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        正、余弦定理的運用例析

        2014-05-28 21:05:59張銀華
        理科考試研究·高中 2014年5期
        關(guān)鍵詞:外接圓余弦定理正弦

        張銀華

        正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式,在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托,并結(jié)合實際應(yīng)用問題來進行考查。題型一般為選擇題、填空題,也可能是中等難度的解答題。學習這部分知識,要會運用正弦定理、余弦定理,解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及常考點略析。

        正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

        正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R (R為外接圓半徑);

        余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA。

        它們的變形形式有:a=2RsinA, sinA1sinB=a1b,cosA=b2+c2-a212bc。

        考點1正、余弦定理解三角形

        例1(1)在△ABC中,已知A=32。0°,b=81。8°,a=42。9 cm,解三角形;

        (2)在△ABC中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1 cm)。

        分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目,根據(jù)已知,運用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角,再直接運用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

        解析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,

        C=180°-(A+B)=180°-(32。0°+81。8°)=66。2°。

        根據(jù)正弦定理得,

        b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1(cm)。

        根據(jù)正弦定理,

        c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1(cm)。

        (2)根據(jù)正弦定理, sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

        因為0°

        ①當B≈64°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30(cm)。

        ②當B≈116°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13(cm)。

        考點2正、余弦定理判斷三角形形狀

        例2在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是( )。

        正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式,在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托,并結(jié)合實際應(yīng)用問題來進行考查。題型一般為選擇題、填空題,也可能是中等難度的解答題。學習這部分知識,要會運用正弦定理、余弦定理,解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及??键c略析。

        正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

        正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R (R為外接圓半徑);

        余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA。

        它們的變形形式有:a=2RsinA, sinA1sinB=a1b,cosA=b2+c2-a212bc。

        考點1正、余弦定理解三角形

        例1(1)在△ABC中,已知A=32。0°,b=81。8°,a=42。9 cm,解三角形;

        (2)在△ABC中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1 cm)。

        分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目,根據(jù)已知,運用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角,再直接運用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

        解析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,

        C=180°-(A+B)=180°-(32。0°+81。8°)=66。2°。

        根據(jù)正弦定理得,

        b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1(cm)。

        根據(jù)正弦定理,

        c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1(cm)。

        (2)根據(jù)正弦定理, sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

        因為0°

        ①當B≈64°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30(cm)。

        ②當B≈116°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13(cm)。

        考點2正、余弦定理判斷三角形形狀

        例2在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是( )。

        正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式,在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托,并結(jié)合實際應(yīng)用問題來進行考查。題型一般為選擇題、填空題,也可能是中等難度的解答題。學習這部分知識,要會運用正弦定理、余弦定理,解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及常考點略析。

        正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

        正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R (R為外接圓半徑);

        余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA。

        它們的變形形式有:a=2RsinA, sinA1sinB=a1b,cosA=b2+c2-a212bc。

        考點1正、余弦定理解三角形

        例1(1)在△ABC中,已知A=32。0°,b=81。8°,a=42。9 cm,解三角形;

        (2)在△ABC中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1 cm)。

        分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目,根據(jù)已知,運用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角,再直接運用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

        解析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,

        C=180°-(A+B)=180°-(32。0°+81。8°)=66。2°。

        根據(jù)正弦定理得,

        b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1(cm)。

        根據(jù)正弦定理,

        c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1(cm)。

        (2)根據(jù)正弦定理, sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

        因為0°

        ①當B≈64°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30(cm)。

        ②當B≈116°時,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13(cm)。

        考點2正、余弦定理判斷三角形形狀

        例2在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是( )。

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