弦定理解決平面幾何問題

圖1 三角形

在解決平面幾何問題時，尤其是涉及到三角形，經常會同時利用正余弦定理與其他數(shù)學知識，利用正余弦定理解決平面幾何問題的題目常常在高考中進行考查。

2.1 判斷三角形的形狀

結語：判斷三角形的形狀，本題使用的是余弦定理，我們在解決這類問題的時候，需要觀察表達式，正確選擇正弦定理或者余弦定理，甚至兩者均使用。

2.2 三角形解的個數(shù)

對于這個問題，是初學正弦定理的難點，解決這類問題，我們一般采用數(shù)形結合的思想，并利用大角對大邊的原理來解決，如圖2，就是三角形解的四種情況。

圖2 三角形解的情況

3 正余弦定理在測量中的應用

3.1 測量距離問題

在解決距離問題時，需要先選取合適的輔助測量點，然后構造出三角形，進而轉化成三角形的邊角關系，最后利用正余弦定理來解決。測量距離的問題一般分為兩點間不可通也不可達、兩點間可視但不可通和兩點可視但均不可達三種情況。

如圖6，是底部可達的情況，可求得高度：

圖3

圖4

按照解決測量問題的方法，我們可以轉化為數(shù)學模型，構造出一個三角形，再通過正余弦定理求解。

3.1.3 兩點可視但均不可達。最后一種情況是較為復雜的一種，即兩點可視但均不可達，如圖5所示，仍然假設這是一條小河，則在小河的一邊任意選擇點C、D，構造出兩個三角形。其中可以通過測量儀器測出的數(shù)據(jù)有：CD=a，∠ADB=α，∠BDC=β，∠ACB=θ，∠ACD=γ。

圖5

3.2 測量高度問題

對于高度問題一般可以轉化為三角形的邊角問題，有時候還需要結合幾何知識，而對于高度問題，可以分為底部可達和不可達兩種情況。

圖6

圖7

4 正余弦定理的實際應用

在生產和社會生活中，很多地方都會測量距離、高度和角度等數(shù)學量，尤其是在物理、航海和工程技術方面，均有解三角形的運用，正確使用正余弦定理就顯得十分重要。對于這類題目，本文已經將常見的題型做出了總結，對高考復習也有一定的幫助。