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        全國名校解三角形測試題(A卷)答案與提示

        2019-09-28 07:46:18徐利杰

        一、選擇題

        1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.A

        8.B9.C10.A11.B12.A13.A

        14.C15.A16.A17.A18.D19.C

        20.C21.A22.B23.B24.D25.B

        26.C27.B28.A29.A30.D31.B

        32.B33.B34.B35.C36.A37.C

        38.D39.D

        二、填空題

        三、解答題

        60.(1)因?yàn)?c·sinB=3a·tanA=3a·,所以2c·sinB·cosA=3a·sinA。

        整理得2c·b·cosA=3a·a。

        則b2+c2=4a2,=4。

        (2)a=1時(shí),b2+c2=4a2=4。

        因此,當(dāng)角A最大時(shí)

        解得b2+c2=4,且

        61.(1)因?yàn)?acosB=2c+b,所以由正弦定理可得,2sinAcosB=2sinC+sinB。

        由三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式可得:

        代入上式可得,2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB+sinB。

        所以2cosAsinB+sinB=0。

        因?yàn)閟inB>0,所以2cosA+1=0,即

        由于0<A<π,所以

        (2)因?yàn)椤鰽BC的外接圓的半徑為,所以由正弦定理可得:

        又因?yàn)椤鰽BC的面積為,所以

        由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA。

        則36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12。

        所以(b+c)2=48,即b+c=4 3。

        所以△ABC的周長a+b+c=6+4 3。

        62.(1)cos2A+cos2C-cos2B=1-sin2A+1-sin2C-1+sin2B=1-sinAsinC。

        故sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC。

        由正弦定理可得b2=a2+c2-ac。

        由余弦定理可得:

        (2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,即4=a2+c2-ac,4+ac≥2ac。

        故ac≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號。

        63.(1)在△ABD中,由正弦定理得

        因?yàn)锳B=AC,sin ∠ADB=sin ∠ADC,BD=1,sin ∠CAD=3sin ∠BAD,所以DC=3BD=3。

        (2)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD×BD×cos ∠ADB。在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos ∠ADC。

        因?yàn)锳B=AC,AD=2,BD=1,DC=3,cos ∠ADB=-cos ∠ADC,所以4+1+2×2×1×cos ∠ADC=4+9-2×2×3×cos ∠ADC。

        64.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc。由余弦定理得

        因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°。

        (2)由(1)知B=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得

        由三角形面積公式有:

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