數(shù)學(xué)水平測試)若正數(shù)a,b,c,滿足則=____.這是一道填空題,難度也不大,對于同學(xué)們而言,容易得到其解決方法,但如果對本題多角度地深入思考,發(fā)現(xiàn)此題蘊(yùn)含的價(jià)值很高,讓我們一起來分享探究過程,體驗(yàn)新收獲的喜悅,并求解以此為背景編擬的相應(yīng)題目.一.解法分析分析一題設(shè)中三個(gè)條件,三個(gè)變量a,b,c,其常規(guī)思路是通過解三元方程組,求出a,b,c的值,進(jìn)而可求的值.解法1(消元法)由得得即代入到abc=1 中,得解得進(jìn)而從而.解法2(整體代換)由abc=1 得得

z)≥0,且存在正數(shù)c使得當(dāng)充分大時(shí)有則u(z)≡0.則u(z)≡0.2 基本恒等式本節(jié)先給出Grushin算子的定義,其基本性質(zhì)可見于文獻(xiàn)[12]；然后通過構(gòu)造輔助函數(shù),并用求導(dǎo)公式、散度定理和Green公式對輔助函數(shù)進(jìn)行計(jì)算,得到了一些初步結(jié)果.在下文中下標(biāo)表示求偏導(dǎo)數(shù).對任意的z∈N×m,定義其范數(shù)為記Grushin 梯度為?G=(X1,X2,…,XN),Grushin 算子定義為定義ΔG的自然伸縮族為τδ(z)=(δx,δ1+αy),δ>0,z=(

太好玩了).2.正數(shù)a,b,c，滿足a(1)解若a≤b,則(1)顯然成立，a≤c也是如此.因此，設(shè)a>b,a>c,則3.若{1,2,…,9}的非空子集中的元素之和為奇數(shù)，則稱為奇子集，求奇子集的個(gè)數(shù).解把{1,2,…,9}的子集分為兩類：第一類含1，第二類不含1.設(shè)A是第二類子集.若A為偶子集，則A∪{1}為奇子集；若A為奇子集，則A∪{1}為偶子集.反之亦然.5.在一個(gè)2013×2013的數(shù)表中，每行都成等差數(shù)列，每列的平方也都成等差數(shù)列，求證：左上角的

較大小的法則是：正數(shù)都大于0；0 大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)相比較，絕對值大的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小。由于實(shí)數(shù)的形式多樣，我們可根據(jù)實(shí)數(shù)的特征靈活選用不同的方法比較實(shí)數(shù)的大小。一、放縮法二、乘方法乘方法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是：對任意正實(shí)數(shù)a、b有：an＞bn?a＞b。三、作差法作差法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是：a-b＞0?a＞b，a-b=0?a=b，a-b＜0?a＜b。四、作商法五、倒數(shù)法

y.因?yàn)閤,y為正數(shù)，且x+2y=4，所以0解法2 (常數(shù)代換) 回歸問題本質(zhì)，適用于二元均為正數(shù)且和為常數(shù)的求最值問題.因?yàn)閤,y為正數(shù)，且x+2y=4，解法3 (利用基本不等式)直接求解，適用于兩分式相加，分子(分母)為已知常數(shù).因?yàn)閤,y為正數(shù)，且x+2y=4，即0解法4 (待定系數(shù))引入?yún)?shù)巧變形，將二元關(guān)系整體化.(注意x+2y=4為一個(gè)整體，可引入一個(gè)參數(shù)k，k>0)設(shè)k>0,由x+2y=4，得k(x+2y)=4k.解法5 (利用柯西不等式)，

1期第104頁右正數(shù)第21行公式更正公告本刊2021年2月20日出版的《切比雪夫多項(xiàng)式在GLONASS廣播星歷中的應(yīng)用》（DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20210115）一文中，由于作者疏忽，將《導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)》2021年第1期第104頁右正數(shù)第21行公式中的“1”誤寫成“0”，特對該公式進(jìn)行更正:原公式為更正后的公式為10.16547/j.cnki.10-1096.20210221.《導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)》編輯部2021年3月20日

判斷正負(fù)，遵循“正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)”的原則。若兩個(gè)正數(shù)比較大小，應(yīng)根據(jù)兩個(gè)數(shù)的特征，靈活地選用以上列出的方法;若兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，應(yīng)先比較它們絕對值的大小，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)比較。教師點(diǎn)評小作者勤于思考，精選典型題，將實(shí)數(shù)比較大小的方法進(jìn)行了梳理，找到了解決實(shí)數(shù)比大小的“密鑰”。他的這種反思、總結(jié)、歸納的學(xué)習(xí)方法，值得同學(xué)們借鑒。（指導(dǎo)教師：周鳴鈴）

角切入.題目已知正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，則的最大值為.角度1基本不等式法解法1由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，所以角度2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)法解法2由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，則有a＝1－b(0＜b＜1)，那么0＜b＜1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知fmax(b)＝此時(shí)角度3換元法解法3由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，可設(shè)a＝所以角度4柯西不等式法解法4由于正數(shù)a，b 滿足a＋b＝1，所以角度5因式分解法解法5由于當(dāng)x 為正數(shù)時(shí)，(2x－1)2≥0

個(gè)問題的演繹：若正數(shù)a、b滿足a+b=1，求1a+2b的最小值.師生能熟練的運(yùn)用代數(shù)換元法、均值換元法、三角換元法、求導(dǎo)數(shù)法、柯西不等式、均值不等式（1的妙用）等解決.下面就用均值不等式（1的妙用）統(tǒng)求“Aan+Bbn” 型結(jié)構(gòu)的最小值.知識(shí)點(diǎn)：1.均值定理：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù).2.二項(xiàng)式定理：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n≥1，n∈N*，r=0，1，2，…n

0就是我，我不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，正數(shù)不要我，負(fù)數(shù)也不要我，就我一個(gè)。但也不要小瞧了我，當(dāng)正、負(fù)數(shù)在一起無法分辨時(shí)，我的出現(xiàn)就讓他們規(guī)規(guī)矩矩，將正負(fù)數(shù)分得清清楚楚。后來，正負(fù)數(shù)都想拉攏我與它們在一起，于是我去了正數(shù)這邊就出現(xiàn)了非負(fù)數(shù)，我去負(fù)數(shù)那邊就出現(xiàn)了非正數(shù)。0就是我，我不再表示沒有了，我是表示一個(gè)實(shí)實(shí)在在意義的數(shù)。比如溫度是零上5度可以用+5℃表示，那么溫度是零下5度就用-5℃來表示了，當(dāng)然溫度是0度就只能用我0℃來表示了。但我不是表示沒有溫度，我的這

是負(fù)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后解決，當(dāng)和（或積）不是定值時(shí)，需要對項(xiàng)進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù)，將和（或積）化為定值.如果a，b是正數(shù)，那么a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).基本不等式a+b2≥ab的作用：若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值;若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則可求和的最小值.利用基本不等式求最值時(shí)，必須注意三點(diǎn)：“一正、二定、三相等”.① 一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù);② 二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)

每一個(gè)實(shí)特征值為正數(shù)；③det(D)≥det(A)>0.證①由于A為非奇異M矩陣，因此有A=sI-B,s>0,B≥0(3)對于任意實(shí)數(shù)ω≤0,考慮矩陣C=A-ωI=(s-ω)I-B(4)由于s-ω>ρ(B),故C也為非奇異M矩陣.這說明非奇異M矩陣的每一個(gè)實(shí)特征值必為正數(shù).由于D∈Zn×n，所以存在足夠小的正數(shù)s，使得P=I-εD≥0(5)由于D≥A，則得Q=I-εA≥I-εD=P≥0(6)又由于ρ(Q)為Q的非負(fù)特征值，所以det[(1-ρ(Q))I-ε

已知x,y,z為正數(shù)，證明：一、巧用余弦定理證明三元無理不等式證明:構(gòu)造一個(gè)三棱錐S-ABC，使∠ASB=∠BSC=∠CSA=60°，SA=x,SB=y,SC=z,AB=證明：在平面上任取一點(diǎn)A,作∠OAB=∠OAC=60°，取AB=x,OA=y,AC=z，連接BO,OC,BC,在ΔOAB,ΔOAC,ΔABC中由余弦定理可知BO=二、方法的推廣2.推廣：設(shè)x,y,z為正數(shù)，α,β,γ∈(0,π)且α證明：(1)當(dāng)α+β+γ=2π時(shí),在平面上任取一點(diǎn)O，作∠

關(guān)鍵詞】絕對值；正數(shù)；數(shù)軸；原點(diǎn)；距離中圖分類號(hào)： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）34-0240-002DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.34.099如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么它的絕對值就是它自己；如果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么它的的絕對值就是它的相反數(shù)；如果一個(gè)數(shù)是零，那么它的絕對值就是零。即：一個(gè)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。這樣一來，任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)

35002)兩個(gè)正數(shù)的各種均值徐望斌，陳敬華(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)給出了兩個(gè)正數(shù)的各種均值的一種新的幾何模型，并由此構(gòu)造了兩個(gè)正數(shù)的各種均值不等關(guān)系的一種證明．再對均值不等式進(jìn)行了拓展，說明其應(yīng)用。兩個(gè)正數(shù)；均值；幾何模型0 引言兩個(gè)正數(shù)的各種均值的不等性在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，不等式的證明中經(jīng)常用到兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系，也就是均值不等式[1]。本文通過對梯形中位線的性質(zhì)聯(lián)想，

a+b+c=3的正數(shù),求證：2.2016年希臘數(shù)學(xué)奧賽不等式：已知x、y、z為正數(shù),求證：3.2016年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧賽不等式：已知x、y、z為正數(shù),求證：證明4.2016年地中海數(shù)學(xué)奧賽不等式：已知a、b、c是滿足a+b+c=3的正數(shù),求證：5.2016摩爾多瓦數(shù)學(xué)奧林匹克不等式：已知a、b、c都是正數(shù),求證：證明由柯西不等式：因此6.2016年阿塞拜疆?dāng)?shù)學(xué)奧賽不等式：已知x、y、z是滿足xy+yz+zx=3的正數(shù),求證：證明原不等式由柯西不等式可以得到

常把比0大的數(shù)叫正數(shù)，比0小的數(shù)叫負(fù)數(shù)。用關(guān)系式表示為負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)。負(fù)數(shù)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如，今天的最高溫度是零上5℃，最低溫度是零下5℃，我們把零上5℃記作+5℃，把零下5℃記作-5℃。除了在溫度高低中用到正數(shù)和負(fù)數(shù)，我們在收入與支出的金額、盈余與虧損、海拔的高低等這些具有相反意義的數(shù)量中都要用到負(fù)數(shù)。例如：此外，負(fù)數(shù)還可以用來表示兩個(gè)相反方向的數(shù)量。例如，張華家在學(xué)校東邊860米處，李誠家在學(xué)校西邊1000米處，可以用線段圖表示為：如果把

||2-x一定是正數(shù)或零而且正數(shù)可以無限大,所以-||2-x一定是負(fù)數(shù)或零而且負(fù)數(shù)可以無限小.故6-只有最大值,沒有最小值,而且僅當(dāng)=0,即x=2時(shí),式子最大值=6.(2)因?yàn)?2x+3)2是非負(fù)數(shù),即(2x+3)2是正數(shù)或零而且正數(shù)可以非常大,所以(2x+3)2可以取最小值零,此時(shí)2x+3=0,即.故當(dāng)時(shí),式子(2x+3)2+15取最小值是15.我相信,當(dāng)我們學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容時(shí),非負(fù)數(shù)||a、a2會(huì)有更多更廣泛的運(yùn)用.(指導(dǎo)教師：丁建生)

是0”“0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)”的特殊性，檢驗(yàn)問題的正確性.例4下列說法中正確的是（）.A.有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù).B.一個(gè)數(shù)的絕對值等于它本身，則這個(gè)數(shù)一定是正數(shù).C.沒有最新的有理數(shù)，也沒有絕對值最小的有理數(shù).解析：A、B、C是錯(cuò)誤的.理由如下：因?yàn)?也是有理數(shù)，而0的絕對值是0，0不是正數(shù)，所以A是錯(cuò)誤的；因?yàn)?的絕對值等于它本身，而0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以B是錯(cuò)誤的；因?yàn)?span id="oec8e0a" class="hl">正數(shù)的絕對值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值也是正數(shù)，0的絕對值是0，0小于一切正數(shù)

是“我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及0的乘法運(yùn)算，引入負(fù)數(shù)以后，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算呢？”新教材的導(dǎo)入語是“我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及0的乘法運(yùn)算，與加法類似，引入負(fù)數(shù)后，將出現(xiàn)3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）這樣的乘法.該怎樣進(jìn)行這一類的運(yùn)算呢？”新教材增加了“與加法類似”，一方面，從學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)入手找到了新知識(shí)的“生長點(diǎn)”，學(xué)生易理解、接受；另一方面，也向?qū)W生滲透了“類比”的數(shù)學(xué)思想方法.新教材將舊教材籠統(tǒng)的“有理數(shù)的乘法運(yùn)算”具體為“3×（-3）

∞）.例1：已知正數(shù)xy=4，求2x+y的最小值.例2：已知正數(shù)xy=16，求3x+2y的最小值.例3：已知a+b=2，求2 +2 的最小值.例4：已知正數(shù)x、y滿足2x+3y=4，求 + 的最小值.例5：已知正數(shù)x、y滿足 + =4，求2x+y的最小值.例6：已知點(diǎn)P（2，3）在直線ax+by-9=0上，求 + 的最小值.例7：求函數(shù)y= （x≥-1）的最小值.例8：求y= + （0（4）已知x+y=10，求xy的最大值.解：xy≤（ ） =25，當(dāng)且僅

床頭的小書包里，正數(shù)和負(fù)數(shù)正在進(jìn)行一場爭論。正數(shù)說：“小主人最喜歡我了。通常情況下，盈利用正數(shù)表示，虧損用負(fù)數(shù)表示。誰不喜歡盈利呢？”看見負(fù)數(shù)低下了頭，正數(shù)更加洋洋自得了，繼續(xù)說：“歷史上最先出現(xiàn)的數(shù)都是正數(shù)，后來人們才提出‘負(fù)數(shù)的概念?！必?fù)數(shù)一句話也說不上來。正數(shù)忍不住說：“要是這個(gè)世界上沒有負(fù)數(shù)，只有正數(shù)，那將多么美好啊！”這時(shí)候，“0”小弟站了出來，它既不是正數(shù)，又不是負(fù)數(shù)，它說的話最公正了。“0”小弟說：“正數(shù)哥哥，你說得不對。正數(shù)并不總是表示盈利

. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=9，S3=13，則Sn的公比q等于（ ? ?）A. - B. ? C. 3或- D. 33. 公比為的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11=16，則log2a16等于（ ? ?）？搖A. 4 B. 5 ? C. 6 D. 74. 已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn取得最大值時(shí)n的值為（ ? ?）A. 18

變量a,b,c為正數(shù)，且p,q,r，λ,μ為正常數(shù)，求證：事實(shí)上，當(dāng)p=1，q=2，r=8時(shí)，不等式(1)即為正數(shù)大于負(fù)數(shù)，這是一個(gè)毫無意義的不等式.為此，可尋求不等式(1)的加強(qiáng)形式.為敘述方便，將文獻(xiàn)[1]中的解答簡要摘錄如下：(pa+qb+rc)2≥k(ab+bc+ca),即p2a2+[(2pq-k)b+(2pr-k)c]a+r2c2+(2qr-k)bc≥0恒成立，因此Δa=[(2pq-k)b+(2pr-k)c]2-4p2[q2b2+r2c2-(2q

等價(jià)于例2 已知正數(shù)a、b、c滿足abc＝a＋b＋c＋2，求證：（a－1）（b－1）（c－1）≤1.證明 已知條件等價(jià)于③式，且用反證法易知：bc、ca、ab＞1.進(jìn)而a、b、c三數(shù)中至少有兩數(shù)大于1，不妨設(shè)a＞1，b＞1.若c≤1，則求證式顯然成立；若c＞1，則不等式（px－qy）2≥ （p2－q2）（x2－y2）（p、q、x、y∈R）應(yīng)用于 ③ 式，有聯(lián)立例1，可獲：結(jié)論1 已知正數(shù)a、b、c滿足abc＝a＋b＋c＋2，則3 ①的等價(jià)式三與應(yīng)用①式等價(jià)

知 a，b，c為正數(shù)，且 p，q，r為正常數(shù)，求證：且x1+x2+x3=1.故原問題可轉(zhuǎn)化為：已知正數(shù) x1，x2，x3滿足 x1+x2+x3=1，求證：推廣 2 已知 a1，a2，…，an為正數(shù)，且 m1，m2，…，mn為正常數(shù)，n≥3，則推廣3 已知變量a，b，c為正數(shù)，且λ，μ為正常數(shù)，求證：恒成立.當(dāng)k=48時(shí)，由式(1)得b≤c恒成立，這與題設(shè)不符，故式(1)恒成立當(dāng)且僅當(dāng)推廣4 已知變量a，b，c為正數(shù)，且p，q，r為正常數(shù)，求證：當(dāng)k=4pq

平方根：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0）.立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做a的立方根.說明：只有算術(shù)平方根的定義中是“如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a ”，強(qiáng)調(diào)的是“正數(shù)”，即一個(gè)正數(shù)a正的平方根叫做算術(shù)平方根.2. 表示方法不同平方根用“±”表示，根指數(shù)2可以省略；算術(shù)平方根用“”表示，根指數(shù)2可以省略；立方根用“”表示，根指數(shù)3不能

。定義2 對任給正數(shù)ε＞0某正數(shù)δ＜d-c，使得當(dāng)0＜η＜δ時(shí)，對一切x∈［a，b］，都有則稱含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂。2 一致收斂的判定定理定理1 含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂的充分必要條件是：對任給正數(shù)ε，總存在某正數(shù)0＜δ＜d-c，當(dāng)0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時(shí)，對于?x∈［a，b］有，（充分性）對任給正數(shù)ε＞0，存在正數(shù)δ＜d-c，當(dāng)0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時(shí)，對?x∈［a，b］有：當(dāng)η2→0時(shí)，有：定理2 含參量

510631)三正數(shù)可構(gòu)成銳角三角形三邊長的幾個(gè)等價(jià)命題●鄭慧娟(廣州大學(xué)附屬中學(xué) 廣東廣州 510050)●吳康(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)熟知對任意正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件為a+b>c，b+c>a，c+a>b.判定3個(gè)正數(shù)是否可作為三角形3條邊的等價(jià)命題很多，例如：正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件有：(2)2ab>|a2+b2+c2|；本文對任意正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的等價(jià)條件進(jìn)行探索，并得到了以

丁學(xué)明(正數(shù)和負(fù)數(shù)一同走上舞臺(tái)，兩個(gè)握手)正數(shù)：你好，負(fù)數(shù)老弟。負(fù)數(shù)：你好，正數(shù)老哥。正數(shù)：我代表正數(shù)王國歡迎你的到來。負(fù)數(shù)：謝謝，初來咋到，還請多關(guān)照。(正數(shù)和負(fù)數(shù)手拉手向大家鞠躬)正數(shù)：大家好，從一年級起你們就開始認(rèn)識(shí)我了，比較熟悉。負(fù)數(shù)：大家好，我今天剛來，是你們的新朋友。正數(shù)：為了區(qū)別我與負(fù)數(shù)的不同，我的前面有個(gè)“+”。負(fù)數(shù)：當(dāng)然，我的前面有個(gè)“一”。正數(shù)：我前面的“+”可以省略不寫。負(fù)數(shù)：我的前面這個(gè)“一”可千萬不能省略。正數(shù)、負(fù)數(shù)：生活中處處有

的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即：如果 a>0，那么|a|=a；如果 a<0，那么|a|=-a；如果 a=0，那么|a|=0.3.絕對值的有關(guān)性質(zhì)：①任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0，即無論 a 取任意有理數(shù)，都有|a|≥0.②任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)，即|a|≥a.③一個(gè)有理數(shù)的絕對值只有一個(gè)，但絕對值等于一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)只有0，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的有

?”啟發(fā)他們說出正數(shù)和零，告訴學(xué)生這些數(shù)和起來就是有理數(shù)，然后讓學(xué)生分類，有理數(shù)包括哪些數(shù)?學(xué)生很容易就可以把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種。但是有理數(shù)概念說，“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”，此時(shí)可以問學(xué)生：整數(shù)包括什么數(shù)?分?jǐn)?shù)包括什么數(shù)?因此讓學(xué)生得出結(jié)論：“有理數(shù)分為：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。”3.要不失時(shí)機(jī)地強(qiáng)化已學(xué)的分類方法如：絕對值的意義是按正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三種情況給出的，教師在此可提問學(xué)生為什么討論這三種形式?以便讓學(xué)生對有理數(shù)的分類進(jìn)一

］) 若a,b是正數(shù)，則ab+12﹟a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12?|a-b| (1)，并提出了如下的猜測 若a,b是正數(shù)，則ab≥a2+b22-2-12|a-b| (2)本文指出猜測(2)是不成立的，并用直觀的方法推廣不等式(1)的右端，即建立如下的定理 若a,b是正數(shù)，則2-2?a2+b2≥a+b2+2-12|a-b|≥a2+b22 (3)證明：不等式(3)等價(jià)于確定類似的，不等式(2)等價(jià)于aba2+b2+2-12|a-ba2+b2|-1

滿足abc=1的正數(shù)，求證：12+a+12+b+12+c≤1.證明：因bc+ca+ab≥33abc=3，故1-(12+a+12+b+12+c)=1-bc+ca+ab+4(a+b+c)+12(2+a)(2+b)(2+c)=bc+ca+ab-3(2+a)(2+b)(2+c)≥0,從而，原不等式成立.注1：比較法是不等式證明中的一種常用方法，輔以均值不等式進(jìn)行放縮是其重要手段.例2 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù)，求證：1(1+a)2+1(1+b)2+1(

若a,b,c是正數(shù)，則ab+12|a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12|a-b| (1)3abc+13(|a-b|+|b-c|+|c-a|)≥a+b+c3≥a2+b2+c23-3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (2)進(jìn)而提出如下猜測：若a,b,c是正數(shù)，則ab≥a2+b22-2-12|a-b| (3)3abc≥a2+b2+c23- 3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (4)經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，(3)、(4)式均不成立.例如取a=1

對值的定義可知，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.解：|-125|=125， |+23|=23，|-3.5|=3.5， |0|=0，||=， |-|=，|-0.05|=0.05.-125的絕對值最大，0的絕對值最小.求一個(gè)有理數(shù)的絕對值，關(guān)鍵要看準(zhǔn)這個(gè)有理數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是0.由于正數(shù)的絕對值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值也是正數(shù)，所以得出：0是有理數(shù)中絕對值最小的數(shù).2. 比較有理數(shù)的大小例2（第15頁第5題）將下列各數(shù)按從小到大的

一節(jié),親密接觸“正數(shù)和負(fù)數(shù)”. 首先,我們來認(rèn)識(shí)什么是負(fù)數(shù),為什么要學(xué)習(xí)負(fù)數(shù). 我們在小學(xué)時(shí)所學(xué)過的數(shù),如1,2,38,6.9等都是正數(shù).哦,對了,0不是正數(shù).這些正數(shù)和0在生活中發(fā)揮著重要的作用,但是,生活中只有這些數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.不信?請看,小婷家8月份的收入是3 000元,支出是2 000元,若把它們分別記為3 000元和2 000元,就弄不清哪個(gè)是收入,哪個(gè)是支出了,但如果我們把收入記為正,那么與它具有相反意義的支出就記為負(fù),這樣,哪個(gè)是收入,哪

的那部分分?jǐn)?shù)記作正數(shù)，不足80分的那部分分?jǐn)?shù)記作負(fù)數(shù).正解：這種說法是錯(cuò)誤的.例2“－a是負(fù)數(shù)”說法正確嗎？錯(cuò)解：正確.剖析：在正數(shù)的前面加上“－”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).如果a是正數(shù)，則－a是負(fù)數(shù)；如果a是0，則－a是0；如果a是負(fù)數(shù)，則－a是正數(shù).實(shí)際上，－a表示的是a的相反數(shù).正解：這種說法是錯(cuò)誤的.例3如果正午記作0時(shí)，午后2時(shí)記作+2時(shí)，那么上午10時(shí)記作.錯(cuò)解：上午10時(shí)記作－10時(shí).剖析：由正午記作0時(shí)，午后2時(shí)記作+2時(shí)，知以正午12時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)，之后

獲贛州市一等獎(jiǎng).正數(shù)就是大家在小學(xué)里學(xué)過的0以外的數(shù)，負(fù)數(shù)所表示的意義恰好與正數(shù)完全相反，從大小來說，所有的正數(shù)都比負(fù)數(shù)大.負(fù)數(shù)的引入，給我們的學(xué)習(xí)帶來了便利，同時(shí)也改變了我們很多關(guān)于“數(shù)”的思想認(rèn)識(shí)，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.1. 負(fù)數(shù)的出現(xiàn)解決了兩個(gè)互為相反意義的量的表示問題，同時(shí)還賦予“數(shù)”新的實(shí)際意義.如零上5°C可以記作5°C，零下5°C則可以記作-5°C.2. 負(fù)數(shù)的出現(xiàn)改變了人們對加減運(yùn)算的認(rèn)識(shí).3. 負(fù)數(shù)的出現(xiàn)改變了我們對數(shù)“0”的認(rèn)識(shí)，在小

是零，可零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)呀.乙：噢，謝謝你的提醒.在數(shù)軸上，互為相反數(shù)（零除外）的兩個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的左右兩邊，它們到原點(diǎn)的距離相等.甲：你說得對，如果a，b互為相反數(shù)，則一定會(huì)有|a|=|b|.乙：從運(yùn)算上來說，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加的和為零，相除的商為－1（0除外）.甲：嗯，也就是說，如果a，b互為相反數(shù)，則a+b=0，a/b=-1（此時(shí)a，b均不為零）.乙：你能不能給我講講怎樣來表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)？甲：在表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，通常在這個(gè)

兩個(gè)數(shù)D. 不是正數(shù)的兩個(gè)數(shù)9. 如果一個(gè)數(shù)的絕對值與這個(gè)數(shù)的商等于-1，則這個(gè)數(shù)是（）.A. 正數(shù) B. 負(fù)數(shù)C. 非正數(shù) D. 非負(fù)數(shù)10. 如果abcd<0，a+b=0，cd>0，那么這4個(gè)數(shù)中負(fù)數(shù)至少有（）.A. 4個(gè) B. 3個(gè)C. 2個(gè) D. 1個(gè)11. 設(shè)a、b、c為3個(gè)有理數(shù)，下列等式成立的是（）.A. a（b+c）=ab+cB. （a+b）c=a+bcC. （a-b）c=ac+bcD. （a-b）c=ac-bc12. 5÷

在實(shí)際問題中體會(huì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義,學(xué)會(huì)用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示一對具有相反意義的量 在實(shí)際生活中,存在著許多具有相反意義的量. 商店里,如果把贏利100元記作+100元,那么把虧損20元就記作-20元;如果把媽媽給你15元,記作+15元,那么把花費(fèi)9元就記作-9元. 足球場上,通常把贏一場得分記作+2分,輸一場得分記作-1分,平一場得分記作0分. 新聞里,傳來播音員熟悉的聲音:我省計(jì)劃生育成績顯著,穩(wěn)定低生育水平,部分縣市還出現(xiàn)了人口數(shù)負(fù)增長.這 “人口數(shù)負(fù)增

所以a-b>0，正數(shù)的絕對值是它本身，可得|a-b|=a-b，|a|=a .所以|a-b|-|a|=a-b-a=- b.故選C.4. 利用絕對值分類討論例4若a是有理數(shù)，則|a|-a的結(jié)果（）.A． 可能是負(fù)數(shù) B． 不可能是負(fù)數(shù)C． 必是正數(shù) D． 可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù)有理數(shù)a可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0.當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，|a|-a=a-a=0；當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|-a=-a-a=-2a>0；當(dāng)a為0時(shí)，|a|-a=0-0=0.綜上所述，a不可能是負(fù)數(shù).故選B.

，f(m+3)為正數(shù).為便于比較，先將原解答抄錄于下.解：(1)由f(1)=0得a+b+c=0，又a>b>c,∴a>0,c<0.∴△=b2-4ac>0，即ゝ(x)的圖像與x軸有二不同交點(diǎn)；(2)由a>0,f(m)=-a<0，設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2，則x1=1,x2=ca，且x1>x2,∴若存在m，且ca∴|x1-x2|=|1-ca|,又b=-(a+c)∴-2c,∴ca<-12,∴-21，故f(m+3)>0.即存在這樣的m滿足條件f(m