■陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴(特級教師)

2019年高考對數(shù)列主要圍繞“等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和,累加法與錯(cuò)位相減法求和進(jìn)而求通項(xiàng),公式法求和,裂項(xiàng)用公式求和,數(shù)列中存在性問題的探究證明以及參數(shù)范圍的求解”展開,凸顯數(shù)列的工具性和應(yīng)用性以及創(chuàng)新性。

聚焦1 等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的最值問題

例1(2019 年高考北京卷文16)設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值。

解析：第一問依據(jù)題設(shè)待定系數(shù)法求公差進(jìn)而求通項(xiàng)公式,第二問可用兩種思維方法探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值。

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。因?yàn)閍2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)。

也即(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2。

所以an=-10+2(n-1)=2n-12。

(2)法1：利用二次函數(shù)求Sn的最值。由(1)知an=2n-12,所 以

當(dāng)n=5或n=6時(shí),Sn取到最小值-30。

法2：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)構(gòu)建不等式組求最值。由(1)得an=2n-12,設(shè)則5≤n≤6,n=5或6。數(shù)列從第7項(xiàng)開始項(xiàng)為正值,故S5=S6最小,

則Sn的最小值為-30。

反思：等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù),通項(xiàng)an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)=kn+b(n∈N*),其前n項(xiàng)和,可利用二次函數(shù)求Sn的最值。還可利用通項(xiàng)構(gòu)建不等式組(d＞0)或(d＞0)確定n的值,進(jìn)而求Sn的最值,但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件。

變式1(2018年高考全國Ⅱ卷理17)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求Sn,并求Sn的最小值。

解析：(1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15。由a1=-7,得d=2。所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9。

法2：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)構(gòu)建不等式組求最值,由(1)得an=2n-9。設(shè),即數(shù)列從第5項(xiàng)開始項(xiàng)為正值,故S4最小。,Sn的最小值為-16。

聚焦2 等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的應(yīng)用

例2已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

解析：利用首項(xiàng)和公比構(gòu)建方程組確定公比求通項(xiàng),正數(shù)的等比數(shù)列通項(xiàng)取對數(shù)后為等差數(shù)列,可利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

(1)由題意知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a3=2a2+16,a1=2。令數(shù)列{an}的公比為q,a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q=-2(舍去)或4。數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列,an=2×4n-1=22n-1。

(2)因?yàn)閎n=log2an,所以bn=2n-1,bn+1=2n+1,bn+1-bn=2。數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

反思：等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組),有意識(shí)地應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡化運(yùn)算,經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的策略。

變式2(1)(2019年高考全國Ⅲ卷理5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( )。

A.16 B.8 C.4 D.2

(2)(2019 年高考全國Ⅰ卷理14)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若,則S5=_____

解析：(1)設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q,則

(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=

又q≠0,所以q=3。

聚焦3 等差和等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式的交匯應(yīng)用

例3(2019年高考全國Ⅱ卷理19)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4。

(1)證明：{an+bn}是等比數(shù)列,{anbn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

解析：通過兩數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)建方程組,變形且構(gòu)造新數(shù)列為等差和等比數(shù)列,求出通項(xiàng),解方程組得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(1)由題意可知4an+1=3an-bn+4,①4bn+1=3bn-an-4,②a1+b1=1,a1-b1=1。①②兩式相加可得4an+1+4bn+1=3anbn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即。所以數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,則an+bn=

①②兩式相減可得4an+1-4bn+1=3anbn+4-(3bn-an-4)=4an-4bn+8。所以(an+1-bn+1)-(an-bn)=2,數(shù)列{an-bn}是首項(xiàng)1,公差為2的等差數(shù)列,an-bn=2n-1。

反思：先用基本量法待定通項(xiàng),再用通項(xiàng)式子和求和公式構(gòu)建方程組求解。本題給出兩個(gè)交匯的遞推關(guān)系式,探究{an+bn},{an-bn}為等比、等差數(shù)列,凸顯整體變量和方程組觀念下的合理變形,由{an+bn}和{anbn}的通項(xiàng)探究{an}和{bn}的通項(xiàng)更彰顯方程組求解的應(yīng)用。

變式3已知數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=,記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*。

(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出bn；

(2)求T2n。

因此,{bn}是公比為的等比數(shù)列。

(2)由(1)可知an+2=,所以a1,a3,a5,…,是以a1=1 為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列；a2,a4,a6,…,是以a2=為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列。

聚焦4 裂項(xiàng)用公式求特殊數(shù)列的和

例4(2019 年高考天津卷理19)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列。已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4。

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn=k∈N*。

①求數(shù)列{a2n(c2n-1)}的通項(xiàng)公式；

解析：先待定系數(shù)求公比和公差確定數(shù)列通項(xiàng)公式,再對通項(xiàng)變形,裂項(xiàng)用公式求和。

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q。依題意可得：

故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n。

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×2n。

和(1)的結(jié)論,則：

②對通項(xiàng)變形使用a2n(c2n-1)=9×4n-1,再裂項(xiàng),用等差和等比數(shù)列求和公式,可得：

變式4(2018年天津卷文18)設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)。已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6。

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值。

解析：基本量法構(gòu)建方程組求通項(xiàng)進(jìn)而求和,依據(jù)和式的特征裂項(xiàng),直用公式求和待定參數(shù)。

(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0。

由q＞0,可得q=2,故bn=2n-1。

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。由b4=a3+a5,可得a1+3d=4。由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16。從而a1=1,d=1,故an=n。所以

(2)由(1)知T1+T2+T3+…+Tn=(21+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2。

整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4。所以n的值為4。

聚焦5 裂項(xiàng)相消法求證特殊數(shù)列和不等式

例5(2019年高考浙江卷20)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=4,a4=S3,數(shù)列{bn}滿足：對任意n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：先用待定系數(shù)法求公比和公差,確定數(shù)列通項(xiàng)公式,再對通項(xiàng)放縮變形,裂項(xiàng)相消法求和證不等式。

則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-2,其前n項(xiàng)和

由對任意n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列,則n(n-1)+bn,n(n+1)+bn,(n+1)(n+2)+bn成等比數(shù)列,即：

(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式兩次放縮可得：

反思：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)求和的方法,數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識(shí),意在考查同學(xué)們的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力。

通項(xiàng)為分式的數(shù)列求和,常選用對通項(xiàng)部分分式裂為兩項(xiàng),然后重新將數(shù)列求和的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng),展開后構(gòu)成n-1 個(gè)零,進(jìn)而求出數(shù)列的和。有時(shí)需先放縮后求和證明數(shù)列不等式,如本題對分式通項(xiàng)兩次放縮變形應(yīng)注意通項(xiàng)成立的條件和裂項(xiàng)后相消項(xiàng)的目標(biāo)意識(shí)。

變式5(2016年高考天津卷理數(shù))已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d,對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng)。

解析：(1)利用題設(shè)和定義求證,由

則cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2為定值,{cn}為等差數(shù)列。

聚焦6 等差與等比對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列,求和用“錯(cuò)位相減法”

例6(2019年高考天津卷文數(shù)18)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,公比大于0。已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3。

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*)。

解析：先用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式,而后數(shù)列求和時(shí)部分和可用等差求和公式,部分和需錯(cuò)位相減法。

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q。

故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n。

所以,{an}的通項(xiàng)公式為an=3n,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n。

反思：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型,等差與等比對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”相減；(3)若公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1 和不等于1兩種情況求解。

變式6(2018年高考浙江卷20)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n。

(1)求q的值；

(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

解析：根據(jù)條件和等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式待定公比值,根據(jù)一般數(shù)列的切入點(diǎn)確定整體數(shù)列{(bn+1-bn)an}的通項(xiàng),通過疊加法以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的通項(xiàng)bn。

(1)由a4+2 是a3,a5的等差中項(xiàng)得a3+a5=2a4+4,代入a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8。

因?yàn)閝＞1,所以q=2。

(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn。

由(1)可知an=2n-1,所以